高中数学(文科)选修1-11-2知识点归纳

选修1－1、1-2数学知识点

第一部分 简单逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?”

4、四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；

6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?.

p q

p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假

假

假

假

真

7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

第二部分 圆锥曲线

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率

()2

2101c b e e a a

==-<<

3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：

|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4焦点的位置 焦点在x 轴上

焦点在y 轴上 图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b -=>> ()22

22

10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

离心率

()2

211c b e e a a

==+>

渐近线方程

b y x a

=±

a y x b

=±

56、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

7标准方程

22y px =

()0p >

22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-

()0p >

图形

顶点

()0,0

对称轴

x 轴

y 轴

焦点

,02p F ??

??? ,02p F ??

- ???

0,2p F ?

? ??

?

0,2p F ?

?- ??

?

准线方程

2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

离心率

1e =

范围

0x ≥ 0x ≤

0y ≥ 0y ≤

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 9、焦半径公式：

若点()00,x y P 在抛物线()2

20y px p =>上，焦点为F ，则02p

F x P =+

； 若点()00,x y P 在抛物线()2

20x py p =>上，焦点为F ，则02

p F y P =+；

第三部分 导数及其应用

1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：

()()

2121

f x f x x x --

2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；．

3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()

y f x =在点

()()

00,x f x P 处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①'

C 0=；②1

')(-=n n nx

x ； ③x x cos )(sin '

=；④x x sin )(cos '

-=；

⑤a a a x

x ln )('

=；⑥x

x e e ='

)(； ⑦a x x a ln 1)(log '

=

；⑧x

x 1)(ln '

= 5、导数运算法则：

()1 ()()()()f x g x f x g x '

''±=±????；

()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????；

()3()()()()()()

()()()2

0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????．

6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．

7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：

()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．

8、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：

()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；

()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是

最小值．

9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。

第四部分 复数

1．概念：

(1) z =a +bi ∈R ?b =0 (a,b ∈R )?z=z ? z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数?b ≠0(a ,b ∈R )；

(3) z =a+b i 是纯虚数?a =0且b ≠0(a,b ∈R )?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2<0； (4) a +b i=c +di ?a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；

(2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ； (3) z 1÷z 2 =

=-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：

(1) i i 2)1(2±=±；⑷;11;11i i

i i i

i -=+-=-+

(2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i (3) z

z z z z 1

11=

?=?=。

4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z

z z m

m m mn n m n

m n m ∈=?==?+

5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2

121)(

z z

z z = ；⑷ z z =。 6．模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶|

||

|||2121z z z z =；⑷n n z z ||||=；

第五部分 统计案例

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

1

221n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==?

-?

?=??-??=-??∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：

∑=-n

i i

y y

1

2

)(⑵残差：∧

∧-=i i i y y e ；⑶残差平方和：21

)(∑=∧

-n

i yi yi ；⑷回归平方和：

∑=-n

i i

y y

1

2

)(－21

)(∑=∧

-n

i yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧

---

=n i i

i n

i i i

y y y y

R 1

2

12

2)()(1 。

注：①2

R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②2

R 越接近于1，，则回归效果越好。 4．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第六部分推理与证明

一．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。