2015年揭阳市中考数学试卷(含答案)

2015年广东省初中毕业生学业考试

数 学

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 2-= A.2

B.2-

C.12

D.12

-

2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）

A.61.357310?

B.71.357310?

C.81.357310?

D.91.357310?

3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）

A.2

B.4

C.5

D.6

4. 如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）

A.75°

B.55°

C.40°

D.35°

5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A.矩形

B.平行四边形

C.正五边形

D.正三角形

6. 2(4)x -=

A.28x -

B.28x

C.216x -

D.216x

7. 在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是（ ）

A.0

B.2

C.0(3)-

D.5-

8. 若关于x 的方程29

04

x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A.2a ≥

B.2a ≤

C.2a ＞

D.2a ＜

9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为（ ）

A.6

B.7

C.8

D.9

10. 如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

11. 正五边形的外角和等于

（度）.

12. 如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是

.

13. 分式方程

32

1x x

=+的解是 .

14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是

.

15. 观察下列一组数：1

3

，25

，37

，49

，5

11

，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是

.

16. 如题16图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是

.

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）. 17. 解方程：2320x x -+=.

18. 先化简，再求值：2

1

(1)11

x x x ÷+--，其中21x =-.

19. 如题19图，已知锐角△AB C.

(1) 过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2) 在(1)条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =3

4

，求DC 的长.

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的 卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上 的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题

20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.

(1) 补全小明同学所画的树状图；

(2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.

21. 如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.

(1) 求证：△ABG≌△AFG；

(2)求BG的长.

22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.

(1) 求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）

(2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23. 如题23图，反比例函数k

y x

=(0k ≠，0x ＞)的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点

A (1，3)作 A

B ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3B D. (1) 求k 的值； (2) 求点

C 的坐标；

(3) 在y 轴上确实一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d =MC +MD ，求点M 的坐标.

24. ⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过BC 的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接

AG ，CP ，P B.

(1) 如题24﹣1图；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；

(2) 如题24﹣2图，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形； (3) 如题24﹣3图；取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥A B.

25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 与Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC =∠ADC =90°，∠CAD =30°，

AB =BC =4cm . (1) 填空：AD =

(cm )，DC =

(cm )；

(2) 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，

C →B 的方向运动，当N 点运动 到B 点时，M ，N 两点同时停止运动，连结MN ，求当M ，N 点运动了x 秒时，点N 到A

D 的距离(用含x 的式子表示)；

(3) 在(2)的条件下，取DC 中点P ，连结MP ，NP ，设△PMN 的面积为y (cm 2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin 75°=

624+，sin 15°=62

4

-)

参考答案

一、选择题

1、A

2、B

3、B

4、C

5、A

6、D

7、B

8、C

9、D 10、D

二、填空题

11、360° 12、6 13、x=2 14、4：9 15、21

10

16、4 三、解答题（一）

17.解：(x-1)(x-2)=0 x 1=1,x 2=2 18.解：原式=

1

1

1)1)(1(112

+=-?-+=-÷-x x x x x x x x x x 把12-=x 代入得：原式=2

2

19.（1）

（2）解：∵4

3

tan ==

∠AD BD BAD 且 AD=4,∴BD=3 ∴CD=5-3=2 四、解答题（二） 20.（1）

（2）9

4

21.（1）证明：∵AB=AD=AF,AG=AG ,∠ABG=∠AFG=90° ∴△ABG 和△AFG 全等（HL ） （2）设BG=x,GC=6-x ,GF=x ,GE=3+x,EC=3 在Rt △GCE 中，（x+3）2=32+(6-x)2 解得：x=2 22. (1)设A 型号每台的价格为x ，B 型号的为y,由题意得： ??

?=-+-=-+-120

)40(3)30(676

40)30(5y x y x 解得：???==5642y x

(2)设A 型号的购进x 台，则B 型号的为（70-x ）台，由题意得： 2500)70(4030≤-+x x 解得：x ≥30 ∴A 型号的最少要30台 五、解答题（三）

23.(1)∵AB=3BD,AB=3 ∴BD=1 ∴D 点坐标为（1,1） 代入x

k y =得：k=1

(2)联立y=3x 与x

y 1

=解得：C 点坐标为（

3,3

3

） (3)作D 点关于y 轴的对称点E （-1，1），连接CE ，则CE 与y 轴的交点就是所求的点M

设CE 的直线解析式为y=kx+b ，代入E,C 两点坐标解得： k=332- ， b=232- ∴M 点坐标为（0，232-）

24.(1).∵P 点为弧BC 的中点，且OP 为半径 ∴OP ⊥BC

又∵AB 为直径，∴∠ACB=90° ∴AC//OP

∴∠BAC=∠BOD 又∵2

1

cos ===

∠OP OD OB OD BOD ,∴∠BOD=60° ∴∠BAC=60°

(2) 由（1）得：AC//GK, DC=DB

又∵DK=DP ∴用SAS 易证明：△CDK 与△BDP 全等 ∴∠CKD=∠BPD 又∵∠G=

2-180AOG ∠? ∠BPD=2

-180BOD

∠? ∴∠G=∠BPD=∠CKD

∴AG//CK 又AC//GK （已证） ∴四边形AGKC 为平行四边形 (3) 连接OC

∵点E 为CP 的中点，点D 为BC 的中点 ∴DE//BP

∴△OHD 与△OBP 相似 ∵OP=OB ∴OH=OD 又OC=OP ∠COD=∠POH ∴△COD 与△POH 全等 ∴∠PHO=∠CDO=90°

25.（1）AD=62 CD=22

（2）过N 点作NE ⊥AD 于E ，过C 点作CF ⊥NE 于F ∴NF=x x NCF NC 4

2

-615sin sin =??=∠? 又EF=CD=22 ∴x NE 4

2

622-+

= )40(≤≤x （3）设NE 与PM 相交于点H 则MD NH S PMN ??=2

1△ ∵DE=CF=x NC 4

2

675sin +=

?? ∴x x x DE AM AD ME 4

2

646242662++-=+--=--= 由△MEH 与△MDP 相似得：

MD ME PD HE =

,∴MD

ME

HE ?=2 ∴NH=MD ME NE HE NE ?-=-2 ∴MD NH S PMN ??=2

1

△=ME NE MD MD ME NE MD 2(21)2(21-?=?

-?) =)]4

2

662(2)42622)(62[(21

x x x x +----+- =324

2

2378262+--+--x x 当2

62

2372---=

-

=a b x 时，面积有最大值, S 最大值=16

16

2962338442-++=-a b ac PS ：答案仅供参考，最后一题最后一问的答案，没有绝对把握算对了，毕竟只算了一遍，也真心不想算第二遍！