非线性不确定系统的自适应观测器设计 (2)

第２７卷第１期计算机仿真２０１０年１月文章编号：１００６－９３４８（２０１０）０１—０１８９—０４

非线性不确定系统的自适应观测器设计

牛林１’２，叶燎原１

‘（１．昆明理工大学国土资源工程学院，云南昆明６５００９３；２．成都大学电子信息工程学院，四川成都６１０１０６）摘要：非线性状态观测器可改善过程控制性能和故障诊断，针对一类参数不确定非线性系统提出了自适应观测器设计方法。

通过微分同胚变换，将非线性系统转换为仅依赖原系统输入、输出的自适应观测器规范形式。利用自适应调节器估计未知参数，用构造的观测器实现状态的重构。Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论分析了状态观测误差动态方程的稳定性，用来证明所设计的自适应观测器为全局渐近收敛的，既实现了系统状态的渐近重构又确保了在持续激励条件下未知参数估计以指数快速收敛到真值，并通过仿真试验。仿真结果表明提出方法的有效性。

关键词：非线性系统；状态估计；自适应控制；观测器

中图分类号：１他７３文献标识码：Ａ

ＤｅｓｉｇｎｏｆＡｄａｐｔｉｖｅＯｂｓｅｒｖｅｒｆｏｒＮｏｎｌｉｎｅａｒ

ＳｙｓｔｅｍｓｕｎｄｅｒＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ

ＮＩＵＬｉｎｌ，一．ＹＥＬｉａｏ—ｙｕａｎｌ

（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＬａｎｄａｎｄＳｏｕｒｃｅｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＫｕｎｍｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，

ＫｕｎｍｉｎｇＹｕｎｎａｎ６５００９３，Ｃｈｉｎａ；

２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈｅｎｇｄｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＣｈｅｎｇｄｕＳｉｃｈｕａｎ６１０１０６，Ｃｈｉｎａ）ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ａｎａｄａｐｔｉｖｅｏｂｓｅｒｖｅｒｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｈｅｎｏｎ?ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓｄｉｆｆｅｏｍｏｒｐｈｉｃａｌｌｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｏａｃａｎｏｎｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｂｙｕｓｉｎｇａｎａｄａｐｔｉｖｅｒｅｇｕｌａｔｏｒｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｂｕｉｌｄｉｎｇｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｔｏｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｓｙｓｔｅｍｓｓｔａｔｅｓ．ＢａｓｅｄｏｎＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｄｙｎａｍｉｃａｌｅｒｒｏｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｅｄａｎｄａｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｇｉｖｅｎｔｈａｔｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｄｅｓｉｇｎｅｄｇｕａｒａｎｔｅｅｓｆａｓｔｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｂｏｔｈｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒａｎｄｓｔａｔｅｅｓｔｉｍａｔｅｓｔｏａｃｔｕａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｓｔａｔｅｓｗｈｅｎｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｙｏｆｅｘ—ｃｉｔａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ａｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄｔｏｖｅｒｉｆｙｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．

ＫＥＹＷＯＲＤＳ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；Ｓｔａｔｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌ；Ｏｂｓｅｒｖｅｒ

ｌ引言

近２０年来，非线性状态观测器在诸如工业过程中的状态反馈控制、故障诊断、生化反应的状态提取等科学研究和工程应用领域中的重要价值而得到了大量研究。非线性观测器通常有两类设计方法Ｈ］：（１）通过非线性变换理论，将原系统转化为线性观测器设计¨－６］；（２）直接对原系统进行观测器设计，但由于非线性系统本身的复杂性，往往需针对不同的对象采用不同的设计方法，主要有¨…：类Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数法¨”、扩展的Ｋａｌｍａｎ滤波器方法Ⅲ’及扩展的Ｌｕｅｎｂｅｒｇｅｒ方法¨副等等。另外，根据研究系统模型与目标的不同，出现了自适应观测器垆Ｊ、鲁棒观测器＂Ｊ、高增益观测器等等。

基金项目：成都市科技攻关计划项目（０７ＧＧＹＢｌ９８ＳＦ）；

四川省教育厅自然科学基金项目（２００６Ｃ０９５）

收稿日期：２００９—０９—２４

自适应观测器的研究要追溯到２０世纪７０年代【“引。其中，文献［７］研究了线性系统指数收敛的自适应观测器设计方法。文献［８］扩展了文献［７］的结果，提出了未知参数非线性系统自适应观测器问题，该方法在持续激励下系统未知参数渐进收敛到真值，但不能保证以任意指数收敛。进一步的发展见文献［９］，设计了基于滤波变换具有任意指数收敛的自适应观测器，但该方法在持续激励条件不满足时不能确保状态估计的渐近收敛性。近年来有关自适应观测器的研究又有了新的进展，出现了无未知参数先验信息的非线性自适应观测器设计【ｌ…，求解线性矩阵不等式的观测器增益矩阵…Ｊ，不要求被观测对象结构和参数已知的自适应模糊观测器【１２’以及它们的应用¨３—４１等等。

本文针对一类参数不确定非线性系统，基于状态空间微分同胚将原系统变换为规范形式。利用自适应调节器来估计未知参数、用构造的观测器实现状态的重构，并用Ｌｙａ．

一１８９—

ｐｕｎｏｖ稳定性理论方法分析了状态观测误差动态方程的稳定性。理论和仿真实验证明，所设计的自适应观测器在持续激

励条件下状态估计和参数估计以指数速率快速收敛到真值。仿真表明了该结论的正确性。

２问题描述

茹＝以菇）＋ｑｏ（ｘ，酩）＋∑ａｌｑ；（菇，Ⅱ）

式中，茹∈Ｒ８、ｕＥＲ４、Ｙ∈Ｒ分别为系统的状态、输入和输出，菇不可测量。ｑｆ：彤×Ｒ“一彤、厂：尉一彤、ｈ：彤－＋Ｒ均为光滑函数，ｈ（ｘｏ）＝ｏ，ｑｏ（戈，０）＝Ｏ。ａ＝［ａｌ，．一．位４］７为系统

２，方程［：∥＾］＝【≥】有惟一解ｒｃ菇，“茁，ＥＲｎ，ｚ为

砒＝噔“差】；

缈一ａ∥ｈ４野Ｌｎ１危＝－（弓一２＾）

引理１…：若系统（１）满足假设１）和２），则存在全局、参数独立的状态空间微分同胚占＝Ｔ（ｘ），Ｔ（ｘｏ）＝０，使系统

量＝Ａ。占＋‰（，，，ｕ）＋∑ａ；机（ｙ，ｕ）

式中哕已不是系统状态茗的显函数而是可测量的系统一＝Ａ罚＋８（ｙ，酩）＋印２（ｔ）ａ，ｘＥＲ“，ｎ∈Ｒ＋

叠＝，７（＆爱）

占＝ｙ（＆爱）（３）实现系统（１）所有状态重构和相应未知参数的估计，此处田和７为Ｒ“上的函数。

３适应观测器设计

根据引理ｌ，对非线性系统（１）用微分同胚８＝ｒ（并）变换为自适应观测器形式

ｉ＝Ａ并＋８（ｙ，Ⅱ）＋６ｐ１（ｔ）ａ，二∈Ｒ８，ａＥＲ＋

，，＝ｃ罚（４）一１９０一

小㈦习

（５）

（６）

（７）

（８）

（９）

（１０）

０ｒ０（０）＝％，Ｍ（Ｏ）＝Ｍｏ，ｍ（Ｏ）＝ｍｏ。

（５）式中Ａ＝Ａ。＋ＫＣ。，选取Ｋ使Ａ为Ｈｕｒｗｉｔｚ矩阵，痧为一个正实数，Ａ是对称正定阵，％是对称正半定阵。

假设向量ｐ（ｔ）有界并且存在Ｔ＞０和∞＞０使得

．＋ｒ

』（ｂ（丁）咖’（ｒ）打≥ｔｏｌ，Ｖｆ≥０（１１）则状态误差ｉ＝ｘ一羹和参数误差＆＝ａ一＆将以指数速率ｆ。衰减到零。

定理：设非线性系统（１）满足假设条件１）和２），则参数调整律为式（６），自适应观测器（５）渐近收敛即：

了Ｖｒｍ，ｌｉ畸（ｆ）＝ｏ，ｌｉｍｏｔ（ｔ）＝０

证：记状态误差ｉ＝ｘ～ｊ和参数误差ａ＝ａ—ｃ；ｏ由式（４）和（５）得到自适应观测器与原系统的状态观测误差动态方程

ｉ＝氟＋幼７（ｔ）ａ，叉（ｏ）＝ｋｏ（１２）（１２）式的解为

ｉ（ｔ）＝ｅｘｐ（ｍ廊＋上ｅｘｐ（Ａ（Ｉ—ｆ）６ｐ７（７）ａ（丁）卉

（１３）根据式（６）、（９）、（１０）三个方程有

五＝Ａ（胍＋ｍ）

＝一Ａ厩一ＡＩｅ一４“一¨咖（ｒ）Ｃｃｅｍ（蕊＋ｏｒｏ—

ｇＯ’’

∑盯司ｄ。）打＋ｄｅ∞（１４）（１４）式中ｄ为一常向量．

由式（９）和（１０），当ｔ≥０时

Ｉ＋ｒ

Ｍ（ｔ＋ｒ）＝ｅ一一‘ｌ＋ｎＭ（ｔ）＋ｆｅ一一‘Ｈｒ一”咖（Ｊｒ）咖ｒ（ｆ）ｄｒ

≥ｅ。７ｆ咖（．ｒ）咖７（＿ｒ）卉

｛

≥ｅ’４７ｋｌ＞０（１５）假设Ｐ（ｔ）是有界的，则母（ｔ）和Ｍ（ｔ）有界。

考虑系统（１４）的自由分量部分

＆＝一Ａ厩（１６）取Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为

ｙ＝÷＆ｒＡ。１＆（１７）

求方程（１７）的微分，可推出

矿＝。＆７肮（１８）

根据（１５）式有

Ｐ≤一ｋｅ一６７０＆０２，Ｖｔ≥Ｔ

由（１７）和（１８）两式，可得

古≤一２‰（Ａ）ｅ一叮，Ｖｆ≥Ｔ

即

０五（ｔ）０≤＆Ｉ（瓦）ｅ喈”，Ｖｆ≥ｒ（１９）

其中Ｊ｝。＝（如（Ａ）缮。（以））∽０瓦０，ｆ。＝

ｋ４名。（以）如（Ａ），￡（Ａ）表示Ａ的最大和最小特征值。

再考虑系统（１４）的受迫分量部分

ｐ（￡）２Ｐ“１’咖（ｒ）ｃｏｅｈｅ瓯＋Ｏ＂ｏ一萋盯ｔ００１）卉

由引理２【８］，ｐ（ｔ）的解有界

０ｐ（ｔ）０≤ｋ２ｅ一纫，Ｖｔ≥０（２０）

其中，岛＝ｒａｉｎ｛￡（一Ａ），毋｝。结合式（１９）和（２０），当ｔｏ＝Ｔ时，

０ａ（ｔ）０≤也（瓦）ｅ一‘一，Ｖｔ≥ｒ（２１）ｋ，是取决于西的正实数，且厶＝ｒａｉｎ旧，＆｝。

最后，由于Ｐ（ｔ）有界，对系统（１２）应用引理２可得

怃（ｔ）０≤ｋ４（ｋｏ）ｅ蝴，Ｖｆ≥Ｔ（２２）其中，ｋ是取决于意的正实数。

综合式（２１）（２２）可知ｌｉｎ菇（ｔ）＝ｏ，ｌｉｍ五（ｔ）＝０

证毕

注１：如果系统（１）满足引理１假设条件，则可通过全局

微分同胚变换为自适应形式（２），定理可直接应用，并＝

Ｔ。１（占），Ｔ一是微分同胚的逆。如果附加条件‘１５】

吼（髫，Ⅱ）＝ｐ（＾（舅），ｕ）∑ｂ．－ｊ＋ｌｚ（并），ｚ≤ｉ≤咖

不满足，则需通过滤波变换‘２ＩＸ＝占一肘（ｔ）ａ将系统（２）转变

成为自适应观测器形式（４），然后再应用定理。

注２：如果系统（１）是线性和可观测的，则系统满足假设条件ｌ、２和附加条件，不需进行滤波转换可直接获得自适应观测器。

注３：由于特征状态Ｘ通过未知参数向量口与原状态茗相关联，故当持续激励条件满足参数估计收敛要求时，髫估计也收敛。４仿真实验

把本文所提出的自适应观测器用于如下机械手仿真。机械手的状态模型为ｎ６】

局＋＋ｍｇｌ，ｉＩＩｇ＝Ｍ（２３）式中，ｑ是角位移，ｕ是驱动力矩，．，是连杆的惯性力矩，ｇ是重力常数ｍ和Ｚ是连杆的质量和长度。

设Ｍ＝ｑ，ｘ２＝ｑ‘，ａＩ＝ｍｇｔ／（２Ｊ），嘞＝１／Ｊ从式（１３），有【≯［：黝㈨】【学】

，，＝疋ｌ（２４）１）建立自适应观测器

应用定理１可得状态估计和参数估计为【篓】＝【：乏：】［妻】＋［乏】，，＋【：＆一町＋＆：．“】口＝－Ａ（Ｍ口ｍ，

式中的肘，ｍ由（４）得到。

２）参数选择

ｍ＝１，Ｊ＝０．５，ｌ＝１，ｇ＝０．９８

Ｘ（０）＝［１．５，１．５ｒ，Ｍ。。（０）＝％（０）＝５，毋＝１＆（Ｏ）＝［３，１］７，Ａ＝厶。毛＝５，如＝３，

ｕ＝３（ｓｉｎ２ｔ＋ｅ０８２０ｔ）

３）仿真结果

采用”Ｏｄｅ４５”进行仿真，图１是系统状态误差曲线，图２是系统参数误差曲线。从图中可以看出估计参数误差和估计状态误差均快速收敛到零。这表明自适应观测器实现了系统状态的渐近重构及未知参数的渐近估计。

图１系统状态误差

５结论

利用微分同胚，将一类非线性系统变换为自适应观测器规范形式，利用自适应调节器来估计未知参数、用观测器实现状态的重构。Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论证明了．所设计的自适应观测器在持续激励条件下状态估计和参数估计以指数速率快速收敛到真值。

一１９１—

图２系统参数误差

工业实际中形如非线性系统（１）的观测器设计问题在自适应控制、故障诊断以及信号传输等领域有着广泛的应用，因而还需对观测器设计的前提条件等作进一步的研究，使其更具有通用性。

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【作者简介］

牛林（１９６３一），女（汉族）。四ＪＩＩ成都人，博士研

究生，副教授，主要研究领域为非线性系统，观测器

设计，智能控制理论及应用等；

叶燎原（１９５８一），男（回族），云南大理人，教授，博

士研究生导师，主要研究领域为智能控制理论及在减灾防灾中应用等。

（上接第１６９页）

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?－－——１９２?—－——

［作者简介】

齐新战（１９７１．１一），男（汉族），山西曲沃人，硕士，

主任，副教授，主要研究方向包括系统仿真、虚拟现

实、建模与仿真标准化等；

刘丙杰（１９７９．０７一）。男（汉族），山西曲沃人，博士，

讲师，主要研究方向包括系统仿真、故障预测、导弹测试、安伞性分析等；

冀海燕（１９７５．０７一），女（汉族），山东青州人，硕士，讲师，主要研究

方向包括导弹测试、惯性器件等。

非线性不确定系统的自适应观测器设计

作者：牛林， 叶燎原， NIU Lin， YE Liao-yuan

作者单位：牛林,NIU Lin(昆明理工大学国土资源工程学院,云南,昆明,650093;成都大学电子信息工程学院,四川,成都,610106)， 叶燎原,YE Liao-yuan(昆明理工大学国土资源工程学院,云南

,昆明,650093)

刊名：

计算机仿真

英文刊名：COMPUTER SIMULATION

年，卷(期)：2010,27(1)

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本文链接：https://www.360docs.net/doc/ff2239198.html,/Periodical_jsjfz201001055.aspx