2010年新课标九年级数学竞赛培训第19讲：转化灵活的圆中角
2010年新课标九年级数学竞赛培训第19讲：转化灵活的圆中角
一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）如图，直线AB与⊙O相交于A，B两点，点O在AB上，点C在⊙O 上，且∠AOC=40°，点E是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O 于另一点D，则使DE=DO的点总共有个．
6．（4分）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2=度．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是．
9．（4分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y=．
16．（4分）如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上
的任意一点（B、C点除外），则tan∠APB?tan∠CPD=．
17．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积为．
18．（4分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AD=3，CD=2，则BC=．
二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
2．（4分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；
②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE?BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（4分）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E．已知∠BCD：∠ECD=3：2，那么∠BOD等于（）
A．120°B．136°C．144° D．150°
11．（4分）如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
12．（4分）如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，
则∠D的度数为（）
A．60°B．120°C．135° D．150°
13．（4分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：
（1）CH2=AH?BH；
（2）=；
（3）AD2=DF?DP；
（4）∠EPC=∠APD，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（4分）如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（）
A．60°B．50°C．80°D．70°
20．（4分）如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB 和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，则⊙O的面积为（）
A．25πB．16πC．15πD．13π
21．（4分）如右图，DE∥FG∥HJ∥BC，图中相似三角形的（）对．
A．6 B．5 C．4 D．3
三、解答题（共9小题，满分86分）
3．（8分）如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE?AC，BD=8，求△ABD的面积．
4．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C 作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线
CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．
（1）求证：AC2=AG?AF；
（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．
5．（10分）如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF 相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．
求证：（1）；（2）．
14．（10分）已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC?BC=BE?CD；
（2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
15．（10分）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB2=FA?FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
22．（10分）如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．
求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB?DC+AD?BC=AC?BD．
24．（10分）已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
（l）求证：PA?PB=PO?PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=6，∠B为锐角，且关于x的方程x2﹣4xcosB+1=0有两个相等的实数根．D是劣弧上任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）求∠B的度数；
（2）求CE的长；
（3）求证：DA、DC的长是方程y2﹣DE?y+DE?DF=0的两个实数根．
2010年新课标九年级数学竞赛培训第19讲：转化灵活的
圆中角
参考答案
一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．3；6．72°或108°；7．90；8．4；9．﹣x2+2x；16．；17．；18．
﹣1；
二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
2．C；10．C；11．B；12．D；13．C；19．D；20．D；21．A；
三、解答题（共9小题，满分86分）
3．；4．；5．；14．；15．；22．；23．；24．；25．；
07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答
2007年高等数学竞赛培训班 线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分) 1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=??. 解：222 222 (234)d 2d (34)d 012d 12L L L L xy x y s xy s x y s s a ++=++=+=? ? ? ?蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()d x y S ∑+=??解：()d d d x y S x S y S ∑ ∑ ∑ +=+?????? ()8110d d 333x y z S S ∑∑∑ =+++==????88d d 33xy xy D D x y x y ==????3.密度为0μ的均匀金属丝2222 :0 x y z R x y z Γ?++=?++=? 对于x 轴的转动惯量 304π 3 x R I μ=. 解：22 2 22220000222()d ()d d 2π3 33 x I y z s x y z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==????蜒? 304π3 R μ=. 4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23 π L x y y x x y y - =+--++??. 解： 22d d 23L x y y x x y y - -=+++?? 222 (1)2 d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+????. 5.设:z ∑=，则2 d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑ = ++=??下侧 . 解：2221 2d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤= + + =+- =?? ?? ?? ??下侧 下侧 下侧 . 评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意 1z =
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法
第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数
2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则
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专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
2017-2018学年度第九届高等数学竞赛(答案)
中山大学新华学院第九届高等数学竞赛 姓名 学号 班级 成绩 一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数( ) 1 1y ln x =++()()1,00,-?+∞。 2. 21 11.dx x +∞ =?。 3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-; 4. 1 1(1x x -+=?2 π. 5. a = 6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=8613316 1 5.64310C C -=? 二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2 ++=x x d dy )1(1 122++++= x x d x x ............3分 dx x x x x ??? ? ? ?++++=1111 22 ----------5分 .1 12 dx x += ------------7分 2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-， (1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。 解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-??++=?，解得0 ;3a b =??=-? ------------------ 2分
（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+- 由上表可得，极大值(1)2f -=。 ------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0 () lim 0,x f x x →=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10 ()lim 1.x x f x x →? ? + ?? ? 解： 4、设 211()x x f x e -?? +=??? 00x x >≤，求31(2)d f x x -?. 解：令2=-t x ，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3= x 时，1=t ------------------ 3分 3 101 1 1 1 (2)d ()d ()d ()d ---==+? ???f x x f t t f t t f t t 0 211d 1+x x -=? 1-0e d x x +?114e π=-+ ------------------ 7分 5. 计算4 0? t =，则2 ,2x t dx tdt == ------------------ 2分 4 2 02t te dt =? ? ------------------- 4分 2 2 2 22000 2()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+? -----------------7分 2000011()1() () lim ln 1lim lim 0000() 1()(0)1 lim lim (0)222002 () (0)lim ()lim 000, ()(0)() (0)lim lim 0, ()lim 1. x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x f x f x f f x x x x f x f f x x x f x f f x f x x f x e e e x e e e e →→→→??+? ? ? ?→→→= = →'''-''→→===?=-'===? ?+= ???====
初二下册数学竞赛试题及答案
八年级数学竞赛试题 一．选择题（共10小题,，每小题4分，共40分） 1. 一辆汽车从湄江出发开往娄底．如果汽车每小时行使a 千米，则t 小时可以到达，如 果汽车每小时行使b ()b a >千米，那么可以提前到达娄底的时间是（ ）小时． 2. . A at a b + B.bt a b + C.abt a b + D.bt at b - 3. 分式方程()() 1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） 4. A.0和3 B.1 C.1和2- D.3 5. 由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是（ ） 6. A.已知等腰三角形的两腰 B.已知一腰和一腰上的高 7. C.已知底角的度数和顶角的度数 D.已知底边长和底边上的中线的长 8. ，得（ ） 9. A.(1x -(1x -(1x -+ D.(1x - 10. 当x = ()20033420052001x x --的值是（ ） 11. A.0 B.1- C.1 D.20032- 12. 若34x -<<45x -=的x 值为（ ） 13. A.2 B.3 C.4 D.5 14. 设0a b <<，224a b ab +=，则a b a b +-的值为（ ） 15. C.2 D.3 16. 若不等式组21 1x a x a >-??<+? 无解，则a 的取值范围是（ ） 17. A.2a < B.2a = C.2a > D.2a ≥ 18. 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集是1 3 x <，则0bx a -<的解集是（ ） 19. A.3x >- B.3x <- C.3x > D.3x < 20. 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分， 则这个等腰三角形的底边长为（ ） 21. A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 二．填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 22. 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，且AB BD AC +=，若64B ∠=?，则C ∠= ．
2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
大学 高等数学 竞赛训练 级数
大学生数学竞赛训练四—级数 一、（20分）设()2 101n n x f x x n ∞ ==≤≤∑ 1）证明：()()()()2 1ln ln 1016 f x f x x x x π+-+-=≤≤ 2）计算1 011ln 2dx x x -? 证明：1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+-，因为 ()()()1 111 1ln 1ln 1n n n n x x x x F x n n x x --∞ ∞==--'=-+ - -∑ ∑ ()() ()()() ()1 11 1 111ln 111 ln 11n n n n n n x x x x x n x n x x --∞ ∞ ==-------= + + - --∑∑ ()()ln 1ln 1ln ln 0,0111x x x x x x x x x --=- + +-=<<-- 所以，当01x ≤≤时，()F x 为常数，即有 ()()()2 21 1116n F x F f n π∞ =====∑ （注意这里利用了极限()()()211112 1ln 1ln 1lim ln ln 1lim lim lim 0111 1ln ln x x x x x x x x x x x x x ----→→→→- ---====-- ） 2）()()1110222ln 2ln 1ln 2112ln 12t x t t dx dt dt x x t t =-??? ?+- ? ?-?? ?=--=- ? ??? ??? () 1 11 12 22 22221 11111112ln 2ln 2ln 222n n n n n n n n n t t dt dt t n n n n --∞∞∞∞====?? -- ???=-+=--=--+∑∑∑∑?? 2 2 2 211ln 2ln 262122 f ππ ??=-+-=- ???。 二、（15分）设()f x 在点0x =的一个邻域内有连续导数，且()0 lim 0x f x a x →=>。证明：级
八年级数学竞赛专题训练18 直角三角形(附答案)
八年级数学竞赛专题训练18 直角三角形(吴梅录入) 阅读与思考 直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余； 边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和； 边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面. 在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法. 熟悉以下基本图形基本结论： 例题与求解 【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________. （2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________. D C （太原市竞赛试题） 解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手. 【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°
（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础. 【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB的度数. B C （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键. 【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD. B A C （上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明. 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222 += BD AB BC B （北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中. 【例6】斯特瓦尔特定理：
新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
高等数学竞赛数学专业类
数学分析竞赛（2003、2004级解答） 一、判断题（每题5分，共25分） 1、不正确。例：{}{}1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1n x =L ， {}{}11,0,0,k n x =L ，{}{}2 1,0,0,k n x =L ，{}{}31,0,0,k n x =L ，…。 2、不正确。例：()2,0,x x f x x ?=??是有理数 是无理数 。 3、不正确。例：( )f x = 4、正确。0x I ∈，,αβ?，使[]0,x I αβ∈?，()n f x 在[],αβ上一致收敛。 5、正确。两边进行积分计算可得相等。 二、证明题（12分） 证明：由12lim 0n n n n x x x →∞ ++=+?,N n N ??≥，有121 4 n n n x x x ++<+。 ()4' 特别地有， ()121 4 N N N x x x ++< + 整理得， (){}112121 2max ,2 N N N N N n x x x x x x ?++++<+≤= （1） ()9' 注意到1n N >，故有 {} 1112122max ,n n n n x x x x ? ++<= （2） 由（1）和（2）可得 21222n n N x x x >> 以此类推，可得{}k n x 且2k k n N x x >，所以{}n x 无界。 ()12' 三、证明题（13分） 证明：（i ）只须证：0ε?>，0δ?>，1212,:x x a x x δ?>-<，有 ()()12f x f x ε-<。事实上，任取0ε>， ()()121122 1111 sin sin f x f x x x x x -= -
八年级数学竞赛讲座整体的方法附答案
第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题． 解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用． 例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式 y x z y x 3200020002000+++的值为 ．(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=y x z y x 3)(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造． 【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手． 【例3】 已知2 19941+=x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值． 【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值． (山东省竞赛题)
高等数学竞赛试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：
八年级数学培优竞赛专题25 配方法
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、2222()a ab b a b ±+=± 2、2a b ±= 3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2 2 2 9a b c ++= ，则代数式222 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
九年级数学竞赛
九年级数学抽测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线 解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ， 则BCD ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D
( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例 函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。
07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答.doc
2007年爲务紅兮菴赛培训班 线面积分练习题参考解答2006.5.13 一?填空题（每小题3分，共15分） 1 ?设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2 + 3x 2 + 4y 2 心=巾 2xy 2 ds + 血（3x 2 + 4y 2 ）dy = 0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2?设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS = JA /3 ? L 解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41S JI 2As = 1 2Q ? <4加i X + M +》|)dS 二胡 dS 二制 x 2+(y+l)2<2 Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再?1?1 =扌屁 % 丫2 + / + 2 二 R 2 3 ?密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十?—K 对于兀轴的转动惯量 x+尹十z=0 4 =細）尿? 解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣 =扌“（）兀7?'? 4 ?设厶：宀（卩+ 1）2二2 xdy-ydx x 2 十尹2 +2尹十3 -7T 5.设X:z = -y]l-x 2 -y 2 ,贝!j / = jj x 2 dydz + cos ydzdx + zdxdy = 3 71 解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2 dxdy = i^-
评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意 ①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行； ②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如 光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有 0, 若伪x的偶函数， ⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数. L刀半 ③也可利用轮换对称性。 二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内） 1 ?设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且 0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于 (A)l?(B) 0?(C) 21. (D)|. (::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀? F dx = 0 + * = ￡ 2.设S:x2+/+z2=l 解: (沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有 (A) 口xdS = 4JJ xdS ?(B) jj ydS = 4 jj xdS ? S S] S S] (C) JJ zdS = 4jj xdS ?(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ?答：(C ) S S\ S S\ 解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对?事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上 S S| 的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS? S S] S] 3?设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是 （A） x2dS,^j* x2dvdz ?（B）前xdS,曲Xdpdz ? E2?外z （C）前xdS,曲xdydz ?（D）前xydS,前ydzdx?答：（B ）
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的化简与求值 典例剖析 【例l 】 已知2 310a a -+=，则代数式3 61 a a +的值为 ． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a +=，需要对所求代数式变形含“1 a a +”． 【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =， 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路． 【例3】 3(0)x y z a a ++=≠． 求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程． 【例4】 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值． （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111 a b c a b c ++= ++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数． 解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=． （北京市竞赛试题） 【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++= ② 1 4 b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答． （全国初中数学联赛试题） 能力训练 1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-+-+的值是 ． （“希望杯”邀请赛试题） 2．已知2 131 x x x =-+，则242 91x x x =-+ ． （广东竞赛试题） 3．若2 2 2 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 ． （“缙云杯”竞赛试题） 4．已知 232325 x xy y x xy y +-=--，则11 x y -= ． 5．如果111,1a b b c + =+=，那么1 c a +=（ ）． A ．1 B ．2 C ．12 D ．1 4 （“新世纪杯”竞赛试题）
2007 年新知杯上海市初中数学竞赛
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.