2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：23选择题解题技能训练

第一部分 二 23

一、选择题

1．(文)已知抛物线y 2

＝4x 的准线与双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物

线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )

A ．3

B ． 6

C ．2

D ．3

[答案] B

[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a 2

a )，若△F AB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△F AB

为等腰直角三角形，所以1－a 2a ＝2?a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝

c

a ＝6，选B ．

(理)(2014·中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2

b 2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆

被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )

A ．3

B ．23

3

C ． 5

D ．

52 [答案] B

[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°， ∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233

.

[方法点拨] 直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有

关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：

(2015·河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2

＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，

若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )

A ．4

B ．413

13

C ． 2

D ．1＋52

[答案] C

[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b

a x ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |

＝13|AB |＝2173

， 由???

y ＝b

a x ，x

2

17＋y 2

＝1.

得：x 217＋b 2a 2x 2

＝1，x ＝±

17a 2

a 2＋17

b 2

，

∴|CD |＝2

1＋b 2a

2·17a 2

a 2＋17

b 2

＝2

17(a 2＋b 2)a 2＋17b 2

＝217

3，

整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.

2．(2015·新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝1

4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )

A ．2

B ．1

C ．12

D ．1

8

[答案] C

[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)?a 4＝2，所以q 3＝a 4

a 1＝8?q ＝2，故a 2＝a 1

q ＝12，选C ．

3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )

A ．3 1

B ．2 1

C ．4 1

D ．3 1

[答案] B

[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 1

3，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱

柱分成的两部分的体积之比为2 1.

(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C

1＋cos A cos C

等于( )

A ．35

B ．4

5

C ．34

D ．43

[答案] B

[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝4

5，cos C ＝0，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45，

解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝4

5.故选B ．

[方法点拨] 特例法

从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．

请练习下题：

已知椭圆E ：x 2m ＋y 2

4＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋

1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )

A ．kx ＋y ＋k ＝0

B ．kx －y －1＝0

C ．kx ＋y －k ＝0

D ．kx ＋y －2＝0 [答案] D

[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；

B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；

C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选

D ．

[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．

4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A

2)，则下列结论中一定正确的是( )

A ．sin A

B ．cot A

C C ．tan A

D ．cos A

[答案] A

[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．

(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．－3

D ．1或－3 [答案] D

[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2

＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.

5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π

2

＋x )，则f ′(x )的图象是( )

[答案] A

[解析] ∵f (x )＝1

4

x 2＋cos x ，

∴f ′(x )＝1

2

x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．

又f ′(π6)＝12×π6－sin π6＝12×(π

6－1)<0，排除C ，选A ．

[方法点拨] 筛选法

筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．

6．(文)(2015·南昌市一模)给出下列命题：

①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32

②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ????θ－π6＝13，则cos ????π3－2θ＝7

9.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

[答案] B

[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，

取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；

对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；

对于③，因为sin ????θ－π6＝13，所以cos ????π3－2θ＝cos ????2θ－π3＝1－2sin 2????θ－π6＝1－2×???

?132

＝7

9

，所以③正确． (理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地

区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )

①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.

A ．①②

B ．③④

C ．③④⑤

D ．④⑤

[答案] D

[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝18

7，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，

③错，∴选D ．

7．已知函数f (x )＝?

????

x ，x ≤0，

x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m

的取值范围为( )

A ．[－1

2，1]

B ．[－1

2，1)

C ．(－1

4，0)

D ．(－1

4

，0]

[答案] C

[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－1

4，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y ＝m 与函数

y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－1

4

[方法点拨] 数形结合法

将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．

1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．

2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．

请练习下题：

(2014·长春市三调)已知实数x 、y 满足：?????

x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值

范围是( )

A ．[5

3，5]

B ．[0,5]

C ． [0,5)

D ． [5

3

，5)

[答案] C

[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53

≤u <5，

∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．

8．(2015·辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≤x ，x ＋y ≤1，

y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最

大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

[答案] B

[解析] 作出可行域如图

平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，

∴m ＝2×2－1＝3，n ＝2×(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.

9．(2015·安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )

A ．a >0，b <0，c >0，d >0

B ．a >0，b <0，c <0，d >0

C ．a <0，b <0，c >0，d >0

D ．a >0，b >0，c >0，d <0

[答案] A

[解析] 令x ＝0?d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )

＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 10，∴a >0.

∴???

x 1＋x 2＝－2b

3a

>0，

x 1x 2

＝c

3a >0，

??

????

b <0，

c >0.故A 正确． 10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ

2＝( )

A ．m －3

9－m

B ．m －3

|9－m |

C ．－15

D ．5

[答案] D

[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ

2也为一确定的

值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ

2

>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．

(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )

[答案] B

[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．

[方法点拨] 估算法

由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．

11．(文)(2014·石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、

F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )

A ．a ，a

B ．a ，a 2＋b 2

C ．a 2，3a 2

D ． a 2

，a

[答案] A

[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .

(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π

2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值

范围是( )

A ．0≤a <1

B ．－3≤a <1

C ．a <1

D ．0

[答案] A

[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π

6)，g (x )＝a ＋1，利

用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．

12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )

A ．16

9π

B ．8

3π

C ．4π

D ．649

π

[答案] D

[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝16

3π>5π.

13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )

A ．?n ∈N *，a n >b n ?a n ＋1>b n ＋1

B ．?m ∈N *，?n >m ，a n >b n

C ．?m ∈N *，?n >m ，a n ＝b n

D ．?m ∈N *，?n >m ，a n

[解析] 特值排除法：取a 1＝1，a 2＝2；b 1＝1

2，b 2＝3，显然a 1>b 1但a 2

当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．

(理)已知0

A ．成等比数列

B ．成等差数列

C ．即是等差数列又是等比数列

D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D

[解析] 方法1：可用特殊值法．

令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)

则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n

1＋2log a q

，

可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．

14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．

设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)

A ．①

B ．②

C ．③

D ．都一样

[答案] D

[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．

(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和

为M ，则有( )

A ．P ＝S

M

B ．P >S

M

C ．P 2＝(S

M )n

D ．P 2>(S

M

)n

[答案] C

[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M 和P 2>(S

M )n

不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠S

M

，所以选项A 不正确．

15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )

[答案] C

[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，

f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－1

2，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点

为2π

3

，靠近π，排除D ． (理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )

[答案] D

[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π

2

时，y ＝1，排除C ． 16．(文)(2014·浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a (a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中00)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中00)中0

(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )

[答案] A

[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．

[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．

17．(2015·四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ????2x ＋π

2 B ．y ＝cos ????2x ＋π

2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x

[答案] B

[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中

π

y＝2sin (2x＋

4)是非奇非偶函数．故正确答案为B．