2015年中考数学真题训练二次函数 及答案

二次函数

1.（2015湖北）将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）

A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6

解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．

将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，

故选：B．

2.（2015?福建）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A．B．C．D．

解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故

不合题意，图形错误．

B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴y=﹣位于y轴的右侧，

故符合题意，

D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．

3.（2015?山东）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过( )

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【解析】试题分析：先根据二次函数的图象与系数的关系，又开口方向得a＞0，由对称轴x=＜0可得b＞0，所以一次函数y=bx+a

的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D

4. （2015?浙江）如图，抛物线y=－x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=－1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于抛物线

对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（▲）

（A）①（B）②（C）③（D）④

解：①当x＞0时，函数图象过二四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；

②二次函数对称轴为x=﹣=1，当a=﹣1时有=1，解得b=3，故本选项错误；

③∵x1+x2＞2，

∴＞1，

又∵x1＜1＜x2，

∴Q点距离对称轴较远，

∴y1＞y2，故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，

连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．

当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；

则DE==；D′E′==；

∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．

故选C．

5. （2015?四川）二次函数（）的图象如图所示，下列说法：

①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，

其中正确的是（）

A．①②④B．①④C．①②③D．③④

【答案】B．

③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（，）、（，）在函数图象上，当时，；当

时，；故③错误；

④∵二次函数的图象过点（3，0），∴x=3时，y=0，即，故④正确．

故选B．

6．（2015?山东）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n （m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）

A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤

解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴b=﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴x=1时，二次函数有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；

∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）

∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．

故选C．

7．（2015·湖南省）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）

A ． m ＞1

B ． m ＞0

C ． m ＞﹣1

D ． ﹣1＜m ＜0

解：由y =（x ﹣m ）2+（m +1）=x 2﹣2mx +（m 2+m +1），

根据题意，，

解不等式（1），得m ＞0， 解不等式（2），得m ＞﹣1； 所以不等式组的解集为m ＞0． 故选B ．

8．（2015?广东）对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

解：y =﹣x 2+2x =﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x =1，正确； ②∵直线x =1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1，错误；

③当y =0，则x （﹣x +2）=0，解得：x 1=0，x 2=2， 故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；

④∵a =﹣1＜0，

∴抛物线开口向下，

∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），

∴当0＜x ＜2时，y ＞0，正确．

故选：C ．

9. （2015?浙江）二次函数)0(4)4(2≠--=a x a y 的图象在2

则a 的值为【 】 A . 1 B . －1 C . 2 D . －2

【答案】A .

解：∵二次函数2(4)4(0)y a x a =--≠的图象在2

∴当52x =

时，二次函数2(4)4(0)y a x a =--≠的图象位于x 轴的下方；当132

x =时，二次函数2

(4)4(0)y a x a =--≠的图象位于x 轴的上方.

∴2

2165<(4)4<0161692<<1316

259(4)4>0>225a a a a a ??--???????

???--????.

∴a 的值为1.

故选A .

10．（2015?安徽省）如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ）

解：∵一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx +c 图象相交于P 、Q 两点，

∴方程ax 2+（b ﹣1）x +c =0有两个不相等的根， ∴函数y =ax 2+（b ﹣1）x +c 与x 轴有两个交点，

∵方程ax 2+（b ﹣1）x +c =0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，

∴x 1+x 2=

﹣＞0，

∴﹣

＞0，

∴函数y =ax 2+（b ﹣1）x +c 的对称轴x =﹣＞0，

∵a ＞0，开口向上， ∴A 符合条件，

故选A ． 11．（2015?四川）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （c ≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a +b +c ，则P 的取值范围是

（ ）

A ． ﹣3＜P ＜﹣1

B ． ﹣6＜P ＜0

C ． ﹣3＜P ＜0

D ． ﹣6＜P ＜﹣3

解：∵抛物线y =ax 2+bx +c （c ≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）， ∴0=a ﹣b +c ，﹣3=c ， ∴b =a ﹣3，

∵当x =1时，y =ax 2+bx +c =a +b +c ， ∴P =a +b +c =a +a ﹣3﹣3=2a ﹣6， ∵顶点在第四象限，a ＞0， ∴b =a ﹣3＜0， ∴a ＜3， ∴0＜a ＜3， ∴﹣6＜2a ﹣6＜0， 即﹣6＜P ＜0． 故选：B ．

12．（2015·山东）已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac =0；③a ＞2；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）

P Q O

O

O O

O y

y y y y

x x x x x

A ．

B ．

C ．

D ．

第10题图

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴左边，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c+2＞2，

∴c＞0，

∴abc＞0，

∴结论①不正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，

∴△=0，

即b2﹣4ac=0，

∴结论②正确；

∵对称轴x=﹣=﹣1，

∴b=2a，

∵b2﹣4ac=0，

∴4a2﹣4ac=0，

∴a=c，

∵c＞0，

∴a＞0，

∴结论③不正确；

∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，

∴x=﹣2时，y＞2，

∴4a﹣2b+c+2＞2，

∴4a﹣2b+c＞0．

∴结论④正确．

综上，可得

正确结论的个数是2个：②④．

故选：B．

13. （2015?浙江）如图，已知直线分别交轴、轴于点、，是抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点且平行于轴的直线交直线于点，则当时，的值是▲ .

【答案】4或或或.

【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．

【分析】根据题意，设点的坐标为，则.

在令得．∴.

∵

∴，即.

由解得或.

由解得或.

综上所述，的值是4或或或.

14.（2015湖南）

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）

①b＞0

②a﹣b+c＜0

③阴影部分的面积为4

④若c=﹣1，则b2=4A．

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

又∵对称轴为x=﹣＞0，

∴b＜0，

∴结论①不正确；

∵x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

∴结论②不正确；

∵抛物线向右平移了2个单位，

∴平行四边形的底是2，

∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，

∴平行四边形的高是2，

∴阴影部分的面积是：2×2=4，

∴结论③正确；

∵，c=﹣1，

∴b2=4a，

∴结论④正确．

综上，结论正确的是：③④．

故答案为：③④．

15.（2015上海）如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________．

【答案】

【解】抛物线方程配方，得：y＝（x＋1）2－2，向上平移，得：y＝（x＋1）2＋c，

经过点A（0,3），则：3＝1＋c，c=2，

所以，新抛物线的表达式是：y＝（x＋1）2＋2＝x2＋2x＋3。

16. （2015山东）二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．

【答案】．

17. （2015?浙江）已知抛物线

)()(2m x m x y ---=，其中m 是常数

（1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线2

5=

x ，

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？

解：（1）证明：∵2()()()(1)y x m x m x m x m =---=---，

∴由

()(1)0y x m x m =---=得12,1x m x m ==+ .

∵1m m ≠+，∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点. （2）①∵

()()22()()211y x m x m x m x m m =---=-+++，

∴抛物线的对称轴为直线()215

2

2

m x -+=-=

，解得2m =.

∴抛物线的函数解析式为

256y x x =-+.

②∵2

2

515624y x x x ??=-+=-- ??

?.

∴该抛物线沿

y 轴向上平移14

个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点. 18. (2015山东)

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用c

bx x y ++-=26

1

表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为2

17

m 。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少

米？

【答案】426

1

2++-=x x y ，拱顶D 到地面OA 的距离为10米；可以通过；43

【解析】

试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x =2或x =10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y =8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值.

(2)、由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当)10(2==x x 或时，63

22

＞=

y ，所以可以通过

(3)、令8=y ，即8426

12

=++-

x x ，可得024122=+-x x ，解得326,32621-=+=x x

3421=-x x 答：两排灯的水平距离最小是34

19．（2015?广东梅州,第21题，9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件）

200

180

160 140

… 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元．

（1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x ﹣60）元； ②设月销量W 与x 的关系式为w =kx +b ，

由题意得，

，

解得，，

∴W =﹣2x +400；

（2）由题意得，y =（x ﹣60）（﹣2x +400）

=﹣2x 2+520x ﹣24000 =﹣2（x ﹣130）2+9800， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．

20．（2015?安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2．

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；

(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，

∴AE =2BE ， 设BE =a ，则AE =2a ，

∴8a +2x =80，

∴a =﹣x +10，2a =﹣x +20，

∴y =

（﹣x +20）x +（﹣x +10）x =﹣x 2+30x ，

∵a =﹣x +10＞0，

∴x ＜40，

则y =﹣x 2+30x （0＜x ＜40）；

（2）∵y =﹣x 2+30x =﹣（x ﹣20）2+300（0＜x ＜40），且二次项系数为﹣＜0，

∴当x =20时，y 有最大值，最大值为300平方米．

21．(2015江苏)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本（单

位：元）

、销售价

（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．

(1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2）求线段AB 所表示的

与x 之间的函数表达式；

(3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

区域① 区域② 区 域 ③

岸 堤 A

B

C

D E F G H 第20题图

【答案】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

(2）设线段AB所表示的与x之间的函数关系式为，∵的图象过点（0，60）与（90，42），∴，∴解得：，

∴这个一次函数的表达式为：y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

(3）设与x之间的函数关系式为，

∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，

∴这个一次函数的表达式为（0≤x≤130），

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

当0≤x≤90时，W==，

∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

当90≤x130时，W==，

∴当x=90时，W=，

由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

22. （2015?四川）

某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元．电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度；月用电量不超过4万度时，单价都是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y与月用电量x的函数关系可以用如图来表示．（效益＝产值－用电量×电价）；

（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）求工厂最大月效益．

【答案】z=；54万元.

试题解析：(1)、根据题意，

电价y与用电量x的函数关系式是分段函数.

当0≤x≤4时，y=1 当4＜x≤16时，函数是过点(4，1)和(8,1.5)的一次函数

设一次函数为y=kx+b∴解得：

∴电价y与用电量x的函数关系为：y=

月效益z与用电量x之间的函数关系式为：z=

即z=

23. （2015?浙江）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务，该企业招

收了新工人.设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价－成本）

解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，

由题意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；

当9≤x≤15时，设P=kx+b，

把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，

解得，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w

=513（元）；

最大

②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整数，

∴当x=9时，w

=714（元）；

最大

③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，

∵a=﹣3＜0，

∴当x=﹣=12时，w

=768（元）；

最大

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

24.（2015湖南）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．

（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

解：（1）S=y（x﹣20）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；

（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，

则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．

43.（2015?福建）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

解：（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；

（2）小英说法正确；

矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648，

∵72﹣2x＞0，

∴x＜36，

∴0＜x＜36，

∴当x=18时，S取最大值，

此时x≠72﹣2x，

∴面积最大的表示正方形．

25.（2015湖北鄂州第23题10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）（3分）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）（3分）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．

（3）（4分）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

【答案】(1) y=－2x+200（30≤x≤60）(2)w=－2(x－65）2 +2000);(3) 当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元

26．（2015·湖南）

如图，顶点M在轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

27.（2015湖北）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

解：（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，

解得x1=﹣2，x2=﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，

．

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．

（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

28. （2015?四川省）

如图，抛物线y= –1

2x 2+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P .

（1）求抛物线的解析式； （2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H

①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；

②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

O

H F

P

M

N C

B

A

y

x

29．（2015?广东）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．