2015年全国数学竞赛试题及答案

2015年福建省初中数学竞赛

考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

．已知a =，则322

2621a a a a ++=-（） A

． B

．2 D

2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。

则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（）

A ．215

B ．15

C ．25

D ．35

3．已知圆O

是边长为ABC 的内切圆，圆1O 圆O 外切，且与ABC △的CA 边、CB 边相切，则圆1O 的面积为（）

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

4．如图，P 为等腰三角形ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足

分别为D 、E 、F 。已知10AB AC ==，12BC =，且133P D P E P F =∶

∶∶∶。则四边形PDCE 的面积为（）

A ．10

B ．15

C ．

403 D ．50

5．记()S n 为非负整数n 的各个数位上的数字之和，如(0)0S =，(1)1S =，

(1995)199524S =+++=。则(1)(2)(3)(2015)S S S S ++++=L （）

A ．28097

B ．28098

C ．28077

D ．28087 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则

121111

x x +=++ 。 7．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=?。则CEF △的周长为。

8．若13x ≤≤时，二次函数2234y x ax =-+的最小值为23-，则a =

。

9．已知正整数

p ，q

()p q ，

的个数是。 10．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足条件[][]225

x x x x ???+=???

的x 的取值范围为。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．如图，二次函数2y mx nx p =++的图像过A 、B 、C 三点，其中(11)C -

-，

，点A 、B 在x 轴上（A 在点O 左侧，

B 在点O 右侧），且sin BA

C ∠=

sin ABC ∠=

（1）求二次函数的解析式；

（2）求ABC △外接圆的半径。

12．已知关于x 的方程224420

n n +---=有有理数根，求正整数n 的值。

13．如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点

M 在射线BA 上，且45NCM ∠=?。求证：222MN AM BN =+。

14．在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<

2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分

．已知a =，则322

2621a a a a ++=-（） A

． B

．2 D

2 【答案】 A 【解答】

由1

a =

，知21a

，21a +，24413a a ++=，2212a a =-。 ∴ 32322

22626112133212222

a a a a a a a a a a a a ++++-==---=-----

211)1a =--=--=

2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。

则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（）

A ．215

B ．15

C ．25

D ．35

【答案】 B

【解答】将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之

间不考虑顺序）：(12)，，(34)，，(56)，；(12)，，(35)，，(46)，；(12)，

，(36)，，(45)，； (13)，，(24)，，(56)，；(13)，，(25)，，(46)，；(13)，，(26)，，(45)，； (14)，，(23)，，(56)，；(14)，，(25)，，(36)，；(14)，，(26)，，(35)，； (15)，，(23)，，(46)，；(15)，，(24)，，(36)，；(15)，，(26)，，(34)，； (16)，，(23)，，(45)，；(16)，，(24)，，(35)，

；(16)，，(25)，，(34)，。其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。

∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为31

155

=。

3．已知圆O

是边长为ABC 的内切圆，圆1O 圆O 外切，且与ABC △的CA 边、CB 边相切，则圆1O 的面积为（）

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

【答案】 A

【解答】如图，设圆O 切CB 边于D ，圆1O 切CB 边于E ，且圆O 的半径为R ，圆1O 的半径为r 。

由ABC △

是边长为

263OC ==

，133R OD ===，

∵ 圆1O 圆O 外切，且与ABC △的CA 边、CB 边相切， ∴ O 、1O 、C 三点共线，30OCD ∠=?，1122OC O E r ==。 ∴ 112336OC OO OC R r r r =+=++=+=，1r =。 ∴ 圆1O 的面积为21ππ?=。

4．如图，P 为等腰三角形ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足

分别为D 、E 、F 。已知10AB AC ==，12BC =，且

133

P D P E

P F =∶∶∶∶。则四边形PDCE 的面积为（） A ．10 B ．15 C ．

403 D ．50

【答案】 C

【解答】如图，连结PA ，PB ，PC 。

易知1

128482

ABC S =??=△。又

111

222

ABC PBC PCA PAB S S S S BC PD CA PE AB PF =++=?+?+?△△△△

65548PD PE PF =++=，133PD PE PF =∶∶∶∶。

∴ 4

PD =

，4PE PF ==。由PE PF =，知点P 在BAC ∠的平分线上，A 、P 、D 三点共线。 ∴ 222PC PD DC =+，2222222

)3EC PC PE PD DC PE =-=+-=（第4题图）

（第3题答题图）

∴ 143

EC =。 ∴ 111411440642223233

PDC PEC PDCE S

S S PD DC PE EC =+=

?+?=??+??=△△四边形。 5．记()S n 为非负整数n 的各个数位上的数字之和，如(0)0

S =，(1)1S =，(1995)199524S =+++=。则(1)(2)(3)(2015)S S S S ++++=L （）

A ．28097

B ．28098

C ．28077

D ．28087 【答案】 B

【解答】设(0)(1)(2)(1999)S S S S S =++++L 。则2(1999)2000S =+++?，28000S =。

又(2000)(2001)(2002)(2009)210(0129)65S S S S ++++=?+++++=L L ，

(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)34567833S S S S S S +++++=+++++=，

∴ (1)(2)(3)(2015)28000653328098S S S S ++++=++=L 。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则

1211

x x +=++ 。【答案】

【解答】由2

23231y x y x x =+??=-+?，得2

2520x x --=。 …………… ① 依题意，1x ，2x 为方程①的两根，125

x x +=

，121x x =-。 ∴ 21111212121252

(1)(1)()2119

2511(1)(1)()15112

x x x x x x x x x x x x +++++++====+++++++-++。

7．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=?。则CEF △的周长为。

【答案】 2 【解答】如图，在CD 的延长线上取点G ，使得DG BE =，连结GA 。

则由ABCD 为正方形，易得ABE ADG △≌△。

∴ B A E D A G ∠=∠，

AE AG =。 ∵ 45EAF ∠=?，

∴ GAF GAD DAF BAE DAF ∠=∠+∠=∠+∠

9045EAF EAF =?-∠=?=∠。

于是，在EAF △与GAF △中，AE AG =，EAF GAF ∠=∠，AF AF =。

∴ EAF GAF △≌△，EF GF =。CEF △的周长

112l EC EF FC BE GF FC GD GD DF FC =++=-++=-+++=。 8．若13x ≤≤时，二次函数2234y x ax =-+的最小值为23-，则

a = 。

【答案】 5

【解答】∵ 22239

2342()448

y x ax x a a =-+=--+，13x ≤≤，

∴ 若314a <，即4

a <时，则当1x =时，y 取最小值63a -。

由6323a -=-知，294

a =

>，不符合要求。若3134a ≤≤，即443a ≤≤时，则当34x a =时，y 取最小值2948a -+。由29

238

a -+=-知，224a =，得a =±，均不符合要求。

若3

a >，即4a >时，则当3x =时，y 取最小值229a -。由22923a -=-知，5a =，符合要求。

∴

5a =

。

9．已知正整数p

，q ()p q ，

的个数是

。【答案】

【解答】

=2016

9p q =-

。由p ，q =

∴ 214p x =（其中x 为正整数）。同理，214q y =（y 为正整数）。于是，312x y +=（x ，y 为正整数）。

∴ 91x y =??=?，62x y =??=?，3

3x y =??=?

。

∴ 满足条件的整数对()(1481141)p q =??，

，，或

(1436144)??，，或(149149)??，。（第7题图）（第7题答题图）

∴ 满足条件的整数对()p q ，的个数为3。

10．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足条件[][]225

x x x x ???+=???

的x 的取值范围为。

【答案】102x ≤<

x ≤<

【解答】（1）当0x <时，[]1x ≤-，[]21x ≤-，2

0x ??≥??。 ∴ 0x <时，方程[][]2

2x x x ??+=??无解。

（2）当1

x ≤<时，[][]20x x +=，20x ??=??，等式[][]22x x x ??+=??成立。（3）当

112

x ≤<时，[][]21x x +=，2

0x ??=??，等式[][]22x x x ??+=??不成立。（4）当312x ≤<时，[][]23x x +=。2914x ≤<，21x ??=?

?或2

2x ??=??。等式[][]2

2x x x ??+=??不成立。

（5）当

322x ≤<时，[][]24x x +=。2944

x ≤<，22x ??=??或2

3x ??=??。等式[][]2

2x x x ??+=??不成立。

（6）当522x ≤<

时，[][]26x x +=，由2

6x ??=??

x ≤<

52x ≤<。综合得，满足条件的x 的取值范围为102x ≤<

x ≤<。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．如图，二次函数2y mx nx p =++的图像过A 、B 、C 三点，其中(11)C --，

，点A 、B 在x 轴上（A 在点O 左侧，B 在点O 右侧）

，且sin BAC ∠=

sin ABC ∠=

（1）求二次函数的解析式；

（2）求ABC △外接圆的半径。

【解答】（1）作CE x ⊥轴于E ，则1CE =。

由sin 5

BAC ∠=

sin 5ABC ∠=

2CA =

，CB =

∴ 1

EA =

，2EB =。 ∴点A 坐标为3

(0)2

-，，点B 坐标为(10)，。 ……… 5分设所求二次函数的解析式为3

()(1)2

y m x x =+-。

将点(11)C --，的坐标代入二次函数解析式，得3

1(1)(11)2

m -=-+--。

∴ 1m =，二次函数得解析式为3()(1)2y x x =+-，即213

y x x =+-。 ……… 10分

（2）由（1）知，5

AB =，222AB CA CB =+。

∴ CA CB ⊥。 ………………………………… 15分

∴ ABC △外接圆的半径1

R AB ==。 ………………………………… 20分

12．已知关于x 的方程2244200x x n n +---=有有理数根，求正整数n 的值。【解答】∵ 关于x 的方程2244200x x n n +---=有有理数根，且n 为正整数， ∴ 222444(20)442016n n n n =----=++△为完全平方数 …………… 5分设22442016n n k ++=（k 为正整数），

则22(21)2015n k ++=，22(21)201551331k n -+==??。

∴ (21)(21)201551331k n k n ++--==??。 …………… 10分 ∵ 21k n ++为正整数，21k n --为整数，且2121k n k n ++>--，

∴ 212015211k n k n ++=??--=?，或21403215k n k n ++=??--=?，或211552113k n k n ++=??--=?，或2165

2131k n k n ++=??--=?

。

……………………… 15分

解得，1008503k n =??=?，或20499k n =??=?，或8435

k n =??=?，或488k n =??=?。

∴ 正整数n 的值为503或99或35或8。 ………………… 20分注：503n =时，方程化为2442535320x x +-=，即(482)(526)0x x -+=。

99n =时，方程化为24499200x x +-=，即(80)(124)0x x -+=。 35n =时，方程化为24412800x x +-=，即(20)(64)0x x -+=。

8n =时，方程化为244920x x +-=，即(2)(46)0x x -+=。

13．如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=?。求证：222MN AM BN =+。

【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、

DM 、DC ，DN ，则MDC MAC △≌△。

∵ ABC △是等腰直角三角形，C A C B =，且45NCM ∠=?，

∴ 45DCN DCM MCA ACN DCM ∠=∠+∠+∠=∠+?，

90(45)4545BCN BCA NCA MCA MCA DCM ∠=∠-∠=?-?-∠=?+∠=?+∠。 ∴ D C N B C N ∠=∠。

……………………………… 5分又CD CA CB ==，CN CN =。

∴ D C N

B C N △≌△。 …………………… 10分 ∴ N D N B =，45CDN CBN ∠=∠=?。又由MDC MAC △≌△，知

180********CDM CAM CAB ∠=∠=?-∠=?-?=?。

∴ 1354590M D N M D C N D C ∠=∠-∠=?-?=?。 …………………… 15分

∴ M D D N ⊥。又MD MA =，

∴ 2222

M N D M

D N A M B N =+=+

。 …………………… 20分

另解：如图，CBN △沿CN 翻折得CDN △，则DCN BCN △≌△。

∴ C D C B C A ==，

DN BN =，45CDN CBN ∠=∠=?，DCN BCN ∠=∠。 …… 5分 ∵ 45NCM ∠=?，

∴ 459045D C M D C N

M C N B C N A C N ∠=∠-∠=∠-?=?-∠-? 45ACN ACM =?-∠=∠。 ………………… 10分又CD CA =，CM CM =。

∴ D C M

A C M △≌△。 …………………… 15分 ∴ M A M D =，135CDM CAM ∠=∠=?，90MDN CDM NDC ∠=∠-∠=?。

∴ 222

M N D M

D N A M B N =+=+

。 …………………… 20分

14．在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<

若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。求n 的最小值。

【解答】 ∵ 2n +个数至多可以表示(1)(2)

(1)(1)212

n n n n n +++++-+++=L 个不同的且为正数的差。

∴ 依题意有，

(1)(2)

212

n n ++≥，即(5)(8)0n n -+≥。

∴ 5n ≥。 …………… 5分下面证明5n =不符合要求。

若5n =符合要求，则由5n =时，

(1)(2)

212

n n ++=知，由0，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21个数：1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21，21a a -，

31a a -，41a a -，51a a -，121a -，32a a -，42a a -，52a a -，221a -，43a a -，53a a -，321a -，

54a a -，421a -，521a -互不相同。于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。……… 10分

记这21个数的和为S ，则

1122334455(5)(24)(33)(42)(5)621

S a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+?

12454224621a a a a =--+++?。可见S 为偶数。

另一方面，2122

123212312

S ?=++++=

=L 为奇数，与S 为偶数矛盾。 ∴ 5n =不符合要求。 …………………… 15分 6n =符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。（不唯一）可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。

（12120=-，

22119=-，385=-，4128=-，550=-，682=-，71912=-，82012=-，92112=-，10122=-，11198=-，12208=-，13218=-，14195=-，15205=-，16215=-，17192=-，18202=-，19190=-，20200=-，21210=-。）

可见n 的最小值为6。 …………………… 20分