八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应用

专题05 和差化积

——因式分解的应用

阅读与思考：

因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：

1．复杂的数值计算；

2．代数式的化简与求值；

3．简单的不定方程（组）；

4．代数等式的证明等.

有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：

1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+;

2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+;

3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±；

4.1(1)(1)ab a b a b ±-=± ；

5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．

例题与求解

【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a b a b

-+的值为___________ . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．

【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于(

).

A . －1

B ．－1或－7

C ．1 D.1或7

（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，

在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具． 求代数式的值的基本方法有；

(1)代入字母的值求值；

(2)代入字母间的关系求值；

(3)整体代入求值．

【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998

--+- （“希望杯”邀请赛试题） （2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444

++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．

【例4】求下列方程的整数解．

(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）

(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．

解不定方程的常用方法有：

(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．

用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值：

(1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)

2211a b

+． 解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）

解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．

能力训练

A 级

1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．

（烟台市初中考试题）

b a b

b a a

2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）

3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题）

4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）

5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x y y x

+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22

-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )．

A . －1

B ．0

C ．2

D ．1

7．已知a b c ＞＞，222222

M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关

系是( )．

A . M ＜N

B ．M ＞N

C ．M ＝N

D ．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

8．n 为某一自然数，代入代数式3

n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．

A . 388944

B .388945

C .388954

D .388948

（五城市联赛试题）

9．计算： (1) 333

1999100099919991000999

--?? （北京市竞赛试题） (2) 33

33

22223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)

10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．

（北京市竞赛试题）

11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.

(1)求a c +的值；

(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．

（湖州市竞赛试题）

B 级

1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .

（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则

(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）

4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式32

4x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．

（浙江省中考试题）

5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．

A .恒正

B ．恒负

C ．可正可负

D ．非负

(太原市竞赛试题)

6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．

A . y 一定是完全平方数

B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数

C . y 一定不是完全平方数

D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数

7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．

A .3

B ．2

C ．1

D ．0

（“五羊杯”竞赛试题）

8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．

A .2

B ．4

C ．6

D .8

（”希望杯”邀请赛试题）

9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？

（美国中学生数学竞赛试题）

10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461

++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a b c d c d

++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：

333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103

++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？

11.按下面规则扩充新数：

已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：

(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．

（重庆市竞赛试题）

12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22

,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .

(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质； (2)当a ，b 互质时．求k 的值；

( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．

（江苏省竞赛试题）