常微分方程论文内蒙古师范大学

线性微分方程的解法

数学科学学院数学与应用数学专业2009级蒙班

摘要:本文总结了线性微分方程的一些求解方法.这里包括了变量分离法和常数变易法等求解方法.

关键词:一阶线性微分方程,高阶线性微分方程,常数变易法

一．一阶线性微分齐次方程及解法【1】1

变量分离方程

形如

()()h x g y dy

dx

=（1）

的微分方程被称为变量分离形式的方程，其中函数()h x 和()g y 在区间(,)a b 上连续.

若()0g x ≠，我们将（1）写成

()()

h x dx dy

g y =，这样，变量就分离开了.两端积分得

()()G y H x C =+，

其中C 是某个常数且

()

()dy

g y G y =?

，()()h x dx H x =?，这里我们把不定积分()H x 及()G y 分别理解为()h x 和1

()

g y 的某个原函数，而把积分常数C 明确写出来.容易看出方程

()()dy

h x dx C

g y =+??就是方程（1）的通解.2

一阶线性非齐次微分方程的解法

形如

()()dy

P x y Q x dx

+=（2）

的微分方程被称为一阶线性微分方程.其中()P x ，()Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()Q x 0=，则（2）变为

()dy

P x y dx

=（3）

称为一阶齐次线性微分方程.若()0Q x ≠，则(1)称为一阶非齐次线性微分方程.对方程（2）有通解

()p x dx

y ce ?

=（4）

现在讨论非齐次线性微分方程（2）通解的求法.将（4）中的常数c 变易为x 的待定函数()c x .令

()()p x dx

y c x e ?

=（5）

微分之，得到

()()()()()P x dx

P x dx dy dc x e c x P x e dx dx

??=+（6）

将（5），（6）代入到（1），得到

()()

()P x dx dc x Q x e dx

-?=积分后得到

()()()P x dx

c x Q x e

dx c -?=+?，

这里c 是任意常数，将上式代入（3），得到方程（2）的通解

()()(())

P x dx

P x dx

y e Q x e dx c -?

?=+?（7）

这种将常数变易为待定函数的方法，通常被称为常数变易法.例1求方程

2dy y dx x y

=的通解.【2】

解

原方程不是未知函数y 的线性微分方程，但我们可以将它改为

2

2dy x y dx y

-=即

2

dy x y dx y

=-把x 看做未知函数，这样对于x 及

dy

dx

来说，方程2

dy x y dx y

=-（8）

就是一个线性方程.首先求出齐次微分方程

2

dy x dx y

=的通解为2

x cy =利用常数变易法求得

2

()2()dx dc x y c y y dy dy

=+将上式代入到(8)，得到

()1

dc x dy y

=-积分，即可求得

()ln c y y c =-+.

从而得到原方程通解2ln x y c y =-，这里c 是任意常数.例3求方程

2

22x xy xe dy

dx

-=-+的通解.

【2】

解

在此方程中,()2P x xy =-，2

()2x Q x xe

-=.根据公式（7），可求出原方程

的通解为

222(2)

xdx xdx

x y e C xe e dx --??=+?即22

()x y C x e -=+，其中为C 任意常数.

3可化为变量分离方程的类型

3.1上述的一阶线性微分方程,即

()()P dy

x y Q x dx

+=当()0f x ≡时,称方程为齐次线性方程,否则称方程为非齐次线性方程.利用常数变易法可求得此方程的通解

()()(())P x dx

P x dx

y e Q x e dx c -?

?=+?.

3．2

线性分式形式的微分方程

111

222

a x

b y

c a x b y c dy dx ++=

++（9）

的方程可以经变量变换化为变量分离方程，这里1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为常数.

我们分为三种情况讨论：a.

111

222

a b c k a b c ===（常数）.这时方程化为

k dy

dx

=有通解y kx c =+其中c 为任意常数.b.

111222

a b c k a b c ==≠令22u a x b y =+，这时有

122222

ku c a b a b du dy

dx dx +=+=++是变量分离方程.c.

11

22

a b a b ≠如果方程（9）中1c ，2c 不全为零，方程右端分子、分母都是x ，y 的一次多项式，因此

1

112220{0

a x

b y

c a x b y c ++=++=（10）

代表平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.若令

{

X x Y y αβ

=-=-则（10）化为

11220{

X Y a b a X b Y +=+=从而（9）化为

11

22(a X bY Y g dY dX +==+因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程的解.如果方程（9）中的110c c ==，可以不必求解（10），直接取变换y

x

u =即可.3．3齐次微分方程

形如

(,)f x y dy

dx

=（11）

的方程.其中右端的函数(,)f x y 是变量x,y 的零次齐次函数，即对任意不为零的常数λ都

(,)(,)f x y f x y λλ≡.

在方程（11）中引入y

x

u =

，即y ux =，因此dy du u x dx dx

=+代入方程（11），得

(,)(1,)du u x

f x ux f u dx +==，即(1,)du

x f u u dx

=-，这是一个变量分离方程.分离变量两端积分，得

(1,)du dx

f u u x

=-?

?求出积分后，再用

y

x

代替u ，就得到原方程（11）的通解.二．高阶微分方程的解法【3】

1高阶微分方程的概念

形如

1111

()...()()()n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt ---++++=（12）

的微分方程被称为n 阶线性微分方程，其中()i t a (1,2,...,)i n =及()f t 都是区间

(,)a b 上的连续函数.若右端项函数()f t 0≡，则方程（12）变为

1111()...()()0n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++=（13）

我们称它为齐次线性微分方程，而称（12）为非齐次线性微分方程.

(伏朗斯基行列式)函数12(),(),...,()(1,2,...,)n x t x t x t i n =在区间b t a ≤≤可微1-n 次.

[]12121211112()(),(),...,()()()

...()()()

...()............()()...()

n n n n n n n W t W x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t '''---==

（线性相关性）考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数1()x t ，2()x t ,…,()k x t ，如果存在不全为零的常数1c ,2c ,…,k c 使得恒等式

1122()()c x t c x t ++…()k k c x t +0

≡对于所有[],a b t ∈都成立，则称这些函数线性相关，否则就称这些函数在所给的区间上线性无关.

（基本解组）方程（13）的一组个线性无关的解被称为方程的一个基本解组.齐次线性方程的基本性质

1111()...()()0n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++=（13）

（叠加原理）如果1()x t ，2()x t ,…,()n x t 是方程（13）的n 个解，则它们的线性组合1122()()c x t c x t ++…()n n c x t +也是（13）的解，这里1c ,2c ,…,n

c

是任意常数.

若函数1()x t ，2()x t ,…,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性相关,则在这个区间上它们的伏朗斯基行列式()0W t =.

如果是方程（13）的解1()x t ，2()x t ,…,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性无关,则12(),(),...,()n W x t x t x t ????在这个区间的任何点上都不等于零,即

()0W t ≠[],a b t ∈.

（通解结构）如果1()x t ，2()x t ,…,()n x t 是方程(13)的n 个线性无关的解,则方程(13)的通解可以表示为

1122()()x c x t c x t =++…()

n n c x t +（14）

其中1c ,2c ,…,n c 是任意常数.且通解(13)包括了方程(12)的所有的解.

非齐次线性方程的基本性质

1111

()...()()()n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt ---++++=（12）

若)x t 和()x t 分别为n 阶线性微分方程(12)和(13)的解,则()()x t x t +也是方程(12)的解.方程(12)的任意两个解之差比为方程(13)的解.

(通解结构)设1()x t ，2()x t ,…,()n x t 为方程(13)的基本解组,而()x t 是方程(12)的特解,则方程(12)的通解可以表示为

1122()()x c x t c x t =++…()()

n n c x t x t ++（15）

其中为任意常数,而且这个通解包括了方程(12)的所有解.

(常数变易法)

设1()x t ，2()x t ,…,()n x t 是方程（13）的基本解组，因而

1122()()x c x t c x t =++…()

n n c x t +（14）

为（13）的通解.把其中的任意常数1c ,2c ,…,n c 看作t 的待定函数，这时

（14）变为

1122()()()()x c t x t c t x t =++…()()

n n c t x t +（16）

将上式代入方程（12），就得到1()c t ,2()c t ,…,()n c t 必须满足的一个方程，但是待定函数有n 个，即1()c t ,2()c t ,…,()n c t ，为了确定它们，必须再找出1-n 个限制条件.则对微分等式（15）得

11221122()()()()...()()()()()...()()()

n n n n x c t x t c t x t c t c t x t c t x t c t x t x t ''''''=+++'++++令

1122()()()()...()()0

n n c t x t c t x t c t x t '''+++=（17）

得到

1122()()()()...()()

n n x c t x t c t x t c t x t '''=+++'（18）

对t 微分（18），并象上述的做法一样，令含有函数的部分等于零，我们又得

到一个条件

1122()()()()...()()0

n n c t x t c t x t c t x t ''''''+++=和表达式

1122()()()()...()()

n n x c t x t c t x t c t x t ''''''=+++''继续上面做法，在最后一次我们得到n 个条件

(2)(2)(2)1122()()()()...()()0

n n n n n c t x t c t x t c t x t ---'''+++=和表达式

(1)(1)(1)(1)1122()()()()...()()

n n n n n n x c t x t c t x t c t x t ----=+++最后，对微分得到

现将上述方程代入（12），并注意到1()x t ，2()x t ,…,()n x t 是（13）的解，得到

(1)(1)(1)1122()()()()...()()()

n n n n n c t x t c t x t c t x t f t ---'''+++=这样我们得到了含n 个未知函数()(1,2,...,)i c t i n '=的n 个方程.它们

组成一个线性代数方程组.其系数行列式就是[]12(),(),...,()n W x t x t x t ，它不等于零，因而方程组的解可以唯一确定，设求得

()()

i i c t t ?'=(1,2,...,)

i n =积分得

()()i i i dt c t t γ?+=?(1,2,...,)

i n =这里i γ是任意常数，将所得()(1,2,...,)i c t i n '=的表达式代入（14）得

1

1

()()()n n

i i i i i i x x t x t t dt

γ?===+∑∑?显然，它是方程（12）的通解.为了得到方程的一个解，只需给常数

()(1,2,...,)i t i n γ'=以确定一个值.

对于线性方程来说，关键是求出齐次线性方程的基本解组.

例4求方程1

cos t

x x +=''的通解，已知它的对应齐次线性方程的基本解组为

cos t ，sin t .

【2】

解应用常数变易法，令

12()cos ()sin t t t t

x c c =+将它代入方程，则可的决定1()t c '和2()t c '的两个方程：

1212cos ()sin ()01sin ()cos ()cos tc t tc t tc t tc t t

''+=''-+=

解得

1sin ()cos t c t t

'=-

2()1

c t '=由此

11

()ln cos c t t γ'=+22

()c t t γ'=+于是原方程的通解为

12cos sin cos ln cos sin x t t t t t t

γγ=+++其中1γ，2γ为任意常数.

参考文献

【1】钱祥征

黄立宏常微分方程长沙湖南大学出版社2007

【2】张伟年杜正东常微分方程北京高等教育出版社2006【3】王高雄朱思铭常微分方程北京高等教育出版社2001