03 2012年全国高中数学联赛山西省预赛

2012年全国高中数学联赛山西省预赛

一、填空题(每小题8分，共64分)

1．123,,,

a a a 是一个等差数列，其中10a >，n S 表示其前n 项和.如果311S S =，若在12,,S S 3,S 中，最大数为k S ，则k = ．

2．任作椭圆22

1259

x y +=的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点,A B ，则线段AB 长 度的最小值是 ．

3．矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，,E F 分别是,AB CD 的中点，以EF 为旋转轴，将FAB ? 空间旋转90至FA B ''?，则四面体A B CD ''的体积为 ．

4．sin 7.5cos7.5+= ．

5．用七个数码1,2,3,4,5,6,7适当排成一个7位数,使得它是11的倍数,则能排出的数的个数 为 ．

6．若71n +，81n +都能表示为成等比数列的三个互异正整数的和，则正整数n 的最小值 是 ．

7．设,[0,1]x y ∈

，函数(,)f x y =的最大值是 ．

8．集合A 是集合{1,2,3,,2012}M =的20元子集，且A 中的任何两个元素之差为12的倍数， 则这种子集A 的个数是 ．

二、解答题(共56分)

9．抛物线的顶点为O ，焦点为F ，当动点P 在抛物线上移动时，求

||||

PO PF 的最大值．

10．ABC ?内接于O ，I 是三角形的内心，直线,AI BI 分别

交O 于,D E ，过点I 作直线I l ∥AB ，又过点C 作O

的切线C l ，若C l 与I l 相交于F ．

证明：,,D E F 三点共线．

11．试确定，有多少种不同的方法将集合{1,2,3,4,5}M =中的元素归入,,A B C 三个(有序) 集合，使得满足：每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交是空集，而其 中任何两个集合的交集都不是空集？ (即A

B C M =，A B C =?，而A B ≠?， B C ≠?，C A ≠?

) (第10题)