概率论与数理统计期末试题与详细解答

《概率论与数理统计》期末试卷

一、填空题（每题 4 分，共 20 分）

1、假设事件 A 和 B 满足 1 ) ( = A

B P ，则 A 和 B 的关系是 _______________。

2 、 设随机变量 ) (

~ l p X ， 且 { } { }, 2 1 = = = X P X P 则 { }= = k X P _____________。

3、设 X 服从参数为 1 的指数分布，则

= ) ( 2

X E ___________。 4 、 设 ), 1 , 0 ( ~ ), 2 , 0 (

~ N Y N X 且 X 与 Y 相互独立 ， 则 ~ Y X Z - = ___________。

5、 ), 16 , 1 ( ~ ), 5 , 1 (

~ N Y N X 且 X 与Y 相互独立，令 1 2 - - = Y X Z ，则 = YZ r ____。

二、选择题（每题 4 分，共 20 分）

1、将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的 概率为（

）

A 、 32

3 B 、 8

3

C 、16

1 D 、8

1 2、随机变量 X 和Y 的 , 0 = XY r 则下列结论不正确的是（ ）

A 、 ) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D

+ = - B 、 a X + 与

b Y - 必相互独立 C 、 X 与Y 可能服从二维均匀分布

D 、 ) ( )

( ) ( Y E X E XY E = 3、样本

n

X X X , , , 2 1 L 来自总体 X ，

, ) ( , ) ( 2

s m = = X D X E 则有（ ）

A 、 2

i X ) 1 ( n i ￡ ￡ 都是 m 的无偏估计 B 、 X 是 m 的无偏估

计

C 、 ) 1 ( 2

n i X i ￡ ￡ 是 2 s 的无偏估计

D 、 2 X 是 2

s 的无偏估

计

4、设 n X X X , , , 2 1 L 来自正态总体 ) , ( 2 s m N 的样本，其中 m 已知，

2 s 未知，则下列不是统计量的是（ ）

A 、 i

n

i X ￡ ￡ 1 min B 、 m - X C 、 ? = n

i i

X 1 s

D 、 1

X X n - 5、在假设检验中，检验水平 a 的意义是（

）

A 、原假设 0 H 成立，经检验被拒绝的概率

B 、原假设 0 H 不成立，经检验被拒绝的概率

C 、原假设 0 H 成立，经检验不能拒绝的概率

D 、原假设 0 H 不成立，经检验不能拒绝的概率

三、计算题（共 28 分）

1、已知离散型随机变量的分布律为

X

1 2 3 k

p 0.2 0.3 0.5

求： X 的分布函数，（2） ) (X D 。（5 分）

2 、 已知连续型随机变量 X 的分布函数为

) , ( , arctan ) ( ￥ -￥ ? + = x x B A x F ，求（1）常数 A 和B ，（2） ) 1

1 ( < < - X p ， （3）概率密度 ) (x f 。（8 分）

3、设随机变量 3 2 1 , , X X X 相互独立，其中 2 1 ], 6 , 0 [ ~ X U X 服从 2 1

=

l 的指

数分布， ) 3 ( ~ 3 p X ，计算 ) 3 2 ( 3 2 1 X X X D + - 。（5 分）

4、设 n X X X L 2 1 , 是总体 X 的样本，求 X 的数学期望 m 和方差 2

s 的矩

估计量。 （5 分）

5、设随机变量 X 服从 ) 1 , 0 ( N 分布，求随机变量 X

e Y = 的概率密度函数。

（5 分）

四、应用题（共 32 分）

1、

1、已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中任取两次，

每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品； （2）一只正品，一只次品。 （8 分） 2、已知随机变量 ) , ( Y X 的分布律为

Y

X

1 2 3

1 2

1/3 a b

1/6 1/9 1/18

问：（1）当 b a , 为何值时，X 和Y 相互独立。（2）求 { } 1 2 > = Y X P 。（8

分）

3、某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为 (%)

3.25 3.27 3.24 3.26 3.24

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在 01 . 0 = a 下能否

接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 （ 6041 . 4 ) 4 ( 005 . 0 = t ） （8 分）

4、若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁， 用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙 试开一次后放回。求试开次数 X 的数学期望。 （8 分）

《概率论与数理统计》期末试卷答案 一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1、 B

A ì 2、

) ... , 1 , 0 ( ! 2 2

= - k k e k 3、 2 4、 ) 3 , 0 (

N 5、

3

2 - 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1、 B 2、 B 3、 B 4、 C

5、 A

三、计算题（共 28 分）

1、

{ } { } { } { } { } { } ? ? ? ? ? í

ì

3 = = + = + = < ￡ = = + = < ￡ = = < = 3

1 3

2 1

3 2 0.5 2 1 2 1 2 . 0 1 1

0 ) ( x X P X P X p x X P X P x X P x x F 6

. 3 ) ( ) ( ) ( 2 2 = - = X E X E X D 2、解（1）因为

.

1 ) ( lim , 0 ) ( lim x = = ￥

? -￥

? X F x F x 所以

.

1 2 ) arctan ( lim , 0 2 ) arctan ( lim = + = + = - = + ￥ ? -￥ ? B A x B A B A x B A x x p

p 解得

p

1 2

1

=

=

B A （2）

2 1

)4 1 2 1( )4 1 2 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( =

- - + = - - = < < - F F X p （3）

+￥ < < ￥ - + =

￠ = x x x F x f , )

1 ( 1

) ( ) ( 2

p 3、 解： 因为随机变量 3 2 1 , , X X X 相互独立， 所以随机变量 3

2 1

3 , 2 , X X X - 也

相互独立。

) 3 2 ( 3 2 1 X X X D + - )

( 9 ) ( 4 ) ( 3 2 1 X D X D X D + + =

又由于 ] 6 , 0 [ ~ 1 U X ，所以

12 ) 0 6 ( ) ( 2

1 - =

X D 由于 2 X 服从

2 1

=

l 的指数分布，所以 4 ) ( 2 = X D

由于 ) 3 (

~ 3 p X ，所以 3 ) ( 3 = X D ) 3 2 ( 3 2 1 X X X D + - = 12 ) 0 6 ( 2

- + 46

3 9

4 4 = ′ + ′ 4、解：

2

2 2 2 )] ( [ ) ( ) ( , ) ( m s m + = + = = X E X D X E X E ? ? ?

? ? í

ì = + = ? ? = = n i i

n

i i X n X n 1 2 2 2 1 1 1 m s m 解得：

2 2 1 2

1 1 ) ( 1 ? , 1 ? S

n n X X n X X n n i i n i i - = - = = = ? ? = = s m 5、解

2

2

2 1 ) ( x X e

x f - =

p { } { } { }

{ } y

e

Lny X P y e P y Y P y F y y f y Y P y F y Lny Lny X Y Y Y 1. 2 1 ) (

, 0 0 ) ( , 0 ) ( , 0 2 ) (2

1

- ￥

- ò

= ￡ = ￡ = ￡ = > = = ￡ = ￡ p

所以

? ?

?

í ì ￡ > = - 0

0 0 2 1 ) ( 2

) (2 1

y y e y f Lny Y p

四、应用题（共 32 分）

1、解：设 i A 为事件“第 i 次取出的是正品” （ = i 1，2 ），

（1）

45 28 9 7 10 8 ) ( ) ( ) ( 1

2 1 2 1 = ′ = = A A P A P A A P （2） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A

P + = + = è =

45 16 9 8 10 2 9 2 10 8 = ′ + ′

2、 （1）

X

1 2

i

p 3

1 3 1

+

+b a Y

1 2 3

i P

2 1 9

1

+ a 18

1

+

b ) 18 1 (3 1 18 1 ), 9 1 (3 1 9 1 ,

, 3 . . 2 23 2 . . 2 22 + = + = = = b a p p p p p p ，解得

9 1

,9

2

=

= b a 。经验证 .

3 , 2 , 1 ,

2 , 1 , . . = = = j i p p p j i ij 成立

所以当

9 1

,9

2

=

= b a 时， X 和Y 相互独立。

（2）由于 X 和Y 相互独立，可得

{ } 1

2 > = Y X P = {

} 3

1

2 = = X P 3、 按题意需检验

1 0 0 : 25 . 3 : m m m m 1 = = H H 取 01 . 0 = a ，检验的拒绝域为

) 1 (

2

0 - 3 - =

n t n

S X t a m 6041 . 4 ) 4 (

, 01304 . 0 , 252 . 3 , 5 005 . 0 = = = = t S X n ，算得

t

n

S X t , 6041 . 4 343 . 0 0 < = - =

m 未落在拒绝域中，接受 0 H 。认为这批矿

砂的镍含量为 3.25。

4、引进随机变量

K

， ， 次打开 前 ， 次没打开 前 3 2 i 1 - i 0 1 - i , 1 = ?

í

ì = i X 1

1 = X i X 0 1

i

p 1

2 1

1

)

1 ( ) 1 ( 1 - - - = - - = i i n

n p n n p n

n n n n n n p X E X E X E X E n n

i n

i i n

i = ú

?

ù ê ? é - + + - + - + = + = + = + = - = = = ? ? ? ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 )

( 1 )

( 1 2

2

2

2 2

i 1 K ） （ ） （