微积分五讲 龚升

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx

微积分(经管类)第五章答案

微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-.

三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；

微积分第五章练习参考答案

第五章练习参考答案 5.1-5.2 三、提示：先用描点作图法画出星形的图像 0 3 3 2 2 4 2 2 46 20 2 2 2 44sin (cos ) 43sin cos 12(sin sin )31531312( )42 64228 a A ydx a td a t a t tdt a t t dt a a ππ πππ===-=-???=- =??????? 5.3-5.4 一、求两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积（如图：为所求立体的八分之一图像） . 解: 上图为所求立体的八分之一图像,先求它的体积. 可见在x 轴上取任意点x ,[]0,x R ∈,过点x 垂直于x 轴的截面均为正方形 其中，阴影部分为在任意点x 则( )2 22 A x R x ==- ()0 R V A x dx = ? ()2 2 R R x dx = -? 2 313R R x x o ??=- ???323R = 所以 两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积为3 1683 V R = 将上题中的R 换成a ,就可以得到第一题的解答过程. 这道题还可以用二重积分来解. 三. 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ?=a x dx y V ππ202?-?-=π π2022)c o s 1()c o s 1(dt t a t a ?-+-=ππ20323)c o s c o s 3c o s 31(dt t t t a =5π 2a 3.

所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则 ??-=a a y dy y x dy y x V 20 2 12022)()(ππ ???--?-=π ππππ022222s i n )s i n (s i n )s i n (t d t a t t a t d t a t t a ?--=π π20 23s i n )s i n (t d t t t a =6π 3a 3 . 第四、五章综合测试题参考答案 一、5、 ()( ) ( ) [][]0 2 2 00(cos cos sin sin )cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos 1cos x x x x x x x f x t x t x dt x tdt x tdt x tdt x x tdt x x t x t x ' =+' =+=-+++=-+-+=????? 三、 sin [] 2,2, cos 1.sin cos 1 (sin cos )(cos sin ) 2 sin cos x t t dt t t t t t t dt t t ππ =∈- = +++-=+???( )11 1 11sin cos ln sin cos 22sin cos 2 2 11arcsin ln 2 2t d t t t t t C t t x x C =+ +=+ +++= ++ +? x y 五、2此题中的旋转轴不是轴,也不是轴,因此不能用教材上旋转体体积的计算公式计算,但能用已知截面面积立体体积的计算方法: 先画出题中曲边三角边的图象，在区间11,2?? ????上任取一点x ，过点x 作与x 轴 （或直线 1 y =）垂直的的平面，得截面面积为： ( )( ( () 2 2 111212 A x dx x dx ππππ=- - =-+= ??11 220 所求旋转体体积:V=

第五章 数值微积分

第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时， ()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样 条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推

法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二）数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。（三）等距节点的求积公式 1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。 2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson 公式和Cotes公式。要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。 3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。 （四）复化求积公式 1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。 2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。 3、简介事后估计和自适应Simpson方法。 （五）R omberg求积法 1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公

(微积分)第五章

第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ? d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523 x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 2 2 210(1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 11322 222113222 35 2 2(2)(2)24235 d d d d x x x x x x x x x x x x x x C -- ==-+=-+=++???? 213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3 1cos 1111 (4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333 125225()223(ln 2ln 3)3ln()3 e e d e d e e d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C C x x x x x x x x x C x x x x x C x C ==+=+++==+=++?-?=-?=-?=-?+=-+-??????????2222 222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C -==-=-=--+????? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),

第五章 数值微积分

第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '， ()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出其缺点 是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二） 数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。

(微积分)第五章

第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2 cos 2 x ? d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 2 2 210(1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 11322 222113222 35 2 2(2)(2)24235 d d d d x x x x x x x x x x x x x x C -- ==-+=-+=++???? 213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3 1cos 1111 (4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333 125225()223(ln 2ln 3)3ln()3 e e d e d e e d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C C x x x x x x x x x C x x x x x C x C ==+=+++==+=++?-?=-?=-?=-?+=-+-??????????2222 222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C -==-=-=--+????? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),

《经济数学微积分》第五章练习题

第五章 不定积分 一、判断题 1. ()()F x dx F x C '=+? ； （ ） 2. ?+=C x f dx x f dx d )()( ； （ ） 3. 若 )(x f 可导，则 ?=)()(x f x df ； （ ） 4. 设()1f x '=且(0)0f =,则21()2 f x dx x x C =-+? ；（ ） 二、填空题 1. 5y x = 的原函数是 _______ ； 2. 设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _______； 3. =?dx x x ln 1 _______ ；=+?dx x 11 ______ ； 4. 若 ()arcsin 2f x dx x C =+? ，则 (0)f = _________ ； 5. 若 2()f x dx x C =+? ，则 2(1)xf x dx -=? __________； 三、计算与应用题 1.求（1）2 2 1x dx x +? dx x ?-91)2(2 2.求dx x ?-121). 1( dx x ?-141).2( dx x ?-14).3( 3. 求dx x x ?-12). 1(2 dx x x ?+12).2(2 dx xe x ?+12 ).3(

4. 求dx x x ?2sin ). 1( dx x e x ?+1).2( 5. 求dx x x ?+ln 1).1( dx x x ?+5ln 1).2( dx x x ?+)ln 21(1).3( 6. 求dx x x ?cos sin ).1(5 dx x ?cos 1).2( dx x ?3cos ).3( 7. 求dx x ?+241 ).1( dx x x ?+-2581).2(2 dx x ?-291).3( 8.求dx e e x x ?+12).1( dx e x ?+11).2( dx x ?+cos 11).3( 9. 求dx x x ?-12).1( dx x x ?-12).2( dx xe x ?+1).3( (4) 10. 求dx x ?-29).1( dx x x ?+-41).2(2

高等数学习题详解-第5章 不定积分

1．写出下列函数的一个原函数： (1) 52x ； (2) cos x -； (3) ； (4) - 解：（1） 651 ()23x x '=， ∴ 6 13 x 是5 2x 的一个原函数． (2) (sin )cos x x '-=-，∴sin x -是cos x -的一个原函数． (3) '= ∴ 的一个原函数． (4) (2arcsin )x '-=-，∴2arcsin x - 是- 2．根据不定积分的定义验证下列等式： (1) 2 3 1 1d 2 -=-+?x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++?． 解：(1) 因为2 3 11()2x x -'-= ，所以2 3 112 dx x C x -=-+? ． (2) 因为(cos sin )sin cos x x x x '-+=+，所以 (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++?． 3．根据下列等式，求被积函数()f x ． (1) ()ln(f x dx x C =++? ； (2) ()f x dx C = +? ． 解：(1) 等式两边求导得：()(ln(f x x x ''=+= + 2 =+ = ． (2) 等式两边求导得：32 2 32 2 1()(1) 22 (1) x f x x x x -'==- +?=- +． 4．设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y f x =，由题设有()x f x e -'=， ()x x f x e dx e C --∴= =-+? 又曲线过点(0,1)，故(0)1f =，代入上式得2C =，所以,所求曲线方程为： 2x y e -=-+．

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

第五章 定积分及其应用 本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题. 第1节 定积分的概念与性质 定积分问题举例 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数)(x f y =在区间[] b a ,上非负、连续 由直线0,,===y b x a x 及曲线 )(x f y =所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧)(x f y =称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[] b a ,中任意插 入若干个分点（图5-1） ,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ 把[] b a ,分成n 个小区间 [],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ 它们的长度依次为.,,,1122011--=?-=?-=?n n n x x x x x x x x x Λ 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区 间[] i i x x ,1-上任取一点,i ξ 以[] i i x x ,1-为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形， n i ,,3,2,1Λ=，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 ∑=?=?++?+?≈n i i i n n x f x f x f x f A 12211.)()()()(ξξξξΛ 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲 边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使 每个小曲边梯形的宽度趋于零 记{},,,,m ax 21n x x x ???=Λλ于是 上述增加分点 使 每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令.0→λ 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 .)(lim ξλ

高等数学第5章作业解答

作业5.1 1．求由抛物线2y x =与直线23y x =+所围成的图形的面积. 解：抛物线2y x =与直线23y x =+的两个交点为(1,1)-和(3,9)，所求面积为 321(23)d A x x x -=+-?3 2 31[3]3x x x -=+-323=. 题1图 题2图 2．求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积. 解：抛物线在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43y x =-和26y x =-+，两切线的交点为3(,3)2 ，所求面积为 3/2 3 2203/2[43(43)]d [26(43)]d A x x x x x x x x =---+-+-+--+-?? 3/2 3 2203/2d (69)d x x x x x =+-+?? 33/232303/211[][39]33x x x x =+-+94 =. 3．求由摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-的一拱（02t π≤≤）与x 轴所围成的图形的面积. 解：所求面积为 20d a A y x π=?20(1cos )d[(sin )]a t a t t π=--? 2220(1cos )d a t t π=-?2220(12cos cos )d a t t t π =-+? 2222 02cos d a a t t ππ=+?2 22024cos d a t t ππ=+? 图1 222124322 a a a πππ=+??=. 4．求对数螺线ae θρ=（πθπ-≤≤）及射线θπ=所围成的图形的面积. 解：所求面积为 21()d 2A ae πθπθ-=? 221d 2a e πθπθ-=?221[]4a e θππ-=2221()4 a e e ππ-=-. 5．设平面图形是由曲线24x y =-与y 轴所围成. （1）求此平面图形的面积A ； （2）求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积V . 解：曲线24x y =-与y 轴的交点为(0,2)-和(0,2).