八年级数学立方和差公式
立方和与立方差公式(一)
教学目标
1．使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算；
2．注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力．
教学重点和难点
重点：公式的推导．
难点：公式的正确运用．
课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
前面我们学习了哪些乘法公式？并用语言叙述．公式中的字母可以表示什么？
(公式1：(a+b)(a-b)=a2-b2，公式2：(a±b) 2=a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式．语言叙述略)
二、师生共同研究立方和与立方差公式
提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢？(不能)那么用什么方法进行计算呢？(多项式乘以多项式法则)
请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算．
(a+b)(a2-ab+b2)
=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
=a3+b3．
(a-b)(a2+ab+b2)
=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
=a3-b3．
根据学生的板演提问：
1．这两道多项式乘法计算的算式有什么特点？
(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式)
2．二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项？(6项)为什么这里的结果只有2项？(同类项合并)
3．比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同？
(乘积项不一样．完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘)
4．等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系？
(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积)
5．比较这两个等式的异同
(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字．
让学生看书，并让学生用语言叙述公式．
三、运用举例变式练习
例计算：
(l)(3+2y)(9-6y+4y2)；
(3)(2x+1)(4x2+2x+1)．
第(1)题由师生共同解答，教师板演；第(2)、(3)题由学生板演．
对于第(3)题，根据学生板演情况，教师正确引导，如果学生根据多项式乘法法则进行计算，那么教师给予肯定，并指出解题时一定要仔细观察算式是否符合公式的特点，若不符合公式的特点，则可用多项式乘法法则进行计算；如果学生直接用公式进行计算，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不能运用公式进行计算的道理；如果学生犹豫不决时，教师适当进行引导，通过同
学之间互相帮助，使其顺利地完成计算。
板演计算格式：
(1)解：原式=32+(2y)3
=27+8y3；
(3)解：原式=8x3+4x2+4x2+2x+2x+1
=8x3+8x2+4x+1．
课堂练习
1．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)(x-3)( )=x3-27；(2)(2x+3)( )=8x3+27；
(3)(x2+2)( )=x6+8；(4)(3a-2)( )=27a3-8．
思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a与b？
(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立方和(或差))
2．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)( )(a2+2ab+4b2)＝______；(2)( )(9a2-6ab+4b2)=______；
思考题：在第2题中，有几种方法判断公式中的a与b？
3．运用立方和与立方差公式计算：
(1)(y+3(y2-3y+
9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)；
(5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4)．
四、发散思维自编题目
由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖、巧妙、与众不同．
针对学生编出的题目，师生共同检查．
五、小结
至今为止，我们已经学习了五个乘法公式，其中立方和与立方差公式的结构特征最为复杂，大家一定要准确记忆、慎重使用．
计算时同学们要注意两点：
1．两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公式．
2．记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差．
六、作业
1．运用乘法公式计算：
(l)(5-2y)(4y2+25+10y)； (2) (1+4x)(16x2+1-4x)；
(3)(2a-3b)(4a2+6ab+9b2)； (4)(-x-2 y)(x2-2xy+4y2)；
(5)(y-x)(x2+xy+y
2)； (6)(10-3)(9+30+10 0)．
2．计算：
(l)(x-1)(x2-x+
1)； (2)(2a+b)(4a2 -4ab+b2)；
(3)(b+5)(-5b+25+b2)； (4)(a-
3)(a2+3a-9)．
课堂教学设计说明
在上述教学设计过程中，我们充分考虑到了学生主体作用的发挥．
首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，自己得出结论的．
其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，而是立足于复杂的思维活动上．就以编题来说，它要比单纯的套用公式所付出的思维劳动更多些．后者的对象是在主体的眼前的，只要把对象与公式逐项比较就可完成，它可以说是看得见、摸得着的．而前者，思维对象不在主体眼前，要主体根据公式特点，自己去寻找对象，发散性大，给学生创造的自由度大．同时，在这过程中，一方面学生要动用他全部的知识经验；另一方面，在这过程中，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等．
第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，强拉到自己的思路上来．
为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用？这也是由数学教学的特点决定的。在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知识，并且在学习过程中，学生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干．这样，不管是学习知识，还是增强才干，都要学生亲自去实践、去体会，通过学生的动脑、动手，对学生来说是把未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变过程中提高认识能力．所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程，这个过程只能由学生自己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这个过程也是无法完成的．
教
大全小学数学公式#(精选.)
小学数学公式大全 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4C=4a 长方形的面积=长×宽S=ab 正方形的面积=边长×边长S=a.a=a 三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2r=d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2 圆的面积=圆周率×半径×半径 =πr2 三角形的面积＝底×高÷2 公式S=a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S=a×a 长方形的面积＝长×宽公式S=a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S=a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则： 同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 二、单位换算 （1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米 1分米＝10厘米1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米 （4）1吨＝1000千克1千克=1000克=1公斤 （5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米 （6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米（7）1元=10角1角=10分1元=100分
八年级数学立方和与立方差公式
1 立方和与立方差 7、=+-++)39)(3(4222x x x x x n n n __________； 8、=+-+))((22n n n n n n y y x x y x __________； 9、=+++--+))()()((2222b ab a b ab a b a b a __________； 10、=++-)100309)(310(33(__________)(__________)__________-=； 11、计算下列各式，不能直接用乘法公式的是 （ ） A 、)3)(93(22y x y xy x ++- B 、))((22b ab a b a ++- C 、)1)(1(2323-+-+++x x x x x x D 、23462311(4)(162)24 x y x y x y +-+ 12、 与)1)(1(2++-a a a 的积等于)1(9-a 的多项式是 （ ） A 、13-a B 、16-a C 、136+-a a D 、136++a a 14、222222)42()2()42()2(++--+-+m m m m m m 15、22[(2)2][(2)2](2)(2)a b ab a b ab a b a b +--++- 16、22216)8()164)(4(x x x x x x ---++- 17、222222(1)(1)(1)(1)t t t t t t +-++-+ 18、8)2)(3(12)32()1)(1(422--+<--+-+x x x x x x x 19、)469)(23()469)(23(2222b ab a b a b ab a b a +-+-++-，其中1-=a ，2 3-=b 。 20、22(23)(469)(34)(34)15(2)(1)2(23)a a a a a a a a a -++----+-+-+，其中3a =-。 21、))()()((633663363333n n m m n n m m n m n m +++-+-，其中1m =，1n =-。 22、已知3x y +=，2xy =-，求33y x +的值。 23、 已知1x y -=-，2y z -=，求代数式22(2)[()()()()]x y z x y x y y z y z -+-+--+-的值。 24、已知8,7=-=-c b b a ，求代数式22()[()()()()]a c a b a b b c b c -----+-的值。
三角函数公式大全与立方公式
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
立方和与立方差公式
[文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3 ＝a3-b3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字
小学数学公式大全91330
小学一至六年级数学公式大全 周长公式 类型公式字母表示 长方形周长= （长+宽）×2 （a+b）×2 正方形周长 =边长×4 a×4=4a 圆的周长= 直径×π = 2×π×半径 c=π×d =2×π×r 面积公式 类型公式字母表示 长方形面积= 长×宽 s=a×b 正方形面积= 边长×边长 s=a×a 平行四边形面积= 底×高 s=a×h 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 s=（a+b）×h÷2 三角形面积= 底×高÷2 s=a×h÷2 长方体表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=（a×b+a×h+b×h）×2
正方体表面积 =棱长×棱长×6 s= a×a×6 圆面积= π×半径的平方s=ｒ2 圆柱体侧面积底面周长×高 π×直径×高 2×π×半径×高 c×h π×d×h 2×π×r×h 圆柱体表面积侧面积+2×底面积 底面周长×高+2×π×半径的平方 π×直径×高+2×π×半径的平方 2×π×半径×高+2×π×半径的平方 c×h+2×ｒ2 π×d×h+2×ｒ2 2×π×r×h +2×ｒ2
体积公式 类型公式字母表示 长方形长×宽×高 a×b×h 正方体棱长×棱长×棱长 a×a×a 圆柱体底面积×高 π×半径的平方×高 s×h ｒ2×h 圆锥体×底面积×高 ×π×半径的平方×高×s×h ×ｒ2×h 补充说明： 长方体棱长和=（长+宽+高）×4 正方体棱长和=棱长×12
熟记下列正反比例关系： 正比例关系： 正方形的周长与边长成正比例关系 长方形的周长与（长+宽）成正比例关系 圆的周长与直径成正比例关系 圆的周长与半径成正比例关系 圆的面积与半径的平方成正比例关系 2．反比例关系 常用数量关系： 1．路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率 总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价 总产量=单产量×面积单产量=总产量÷面积面积=总产量÷单产量 单位换算：
[讲解]立方和与立方差公式
[讲解]立方和与立方差公式 [文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算; 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点:公式的推导. 难点:公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? 2222(公式1:(a+b)(a-b),a-b，公式2:(a?b),a?2ab+b，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 2222提问:对于(a+b)(a-ab+b)，(a-b)(a+ab+b)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算
22(a+b)(a-ab+b) 322223,a+ab-ab-ab+ab+b 33,a+b 22(a-b)(a+ab+b) 322223,a-ab+ab-ab+ab-b 33,a-b 根据学生的板演提问: 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个 负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例变式练习 例计算: 2 (1)(3+2y)(9-6y+4y);
小学数学所有公式大全-人教版
人教版小学数学公式大全 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 长方形的面积=长×宽S=ab 正方形的周长=边长×4 C=4a 正方形的面积＝边长×边长S= a×a 三角形的面积＝底×高÷2.S= a×h÷2 平行四边形的面积＝底×高S= a×h 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 直径=半径×2 d=2r半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 内角和：三角形的内角和＝180度. 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高.公式：S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积.公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高.公式：V=Sh 圆锥的体积＝底面×积高.公式： 分数的加、减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 分数的乘法则：用分子的积做分子,用分母的积做分母. 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 二、单位换算 （1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米 （4）1吨＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤= 2市斤（5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米 （6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米 （7）1元=10角1角=10分1元=100分 （8）1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时1时=60分
立方和与立方差公式
（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明： 1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。 第二阶梯 [例1]利用乘法公式计算： (1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示： （1）小题可两次使用平方差公式； （2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式； （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式 （4）小题两次使用立方差公式。 参考答案： (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64
专题立方和差公式和差的立方公式
专题立方和差公式和差 的立方公式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5)()12528 x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算：
专题立方和差公式和差的立方公式
专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算： （1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++； （2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+； （3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；
立方和与立方差练习测试题
精心整理 立方和与立方差习题 一、公式(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3=a 3+b 3． (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3=a 3-b 3． 二、运用乘法公式计算： 1、(l)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (5)(x-3)( )=x 3-27； (6)(2x+3)( )=8x 3+27； (7)(x 2+2)( )=x 6+8； (8)(3a-2)( )=27a 3-8． 三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式 （1）1642721333x a b ---（）（3）()()x y x y x y m m +--+33334（） （5）813 3b a + （6）8 273 3b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a 2+b 2 (2)a 2-ab+b 2 (3)(a-b)2 (4)a 3+b 3 1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)； （3） （4） 课堂练习 1填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27； (3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(4 1-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是[ ] A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3； B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3； C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3； D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[ ] A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)； B ．(m-n)(m 2+n 2)； C ．(x+1)(x 2-x+1)； D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2) (7)(1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9) (10)(a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．
小学数学公式大全
几何公式 ?长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 ?长方形的面积=长×宽 S=ab ?正方形的周长=边长×4 C=4a ?正方形的面积=边长×边长 S=a.a=a2 ?三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 ?三角形的内角和＝180度 ?平行四边形的面积=底×高 S=ah ?梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 ?圆的直径=半径×2（d=2r） ?圆的半径=直径÷2（r=d÷2） ?圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 C=πd =2πr ?圆的面积=圆周率×半径×半径 S=πr×r ?长方体的体积＝长×宽×高V=abh ?正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 V=a×a×a ?圆柱的侧面积：圆柱的侧面积等于底面的周长乘高 S=ch=πdh＝2πrh ?圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积 S=ch+2s=ch+2πr×r ?圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高 V=Sh ?圆锥的体积＝1/3底面积×高 V=1/3Sh 数量关系 ?每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 ?1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 ?速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度 ?单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 ?工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 ?加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 ?被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 ?因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 ?被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数单位换算 ?1公里＝1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 ?1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米 ?1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米 ?1吨＝1000千克 1千克=1000克 ?1公顷＝10000平方米 ?1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米 ?1元=10角 1角=10分
立方和与立方差
利用立方和立方差公式进行因式分解 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -， 可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -．
解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 强化练习 1．因式分解下列各式：(1) 3 1x - (2) 338a b + (3) 66x y - 2．把下列各式分解因式： (1) 3 27a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 33 11864 p q - - (5) 3 3 18125x y - (6) 333 1121627 x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 3 4 xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2 3 23 ()a m n a b +- (4) 2 2 3 2 (2)y x x y -+强化练习答案 1． (1) 3 1x -=33 1x -=22(1)(11)x x x -+?+=2(1)(1)x x x -++ (2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-?+ (3) 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +- 2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216 p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c - +-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 立方和与立方差公式 1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3 两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.
10平方差公式 立方和与立方差公式
平方差公式完全平方公式立方和与立方差公式 一、学习目标 熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算 二、学习要求 1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。 2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。 3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。 4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。 三、例题分析 第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2 -a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案：
(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2
立方和与立方差公式(一)
立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a 2-b 2，公式2：(a ±b)＝a 2±2ab+b 2，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a 2-ab+b 2)，(a-b)(a 2+ab+b 2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不 能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 ＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例 变式练习 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)；
初高中数学衔接：第二讲 立方和与立方差公式
第二讲 立方和立方差公式 【知识讲解】 练习1 计算: 22()()a b a ab b +-+ 于是，我们得到： 【立方和公式】3322))((b a b ab a b a +=+-+ 两个数的和．乘以它们的平方和与它们积的差．，等于这两个数的立方和．．． ． 【例1】计算 (1) 2(2)(24)x x x +-+ （2）)416)(4(2m m m +-+ (3) 22(25)(41025)a b a ab b +-+ 练习2 计算：))((22b ab a b a ++- 我们得到： 【立方差公式】3322))((b a b ab a b a -=++- 两个数的差．乘以它们的平方和与它们积的和．，等于这两个数的立方差．．． ． 【例2】计算：(1) 2(21)(421)x x x -++
(2) 22 ()()32964 a b a ab b -++ (2) 22 ()()32964 a b a ab b -++ =22()[()()]323322 a b a a b b -+?+ =33()()32 a b - =33 278 -a b 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【课堂小结】 【立方和公式】 2233()()+-+=+a b a ab b a b 【立方差公式】 2 233()()a b a ab b a b -++=- 这就是说，两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)． 【例3】计算：)164)(2)(2(2 4++-+a a a a 解： 原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a . 【强化训练】 1．填空，使之符合立方和或立方差公式： (1)(x －3)( )＝x 3－27；
立方差公式
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。 字母表达
立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加 正整数范围中
注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑 迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下：
(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二 取公式： 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： …………⑴ …………⑵