2009年考研数学三真题及解析(可复制版)

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为：（）

()A .

()B . 2 ()C .

()D .无穷多个

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）

()A .1a =，16b =- ()B . 1a =，1

6b =

()C .1a =-，16b =- ()D .1a =-，1

b = （3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是（） ()A . (0,1) ()B .(1,)2π ()C .(,)2π

()D .(,)π+∞

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为（）

()A .

()B .

()

f x 0

2 3

1 -2

-1

()

f x 0 2 3

1 -

2 -1

1 1 ()

f x -2 0 2 3

-1

()C .

()D .

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵

00A B ??

???

的伴随矩阵为（） ()A .**0320B A ?? ???

()B . **0230B A

???

()C .**0320A B

???

()D .**0230A B

???

（6）设,A P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ??

?= ? ???

，若

1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为（）

()A .210110002??

? ???

()B . 110120002??

? ???

()C .200010002??

? ???

()D .100020002?? ?

? ???

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（）

()A .()0P AB =

()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-

()D .()1P A B ?=

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间()

f x 0 2 3

1 -2

-1

()

f x 0

2 3

1 -1 1

断点个数为（）

()A .

()B . 1 ()C .

()D . 3

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）cos 3

0lim

x x e e x →-=+- .

（10）设()y x z x e =+，则

(1,0)

x ?=? （11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000??

? ???

，则k =

(14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本

均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET =

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数()

(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)x

dx x

++?

(0)x > （17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??，其中2

2(,)(1)

(1)2,D x y x y y x ??=-+-≤≥??.

（18）（本题满分11 分）

①证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

②证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，则

'(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边

梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。（20）（本题满分11 分）

设111A=11

1042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??

= ? ?-??

①求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. ②对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关。（21）（本题满分11 分）

设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+- ①求二次型f 的矩阵的所有特征值。

②若二次型123(,,)f x x x 的规范型为2211y y +，求a 的值。（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

e y x

f x y -?<<=?

?其他

①求条件概率密度()Y X f y x ②求条件概率11P X Y =?≤≤???

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求10P X Z ?==???.

②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为：（）

()A .

()B . 2 ()C .

()D .无穷多个

【答案】C 【解析】

()3

sin x x f x x

π-=

则当x 取任何整数时，()f x 均无意义

故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3

0x x -=的解

1,2,30,1x =±

320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ

ππππ

→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）

()A .1a =，16b =- ()B . 1a =，1

6b =

()C .1a =-，1

b =- ()D .1a =-，16

b =

【答案】 A

【解析】2

()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则

222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx

→→→→→---==-?---洛洛

0sin lim 166x a ax a b b ax

→==-=-? 36a b ∴=- 故排除,B C 。另外2

01cos lim

3x a ax

bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排

D 。

所以本题选A 。（3）使不等式

1sin ln x

dt x t >?成立的x 的范围是（）

()A .

(0,1) ()B .(1,)2π ()C .(,)2ππ

()D .(,)π+∞

【答案】A

【解析】原问题可转化为求

111sin sin 1()ln x

x x t

t f x dt x dt dt t t t =-=-?

??11sin 11sin 0x x t t dt dt t t

--==>??成立时x 的取值范围，由1sin 0t

t ->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >。故应选A .

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为（）

()A .

()B .

()

f x 0

2 3

1 -2

-1

()

f x 0 2 3

1 -

2 -1

1 1 ()

f x -2 0 2 3

-1

()C .

()D .

【答案】D

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、

0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：

①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。 ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。 ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D 。

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵

00A B ??

???

的伴随矩阵为（） ()A .**0320B A ?? ???

()B . **0230B A ??

???

()C .**0320A B

?? ???

()D .**0230A B

?? ???

【解析】根据CC C E *

=，若1

1,C C C C C C

--*

分块矩阵00A B ??

???的行列式22

012360

A A

B B

?=-=?=（），即分块矩阵可逆 ()

f x 0 2 3

1 -2

-1

()

f x 0

2 3

1 -1 1

11000

66000100B B

A A A

B B B

B A

A A **

---*?

? ??????? ?=== ? ? ? ???????

100

23613002

B A

A ***

*?? ???

== ? ? ???

???

故答案为（B ）

（6）设,A P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ?? ?= ? ???

，若

1231223

(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为（） ()A .210110002??

? ???

()B . 110120002??

? ???

()C .200010002??

? ???

()D .100020002?? ?

? ???

【答案】 A

【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα????=+==??????

，即： 12121212122112(1)

[(1)][(1)](1)[](1)

100(1)01

0(1)0021101

00100210010010110110001002001002T T T

T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===??

??=??????

????????

????????==???

?????????????????????

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（）

()A .()0P AB =

()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-

()D .()1P A B ?=

【答案】()D

【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =

()A ()()1()P AB P A B P A B ==- ，因为()P A B 不一定等于1，所以()A 不正确 ()B 当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除 ()C 只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除

()D ()()1()1P A B P AB P AB ==-= ，故()D 正确。

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（）

()A .

()B . 1 ()C . 2

()D . 3

【答案】 B 【解析】

()()(0)(0)(1)(1)1

[(0)(1)]21

[(00)(1)]2Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==?≤=+≤=

,X Y 独立

()[(0)()]2

Z F z P x z P x z ∴=?≤+≤

（1）若0z <，则1

()()2Z F z z =Φ

（2）当0z ≥，则1

()(1())2

Z F z z =+Φ

0z ∴=为间断点，故选（B ）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 3

0lim

x x e e x →-=+- .

【答案】

【解析】cos cos 13

00(1)lim

lim

x x x x e e e e x x -→→--=+-+-

(1cos )

lim

x e x x →-=

12lim 13x e x x →?=

e =

（10）设()y x z x e =+，则(1,0)

x ?=? 【解析】由(

y z x e

=+，故()()

,01x

z x x =+

()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??????=+==++??????+??

代入1x =得，

()

ln 21,01ln 22ln 212z e x

?=+=+ ???

（11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为【答案】

【解析】

由题意知，()

10n

n n e a n --=>

()

()1

111()11111n n n n n n

n n n

n e e e

a n n e n a n e n e e +++++????--?? ???--????=?

=?→→∞??

+--+??--?? ??????

所以，该幂级数的收敛半径为

（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元【答案】12000

【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P

ξ'=

=，所以0.2Q P Q '= 所以()0.2 1.2QP Q Q Q '=+= 将10000Q =代入有()12000QP '=。

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000?? ?

? ???

，则k =

【答案】2

【解析】T αβ相似于300000000??

????????

，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为 3，0，0。而T

αβ为矩阵T αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=。

(14) 设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样

本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET =

【答案】2

【解析】由222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数()

(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

【解析】

2(,)2(2)0x f x y x y '=+=

2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=

故10,x y e

= =

221

2(2),2,4xx

yy xy

f y f x f xy y

''''''=+ =+ = 则

12(0,)1(0,)1(0,)1

2(2)0xx

xy e yy

f e

f f e

''=+''=''=

0xx

f ''> 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e

（16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)x

dx x

++?

(0)x > 【解析】令

1x t x

+=得22

12,1(1)tdt

x dx t t -= =-- 2222222222

ln(1)ln(1)(1)(1)(1)

1ln(1)(

ln(1)11111ln(1)111(14(1)4(11ln(1)111

ln 1412(1)

111ln(1)ln 4112t t dt t d t t t t d t t dt t t t t dt t t t t t t C t t t x

x x x x x x --=+=+---=+-+=-?--++--=-++--++++=

+-+--++++=++-+-?????2

原式））2（）1(1)111

ln(1)ln((1))ln((1))22C x

x x x x x x C

x ++++=++++-+-+

（17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??，其中22(,)(1)(1)2,D x y x y y x ??=-+-≤≥??

. 【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，

2(sin cos )4()(cos sin )04D

x y dxdy d r r rdr π

θθθθθπ+∴-=-????

332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ?+?=-?????? 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-?+?+?

3384(cos sin )(sin cos )34

d πθθθθθπ=-?+?

3444

38814(sin cos )(sin cos )(sin cos )334

d ππ

πθθθθθθπ=++=?+?83

（18）（本题满分11 分）

①证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

②证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，则

'(0)f +存在，且'(0)f A +=.

【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()

()()()()f b f a x f x f a x a b a

?-=--

--，易验证()x ?满足：

()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且

''()()

()()f b f a x f x b a

?-=-

-。

根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0?ξ=，即

'()f ξ'()()

0,()()()()f b f a f b f a f b a b a

ξ--

=∴-=--

（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；

在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在

()()0

00,0,x x ξδ∈?，使得()0

'00()(0)

x f x f f x ξ-=

-……()*

又由于()'

lim x f x A +

→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：

()()

000000'''0

000()00lim lim ()lim ()0

x x x x x f x f f f f A x ξξξ+

+++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=。

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边

梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为2

2()()11x x t t V f dx f dx ππ=

=?? 曲边梯形的面积为：()

1x t

s f

dx =

?，则由题可知

22()()()()1111

x x x x t t t t

V ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=?=?=????

两边对t 求导可得2

()()()()()()11t x t t t x t

t f f dx tf f tf f dx =

+?-=??

继续求导可得''

2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得

(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y

-=?+=，解之得1

223t c y y -=?+

在式中令1t =，则2

(1)(1)0,()0,(1)

1f f f t f

-=>∴= ，代入1

t c y y -

=+得111,(2)33c t y y

=∴=+。

所以该曲线方程为：1

230y x y

+-=。

（20）（本题满分11 分）

设111A=11

1042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-?? ?

= ? ?-??

①求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. ②对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关。【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=

()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------??????

? ? ?

=-→→ ? ? ? ? ? ?---??????

()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =

故21101021k ξ???? ? ?

=-+ ? ? ? ?????

，其中1k 为任意常数

解方程231A ξξ=

2220220440A ?? ?=-- ? ???

()2

11110

22012,2201000044020000A ξ-?

? ?

-?? ? ?=--→

? ? ? ??? ?

故有两个自由变量，令21x =-，由2

0A x =得131,0x x ==

求特解21200η?? ? ?= ? ?

故 321121000k ξ?? ??? ?

?=-+ ? ?

? ??? ??? ，其中2k 为任意常数

（Ⅱ）证明：

由于121

212121221111

2(21)()2()(21)22

2210

k k k k k k k k k k k k k -+

--=+++-+-+-+

≠ 故123,,ξξξ 线性无关.

（21）（本题满分11 分）

设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+- ①求二次型f 的矩阵的所有特征值。

②若二次型123(,,)f x x x 的规范型为2211y y +，求a 的值。

【解析】（Ⅰ） 0

101111a A a

a ?? ?

=- ? ?--??

011

0||01

()

E A a

a a a λλλλλλλλ-----=

-=--

-+---+

222()[()(1)1][0()]

()[()(1)2]()[22]

(){[(12)]}

()(2)(1)

a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--

123,2,1a a a λλλ∴==-=+

（Ⅱ）若规范形为22

y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意

2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合

3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x f x y -?<<=?

?其他

①求条件概率密度()Y X f y x ②求条件概率11P X Y =?≤≤??? 【解析】

（I ）由0(,)0x y x e f x y -<

其它得其边缘密度函数

()0

x x x f x e dy xe x --=

= >?

故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x

= << 即 |1

(|)0y x y x

f y x x

? 0<

（II ）[1,1]

[1|1][1]

P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=

≤

而1

[1,1](,)12x

x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤=

===-????

()|

,0x x y Y y

f y e dx e e y y

+∞

---+∞==-= >?

11101

[1]|110

y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-?

11122

[1|1]11

e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--

（23）（本题满分11分）

②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

12113324

(10)9

C P X Z C C ?∴====?

（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故

()()()()()()()()()1111332311116666111

2231111

6666112211661122116611

0,0,1,046111

2,0,0,13631

1,1,2,10

0,29

1,20,2,20

C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========

????========???=======??====

?======

Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9