2013高考文科数学 知识网络(二)

高考数学自主整理知识网络（二）

第六章 不等式与线性规划

一元二次不等式：含参一元二次不等式的解法

三级讨论原则:第一级 先看二次项系数a （)0,0,0<=>a a a 第二级 再看能否因式分解，能因式分解，就直接因式分解，不能因式分解，则讨论判别式)0,0,0(??从而得到根的情况 第三级 最后看根的大小是否确定 根的大小不确定则要进行分类讨论),,(,21212121x x x x x x x x <=> 基本不等式：

),(222

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤

?≥+，重要不等式，对于任意实数R 成立

),(4

)

(22

+

∈+≤?≥+R b a b a ab ab b a ，通常只对正数成立

应用：

1）求最值

“和定积最大，积定和最小”“一正，二定，三相等” 4

2

c

ab c b a ≤

?=+（和定积最大）；c b a c ab 2≥+?=（积定和最小）

2）建立有效不等式：

在条件最值中应用很广：如已知正数y x ,满足5++=y x xy ，求y x +和xy 的范围. 3)涉及向量的模时，有时可以考虑灵活运用基本不等式. 线性规划

二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 表示一个半平面，若点),(),,(2211y x Q y x P 在边界

0=++C By Ax 的同侧，则C By Ax ++11与C By Ax ++22同号，异侧异号.

目标函数分类问题：

1） 距离型：如2

2

2

2

)1y x y x z +-+=或（

2） 直线型：如y x z 2+=或y x z 2||+=或|2|y x z +=，直线型目标函数的最值通常在区域的顶点上取

到最值 3） 斜率型：如1

1-+=

x y z ，此时目标函数的最值通常也在区域顶点上取到，不过要注意是分两边（直线扫

过900角）还是夹中间（直线未扫过900角） 4） 抛物型：如y x z +=2

，平移抛物线得最值

5） 分段型：如??

?<+-≥+=x

y y x x y y x z 2,2,，此时关键是把握在不同的分段区域的目标函数不同，分别求最值，

然后比较两个区域内最值的大小即可 特殊方法与技巧：

１） 含参线性规划问题：参数可以出现在约束条件，也可以出现在目标函数，若出现在约束条件，则

要注意区域的画法，若出现在目标函数，则要看目标函数是否过定点. 2)有些问题要展示整个动态过程，不能想当然忽略步骤，如冲刺卷四第16题，大家好好思考 合情推理与演绎推理：

合情推理：归纳推理和类比推理

演绎推理：三段论 大前提 小前提 结论 只要大小前提不错 推理形式正确 结论一定正确 归纳推理：由特殊到一般 类比推理：由特殊到特殊

第七章 立体几何

八个重要定理(要注意定理的准确条件)

线面垂直判定：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直 线面垂直性质：若线面垂直，则直线垂直面内的所有直线

线面平行判定：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则线面平行

线面平行性质：若线面平行，则过该线的平面与已知平面相交，则该线与较线平行 面面平行判定：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则面面平行 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.

面面平行性质：若两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行 面面垂直判定1：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 面面垂直判定2：若一个平面内的一条直线垂直另一个平面，则两平面垂直

面面垂直性质：若两平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

空间角：异面直线所成的角，线面角，二面角

求法：线线角：几何法：异面直线所成的角可通过将一条直线平移到与另外一条直线相交，然后通过解三角形求得，平移通常找中位线或做平行四边形 坐标法：建立坐标系，分别写出两条直线对应的向量的坐标，用夹角公式cos =

θ（]2

,

0[π

θ∈）

线面角：几何法：线面角关键是找两个足，斜足，垂足，通常斜足给出，找垂足的目的是求斜线另一端点到平面的距离h ，策略两种，一种是作出垂足（通常作对应面内三角形的高，然后证明该高也垂直于平面），找出垂足后，通过解三角形求得h ；第二种策略是用体积法求出h ，然后带公式PA PA

h (sin =θ为斜线段

长）（]2,

0(π

θ∈）

注：一般情况下，若三棱锥的体积比较好求，面的转化也比较方便，提倡用体积法 坐标法：建立坐标系后，写出向量PA 的坐标，平面法向量n 的坐标，求sin =

θ注：建系的原则是“墙角”比较好找，千万不要没有证明就直观地去找墙角，这是错觉！ 二面角：几何法：定义法，三垂线定理，面积射影定理，

求解粗略：定义法通常要在两个三角形内分别作交线的垂线，且垂足在同一点，若垂足不在同一点，则可通过平移法平移到同一点，然后通过解三角形求二面角的平面角

三垂线定理要求找出过一个面内的一点垂直于另一个面的一条垂线PA ，A 为垂足，则通过过A 或过P 作交线的垂线，就可以找出二面角的平面角，然后解三角形

面积射影定理要求求出一个面的射影面的面积，通过公式S

S 射影=θcos 求得，

注：找出二面角的平面角一定要说明，充分拿步骤分.

坐标法：用坐标法一定要对二面角是锐二面角，直二面角或钝二面角进行预判，然后通过分求出两个平面的法向量n m ,，带公式cos =

θ

注：求平面的法向量，若法向量比较容易通过观察求得，则无需计算 第八章 解析几何

直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角),0[πα∈，直线的斜率αtan =k ，两者之间的关系

直线的方程：一般式子0=++C By Ax ，点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y +=，两点式1

211

21x x x x y y y y --=--，截距式

1=+

b

y a

x

几种方程说明：点斜式和斜截式都要求直线斜率存在，对斜率不存在的直线可考虑用横截式t my x +=，截距式只对在坐标轴上的截距都不为零才能用，两点式基本不用，一般式通常涉及点到线的距离时，必须用.

两直线的位置关系：0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则 00//1221122121≠-=-?C A C A B A B A l l 且 0212121=+?⊥B B A A l l

常见距离： 点到线：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

两点间：2

21221)()(||y y x x AB -+-=

平行线间：2

2

21||B

A C C d +-=

弦长公式：||11||1||212

212

y y k

x x k

AB -+

=

-+=

|

|14)(12

212

212

a k

x x x x k

?+=

-++=

直线系：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过21l l 和的交点的所有直线（除2l ）

型：01=++my x 是过定点的直线系，型0:=++m y x 是平行直线系

注：两种直线系都含有一个参数，因此要证明一条直线过定点，只需证明直线方程中含有一个字母参数就可以了.

对称问题：点关于点，点关于线，线关于线对称问题如何解决，看“实际金榜”162-163页 圆：圆的标准方程22020)()(r y y x x =-+-，圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x

其中042

2>-+F E D ，2

2

2

F

E D

r -+=

，圆心)2

,2

(E D -

-

注：圆的方程中有三个参数，因此要求出圆的方程需要三个条件： １） 圆上三个点已知，任取两组点，然后分别求出中垂线方程，中垂线的交点即圆心 ２）

若已知直线和圆相切，则圆心在过切点且和切线垂直的直线上

直线和圆的位置关系：相交，相切，相离（几何法，代数法） 弦长222||d r AB -= 圆与圆的位置关系：外离)(r R d +> 外切)(r R d += 相交)(r R d r R +<<- 内切)(r R d -= 内含)(r R d -< 两圆的公共弦方程：两圆方程相减即得 椭圆：标准方程

)0(12

22

2>>++

b a b

y a

x 型）x ( 离心率 10<=

c e 长轴a 2 短轴b 2

焦距c 2 通径

a

b 22 定义)(2||||21

c a a PF PF >=+（动点到两定点的距离之和为定值的点的轨迹）

焦点三角形21F PF ?，设θ=∠21PF F ，左右顶点B A ,，α=∠APB ：

2

tan

)12

21θ

b S F PF =? 12

cos

1)22

2

<≤-e

θ

12

c o t

1)32

2

<≤-e

α

焦点弦AB 过右焦点2F ，AB l 的倾斜角为θ，椭圆上点),(00y x P ，焦半径2211,r PF r PF ==： 1）B F AF 22λ=若，则e

)1(1cos +-=

λλθ 2）0201||,||ex a PF ex a PF -=+=

椭圆上任意弦MN ，MN 中点Q ，左右顶点B A ,，椭圆上任意点P ，椭圆任意切线l ，切点R ：

1）2

2a

b k k OQ MN -=? 2)2

2a

b k k PB PA -

=? 3)2

2a

b k k OR l -

=?

双曲线：双曲线的很多结论与上面的椭圆的结论可类比得到，请大家自行写出 补：1）双曲线方程12

22

2=-

b

y a

x ?渐近线

02

22

2=-

b

y a

x ?相同渐近线的双曲线

λ=-

2

22

2b

y a

x ?有相同

的离心率

2）双曲线焦点到渐近线的距离为b

3）离心率2

22

2

22

22

1a

b a

b a a

c e +

=+=

=

?双曲线离心率和渐进线斜率关系2

1k

e +=，因此求离心率和

求双曲线斜率本质一样 4) 焦点三角形面积2

cot

2

2

1θ

b S F PF

=?

抛物线：以开口向右的抛物线为例)0(22>=p px y 焦点)0,2

(p F 准线2

p x -

= 通径p 2

焦点弦AB 的倾斜角为θ ),(),,(2211y x B y x A 则 1）θ

cos 12||1-=

+

=p p x AF θ

c o s 12

||2+=

+

=p p x BF θ

2

sin 2||p AB =

p

BF AF 2|

|1|

|1=

+

以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 （问题：在椭圆和双曲线内如何？）

变式：过定点)0,(c Q 的直线与抛物线px y 22=交于B A ,两点，以AB 为直径画圆，该圆与c x -=相切吗？（2

p c <

相交；2

p c =

相切；2

p c >

相离）

2）||||2

1||2

121y y OF d AB S AB O ABO -?=?=-?θ

sin 22

p

=

注：上面求面积的方法具有普遍性，其中第二中策略用得巧妙的化可以简化计算 3）2

212

21,4

p y y p

x x -==

4）4-=?OB OA k k ，2

4

3p OB OA -

=?

5）过焦点F 作两条互相垂直的弦PQ MN ⊥，则

p

MN PQ 21|

|1|

|1=

+

6）设T 为准线2

:p x l -

=上任一点，则TB TA TF k k k +=2

7）抛物线在B A ,的切线交于点M ，则i)||||||2

MB MA MF ?= ii))2

,

2(

2

121y y p

y y M +

8）过11A l AA A 于作⊥，过11B l BB B 于作⊥，则i)1,,B O A 三点共线，1,,A O B 三点共线

ii)

4

1

11

12

=????FAA FBB FB A S S S

特别说明：不管是椭圆，双曲线还是抛物线，只要和焦点有关的问题，都需要转化为定义来处理，请同学们切忌切忌!!!!

特殊方法与技巧：

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;

（3）给出0

=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()

BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,A B A C λλ=

使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+

==+

且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出λ

λ++=

1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=

（7） 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知

AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角,注意排除共线情况

（8

）给出MP =?

? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线；

（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形; （10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||A B A D A B A D +=-

，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC ?中，给出2

2

2

OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三

角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出+=OA OP ()||||AB AC

AB AC λ+

)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心； 注：解析几何问题的关键把握问题解决的步骤和计算，通常情况下分四步走就可以拿到大部分分数（具体请同学们看大盘点）

第九章 算法初步 框图 统计 概率

这章内容总体相对简单 关键是把握问题的解题步骤：

1）算法和框图：通常要求给出问题的整体解题顺序，循环算法题一般写出问题的前三项找出规律，然后写出后两项，找到准确的结果，基本上不会出错，盼望同学们在算的时候要仔细 2）统计：关键把握几个概念，频率分布直方图，平均数，众数，中位数（特别是这三个数如何在频率分布直方图中读出来），频数等，请同学们找一道相应的题做做，基本问题不大3）概率：通常是古典概型，关键把握n

m A P ==

基本事件总数

满足要求的基本事件数

)(，写基本事件数的时候要做到不重不漏.

最后谈谈考试心态：高考文科数学，从知识层面来讲，主要以基础中档题为主，这一点一直以来是浙江高考的主旋律，因此，请同学们从心理上要相信自己行! 从解题的层面来讲，关键是把握解题时由易到难，注重解题节奏和计算的准确性，千万别给自己设限。解答题前三题争取保证得所有分数，导数题基本上也能拿下，关键是能否将问题进行适当转化，转化为自己熟悉的问题. 解析几何这题，大家也不要怕，只要你的思路是正确的，就按照你这个思路做下去，一般也不会出现什么大问题，实在因为时间问题没办法算出最后结果，也一定要有能多拿一分是一分的心理，祝大家高考取得理想成绩!!!高中三年的数学教学到此结束!!!!