河南省商丘市第一高级中学2016届高三数学考前押题考试试题(二)文(新)

2016高考文科数学押题卷（二）

一．选择题

1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2,4}A =，{2,5}B =，则()U C A B = （ ） A ．{3,4,5} B ．{2,3,5} C ．{5} D ．{3}

2．【改编】复数

2

24(1)

i

i ++的共轭复数对应点的坐标为（ ） A ．(2,1) B ．(2,1)- C ．(2,1)- D ．(2,1)--

3．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为l 到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，著抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．【改编】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．

23

π

B

．25 C

．20 D

．20+ 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，311a =，14217S =，则12a =（ ） A ．18 B ．20 C ．21 D ．22 6

．当

时，

，则a 的取值范围是（ ）

A ．1(0,)

4 B ．1(,1)4 C ．（1，4） D ．

4）

7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

7

4

，则（ ）

A ．3a =

B ．4a =

C ．5a =

D ．6a =

8．已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为122

22=-b

y a x ，1C 与2C 的

离心率之积为

2

3

，则2C 的渐近线方程为 A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 9．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于点,012π?? ???对称；③在5,36ππ??

????

上是减函数”的一个函数是（ ） A ．sin 26x y π??=+

?

?? B ．cos 23y x π?

?=+ ??

? C ．sin 26y x π?

?

=-

??

?

D ．sin 26y x π??

=+

??

?

C 11．已知090=∠ABC ，⊥PA 平面ABC ，若1===BC AB PA ，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ）

A ．π

B

C ．2π

D ．3π

12．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O ，A

点处取到极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线

22sin cos ,,

33y x

x x x x ππ??=+∈????

上，则曲线()y f x =的切线的斜率的最大值是（ ） A ．

34π B ．32 C 34+ D 3

4-

二．填空题

13．已知实数x ，y 满足1218y y x x y ≥??

≤-??+≤?

，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）

A ．2-

B ．5

C ．6

D ．7

14．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若0cos 3sin =-B a A b ，且

ac b =2，则

b

c

a +的值为 ．

A ．

2

2

B ．2

C ．2

D ．4 15．【原创】设向量|a |=1，(2)a b + ⊥(2)a b -

，()a a b ?+ =0，则a 与b 的夹角为 ．

16．【改编】以下四个命题：

①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

④对于命题p ：0x R ?∈，使得20010x x ++<，则p ?：x R ?∈，则210x x ++≥ 正确的命题序号为 ． 三．解答题

17．【改编】（本小题满分12分）已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =，

1510a a +=，数列{}n b 满足2

n

n n a b =

． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．

18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =．

（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；

（Ⅱ）若1AB 11A BB C C -的体积．

得如下实验数据：

（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测8t =时，细菌繁殖个数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

^

1

2

1

()()

()n

i

i i n

i

i t

t y y b t

t ==--=

-∑∑，^^

a y bt =-．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2

，且椭圆C 的离心率为1

2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥．证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分12分）设函数2e ()2x f x ax ex =---，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ） 1a =时，求曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）函数()h x 是()f x 的导函数，求函数()h x 在区间[0,1]上的最小值．

22．已知圆内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线．

（Ⅰ）求∠BAE 的度数； （Ⅱ）求证：2=CD BD EC ?

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆C ：221

43x y +=

，直线3:x l y t

?=-??=??（t 为参数）． （Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；

（Ⅱ）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标． 24．（本题满分10

分）选修4—5：不等式选讲．

已知函数()f x =

．

（Ⅰ）求()(4)f x f ≥的解集；

（Ⅱ）设函数()(3)g x k x =-，k R ∈，若()()f x g x >对任意的x R ∈都成立，求实数k 的取值范围．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：∵{1,2,3,4,5}U =，{1,2,4}A =，∴{3,5}U C A =，又∵{2,5}B =，∴(){2,3,5}U C A B = ． 考点：集合的并集、补集运算． 2．A 【解析】 试题分析：由复数

2

24(1)i

i ++可化为2-i ，所以其共轭复数是2+i ，在复平面内对应点的坐标为

(2,1)，故选A ．

考点：复数的运算 3．B 【解析】

试题分析：系统抽样的抽取间隔为

24

64

=，设抽到的最小编号为x ，则(6)(12)(18)48x x x x ++++++=，

∴3x =．

考点：系统抽样． 4．C 【解析】 试题分析：由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，圆锥的底面半径为1，

高为21

52221202

S π=??+

??=+全，故选C ． 考点：三视图、圆锥锥的体积、正方体的体积问题． 5．B 【解析】 试题分析：114141143121141214()

217,31,31,20,2

a a S a a a a a a a +=

=∴+=+=+==选B ．

考点：1．等差数列的求和公式；2．等差数列的性质． 6．B 【解析】

试题分析：由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可；

考点：指数与对数函数图像和性质 7．A 【解析】

试题分析：第一次：2,23==k S ；第二次：3,3

5

==k S ；第三次：4,7==k S ，退出循环，故选A 考点：程序框图 8．B 【解析】

试题分析：根据题意可知222222

3,4

a b a b a a -+= 即44

4,a b =

所以a ，故双曲线的渐近

，故选B ． 考点：椭圆、双曲线的离心率，双曲线的渐近线． 9．C 【解析】 试题分析：由①知

22π

πωω

==，，排除A ；将12

x π

=

依次代入其它三个选项，分别得到

排除D ；研究余下两个函数的单调性，由3222)

262k x k k z πππππ+≤-≤+∈(得，5)3

6

k x k k z π

π

ππ+

≤≤+

∈(，即函数s i n 26y x π?

?=- ??

?的单调减区间为

5[,)

3

6

k k k z π

π

ππ+

+

∈](，故选C ． 考点：三角函数的图象和性质． 10．D 【解析】

所以

0）．任取[]3,3k ∈-，则k 的值使得过()11A ， 可以作两条直线与圆

0(1)1

3(3)6

p --==--，故选A ．

考点：1．几何概型；2．点与圆的位置关系．．

11．D 【解析】

试题分析：取PC 的中点O ，连接OB OA ,，由题意知BC PA ⊥， 又A AC PC BC AC =⊥ ,，⊥∴BC 平面PAC ，PB BC ⊥∴， 在PBC Rt ?，PC OB 2

1

=

，同理PC OA 21=，PC OP OC OB OA 21====∴，

因此C B A P ,,,四点在以O 为球心的球面上， 在ABC Rt ?，222=+=BC AB AC ，在PAC Rt ?中，322=+=AC PA PC ，

球O 的半径2

3

21=

=

PC R ，因此球的表面积为ππ342==R S ，故答案为D ．

考点：球的表面积．

12．A ． 【解析】

试题分析：根据题意由函数32()f x ax bx cx d =+++，(0)00f d =?=，则

32()f x ax bx cx =++，设

2(,

),[,

3

3

A p q p ππ

∈，由23(

)

32

,(0)()

f x a

x b x

c f f p '''=

++==?=∴，又

有220,2333b b

p p b ap a a

+=-

=-=-即，

2()33f x ax apx

'∴=-，又

2sin cos )

q p p p p p α=+>+ ，其中133tan [,](0,1)(0,)24

p πααππ=

∈∈∴∈，，

则

有

711(

,),sin()0,0,()(0)1212

p p q f p f ππαα+∈+>>>即，所以()f x 分别在0,x x p ==处

取

得

极

小

值

和

极

大

值

，

则

0,0a b <>，

3222()sin cos cos 3

bp

q f p ap bp p p p p ap bp psinp p ==+=+∴+==+ ，， 3(sin cos )

bp p p p ∴=+，

232()33()(sin cos ),[,]

22233

p bp f x ax apx f p p p p ππ

''=-≤==+∈，

令

()s

i n g x p p p g

x p p

'=+=，由()0g x '=得2p π=，(),()[,]32

g x f x ππ

'∴在上单调递增，在2[,]23

ππ

上单调递减，

所以(),()2

g x f x x π

'=在处取得唯一极大值，即最大值，

所

以

3

()2

2

p f x π

''

≤=+=≤

=+= ，故

选A ．

考点：导数的综合应用 13．A 【解析】

试题分析：不等式组满足的可行域如图所示，目标函数y x z -=转化为z x y -=，表示斜率为1，截距为z -的平行直线系，当截距最大时，z 最小，当过点A 时，截距最大，此时z 最小，由??

?=+-=812y x x y ，得???==5

3

y x ，

253min -=-=z

考点：线性规划的应用．

14．2 【解析】

试题分析：由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，因为s i n 0A ≠，所以

sin cos 0B B -=，所

以t a n B ，又0B π<<，所以3

B π

=

．由余弦定理得

222222o s b a c a c B a c a c =+-=+-，即22()3b a c ac =+-，又2b a c =，所以

224()b a c =+，求得

2a c

b

+=． 考点：正弦定理、余弦定理． 15．

23

π

【解析】

试题分析：∵(2)a b + ⊥(2)a b - ， ∴(2)(2)a b a b +?- =224a b - =22

4||||a b - =0，

∴|b |=2||a =2， ∵()a a b ?+ =0，∴a b ? =2a - =2

||a - =－1， ∴cos ,a b <> =||||

a b

a b ?? =12-，∵0≤,a b <> ≤π，∴,a b <> =23π．

考点 平面向量数量积；向量垂直的充要条件

16．①②④． 【解析】

试题解析：显然①②④正确，对于③，若p q ∧为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，所以③错误，故正确的命题序号为①②④

考点：四种命题，充分必要条件，逻辑联结词，含有量词的命题的否定

17．（Ⅰ） 21(*)n a n n =-∈N ；（Ⅱ） 24(12)

2412

n n n T +?-==--

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题知0d >．由315210a a a =+=，又可得35a =．

由2421a a =，得(5)(5)

2d d -+=，可得2d =．所以1321a a d =-=．从而

21(*)N n a n n =-∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）得(21)2n n b n =-，是等比数列与等差数列对应项乘积构成的新数列，再利用错位相减法即可求出其前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题知0d >． 由315210a a a =+=，又可得35a =．

由2421a a =，得(5)(5)21d d -+=，可得2d =．

所以1321a a d =-=．可得21(*)n a n n =-∈N 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得21

2n n

n b -=

， n T =2313521

2222n n -++++ ，①

∴ 12n T = 23411352321

22222

n n n n +--++++

+ ，② ①-②得，12n T =231122221

22222n n n +-++++-

=

111121212212

n

n n +-----=132322n n ++-， ∴n T =23

32n

n +-． 12分

考点：数列及其求和 18．（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）2V =． 【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、四棱锥的体积等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力．第一问，连结1AC 、

1CB ，取1CC 中点，连结AO 、1BO ，由于△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形，所以CC 1⊥OA ，CC 1

⊥OB 1，所以利用线面垂直的判定，得CC 1⊥平面OAB 1，再利用线面垂直的性质得CC 1⊥AB 1；第二问，利用线面垂直的判定，可得OA ⊥平面BB 1C 1C ，所以OA 是锥体的高，最后利用锥体体积公式计算即可． 试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则

CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1

AB 1

所以OA ⊥OB 1．又OA ⊥CC 1，OB 1∩CC 1＝O ， 所以OA ⊥平面BB 1C 1C ．

S □BB 1C 1C ＝BC ×BB 1 sin 60°＝

故V A －BB 1C 1C ＝

1

3

S □BB 1C 1C ×OA ＝2． 12分 考点：线线垂直、线面垂直、四棱锥的体积． 19．（1）^

0.850.25y t =-；（2）6．55千个．

【解析】

试题分析：本题主要考查线性回归方程等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力．第一问，利用已知数据先求出t 和y 的平均数，代入到b ∧

中，得到b ∧

后，再代入到a ∧

中，而线性回归方程为y b x a ∧∧∧

=+，代入所有数据即可得到；第二问，将8t =代入回归直线中即可得到所求．

试题解析：（Ⅰ）由表中数据计算得，5t =，4y =，

1

()()8.5n

i

i

i t t y y =--=∑，

2

1

()

10n

i i t t =-=∑，

^

1

2

1

()()

0.85()

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ==--=

=-∑∑，^^

0.25a y bt =-=-．

所以，回归方程为^

0.850.25y t =-． 8分

（Ⅱ）将t ＝8代入（Ⅰ）的回归方程中得^

0.8580.25 6.55y =?-=． 故预测t ＝8时，细菌繁殖个数为6．55千个． 12分 考点：线性回归方程．

20．（Ⅰ）22143

x y +=；（Ⅱ）1(,0)4-

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点3

(1,)2，且椭圆C 的离心率为1

2

，建立关于,a b 的方程组，可解得,a b 的值，即可得椭圆的方程．

（Ⅱ）由点P 的横坐标为-1，并且点P 是MN 的中点．直线l 有两种情况，斜率存在时联立

直线l 的方程与椭圆方程，消去y ，由x 的二次方程根据韦达定理，再写出直线l 的方程，即可得到直线l 过定点．另外再检验斜率不存在的时同样过定点．由此即可的结论． 试题解析：（Ⅰ）因为点3(1,)2在椭圆C 上，所以221914a b +=，又椭圆C 的离心率为12

，所以

1

2

c a =，

即2a c =，所以2

2

4,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22

143

x y += （Ⅱ）设0(1,)P y -，033

(,)22

y ∈-，

①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，1122(,),(,)M x y N x y ，

由2203412(1)

x y y y k x ?+=?-=+?，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， 所以201228834ky k x x k ++=-+，因为P 为MN 中点，所以12

12x x +=-，即202

88234ky k k

+-=-+， 所以00

3

(0)4MN k y y =

≠，因为直线l MN ⊥，所以0143y k =-，所以直线的方程为

004(1)3y y y x -=-

+，即041()34y y x =-+，显然直线恒过定点1

(,0)4

- ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，

此时直线为x 轴，也过点1(,0)4- 综上所述，直线恒过定点1

(,0)4-

考点：1．椭圆的方程的性质．2．直线与椭圆的位置关系．3．分类思想．4．运算能力．

21．（Ⅰ） 见解析；（Ⅱ） 见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ） 1a =时，2

()e 2x

f x x ex =---因()e 2x f x x e '=--，所以(1)2f '=-，

12(1)e 1123f e =--?-=-，故曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

32(1)

y x +=--即

2y 10x ++=；（Ⅱ）

2()2

x f x e ax ex =---，

()()2x h x f x e ax e '==--，()2x h x e a '=-，

（1）当12

a ≤时，∵[0,1]x ∈，1x

e e ≤≤，∴2x

a e ≤恒成立，即()20x h x e a '=-≥，()h x 在[0,1]上单调递增，所以

()(0)1h x h e ≥=-．

（2）当2

e a >时，∵[0,1]x ∈，1x e e ≤≤，∴2x

a e >恒成立，即()20x h x e a '=-<，()h x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2h x h a ≥=-．

（3）当122

e

a <≤时，()20x

h x e a '=-=得ln(2)x a =()h x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2h x h a a a a e ≥=--注，本题改编与2014年四川高考题 试题解析：（Ⅰ） 1a =时，2

()e 2x

f x x ex =---

∵()e 2x f x x e '=--，

∴12(1)e 1123f e =--?-=-，(1)2f '=- ∴曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

32(1)y x +=--即2y 10x ++= 6分（Ⅱ）2()2x f x e ax ex =---，

()()2x h x f x e ax e '==--，()2x h x e a '=-

（1）当1

2

a ≤

时，∵[0,1]x ∈，1x e e ≤≤，∴2x a e ≤恒成立， 即()20x h x e a '=-≥，()h x 在[0,1]上单调递增， 所以()(0)1h x h e ≥=-． （2）当2

e a >

时，∵[0,1]x ∈，1x e e ≤≤，∴2x

a e >恒成立， 即()20x h x e a '=-<，()h x 在[0,1]上单调递减， 所以()(1)2h x h a ≥=-． （3）当

122

e

a <≤时，()20x h x e a '=-=得ln(2)x a = ()h x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，

所以()(ln 2)22ln 2h x h a a a a e ≥=-- 12分

考点：函数与导数的综合应用

22．（Ⅰ） 见解析；（Ⅱ） 见解析 【解析】 试题分析：（Ⅰ）在△EAB 与△ECA 中，因为AE 为圆O 的切线，所以∠EBA =∠EAC ，∠EAB =∠ECA ，因为△ACD 为等边三角形，所以120o EAB ECA ∠=∠=；（Ⅱ）容易证明△ABD ∽△EAC ，所以

AD EC

BD CA

=，即A

D C A B D

E C ?=? ，因为△ACD 为等边三角形，所以AD=AC=CD ，

所以2

=CD BD EC ?

试题解析：证明：（Ⅰ）在△EAB 与△ECA 中 因为AE 为圆O 的切线，所以∠EBA =∠EAC 又∠E 公用，所以∠EAB =∠ECA

因为△ACD 为等边三角形，所以120o EAB ECA ∠=∠= 5分 （Ⅱ）因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD=∠CAE

因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC =∠ACD ， 所以∠ADB=∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC 所以

AD EC

BD CA

=，即AD CA BD EC ?=? 因为△ACD 为等边三角形，所以AD=AC=CD ， 所以2=CD BD EC ? 10分 考点：平面几何的证明

23．（1

）2cos x y θ

θ

=???=??，x

＋9＝0；（2

）8(,55P -．

【解析】

试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力．第一问，利用椭圆的参数方程，直接得到将直线的参数方程消参，得到直线的普通方程；第二问，由于P 点在椭圆上，结合参数方程设出P 点坐标，利用两点间的距离公式，及点到直线的距离公式，再相等，解出sin θ及cos θ，从而得到P 点坐标．

试题解析：（Ⅰ）C

：2cos x y θ

θ

=???=??（θ为参数），l ：x

＋9＝0． 4分

（Ⅱ）设(2cos )P θθ，

则||2cos AP θ=-， P 到直线l 的距离|2cos 3sin 9|2cos 3sin 9

22

d θθθθ-+-+=

=．

由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2

θ＋cos 2

θ＝1，得3

sin 5

θ=

，4cos 5θ=-．

故8(5P -． 10分

考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化． 24．（1）{|5x x -≤或4}x ≥；（2）12k -<≤．

【解析】

试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、函数图象、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用配方过程开方，得到绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，将()()f x g x >对任意的x R ∈都成立，转化为min max ()()f x g x >，通过画分段函数图象和直线的图象，通过图形的位置关系得到结论．

试题解析：

（Ⅰ）()f x =

|3||4|x x -++， ∴()(4)f x f ≥，即|3||4|x x -++9≥， （2分）

∴4,349x x x -??---?≤≥① 或43,

349x x x -<

≥② 或3,349,x x x ??-++?≥≥③

解得不等式①：5x -≤；②：无解；③：4x ≥，

所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x -≤或4}x ≥． （5分）

（Ⅱ）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方， （6分） 可以作出21,4,

()|3||4|7,43,21,3x x f x x x x x x ---??

=-++=-<

≤≥的图象，

而()(3)g x k x =-图象为恒过定点(3,0)P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数(),y f x =()y g x =图象如图3， （8分）

其中2,PB k = (4,7)A -，∴1PA k =-，

由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，

实数k 的取值范围应该为12k -<≤． （10分） 考点：绝对值不等式的解法、函数图象、恒成立问题．