2011-2012学年度第一学期初三期中数学试题

2011-2012学年度第一学期初三期中数学试题

班 姓名 学号 得分 考查内容：判别式、旋转、相似、三角函数、二次函数

一、 选择题（本题共32分，每小题4分）

1、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是（ ）

A ．2:1

B ．

C ．1:2

D ．1:4

2．如果2=x 是一元二次方程02

=+-m x x 的解，那么m 的值是（ ）

A. 0

B. 2

C. 6

D. -2

3．将二次函数22y x =的图像先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为（ ）

A ．22(1)3y x =--

B ．22(1)3y x =-+

C ．22(1)3y x =+-

D ．22(1)3y x =++

4．函数122

+-=x ax y 和a ax y +=（a 是常数，且0≠a ）在同一直角坐标系中的图

象可能是（ ）

5．某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．

A ．216015002

=x B.2160)1(1500)1(1500

2=+++x x

C ．2160150015002

=+x x D.2160)1(1500

2=+x

6．如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把

△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B 的对应点分别为点 D 、E ，则点C 的对应点F 的坐标应为（ ）．

A . (4，2)

B . (4，4)

C . (4，5)

D . (5，4)

E D

A

C

B

7．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°， B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥， 则BAC ∠的度数是（ ）

A ．50°

B ．60°

C ． 70°

D ．40° 8．汽车匀加速行驶路程为2012s v t at =+

，匀减速行驶路程为201

2

s v t at =-，其中0v 、a 为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车，若把这一过程

中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）

（考查实际问题中二次函数及一次函数的应用）

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 二次函数y=x 2+4x+6的最小值为 .

10．二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点，则m 取值范围是 （考查二次函数图像与判别式关系及二次项系数不为0）

11．函数2

23y x =-的图象上有两点),1(m A ,(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）. 12．如图，∠DAB ＝∠CAE ，要使△ABC ∽△ADE ，则补充 的一个条件可以是 （只需写出一个正确答案即可）．

三、解答题（本题共72分）

13.（本小题5分）计算：

60sin 30cos 245tan +-．

A C

D

B

14．（本题5分）以直线1x =为对称轴的抛物线过点（3，0）,(0，3)，求此抛物线的解析式.

15．（本题5分）如图，B 是AC 上一点，AD ⊥AB,EC ⊥BC,∠DBE=90°.

求证：△ABD ∽△CEB.

16．（本题6分）如图，在ABC △中，90C =

∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，

过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．

E

D

C B

A

D

E

17．（本小题满分6分）

如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高．

18．（本小题满分6分）

如图，在8×11的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点处．（1）画出△ABC绕点Ａ顺时针方向旋转90°得到的△AB C''；

（2）求点B运动到点B′所经过的路径的长．（考查旋转与格点问题）

19．（本题6分）已知关于x 的方程04

332

=+

+m

x x . （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.

20．（本题6分）列方程解应用题

某商店销售一种食用油，已知进价为每桶40元，市场调查发现，若以每桶50元的价格 销售，平均每天可以销售90桶油，若价格每升高1元，平均每天少销售3桶油， 设每桶食用油的售价为x 元（50≥x ），商店每天销售这种食用油所获得的利润为y 元. （1）用含有x 的代数式分别表示出每桶油的利润与每天卖出食用油的桶数； （2）求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当每桶食用油的价格为55元时，可获得多少利润？

（4）当每桶食用油的价格定为多少时,该商店一天销售这种食用油获得的利润最大?

最大利润为多少?

（考查学生阅读能力及列二次函数关系式及最值）

21．（本题6分）已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将DB 绕点D

顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连结DC 、AE ． （1）求证：△ADE ≌△DFC ；

（2）过点E 作EH ∥DC 交DB 于点G ，交BC 于点H ，连结AH ．求∠AHE 的度数；

（3）若BG =

3

2

，CH =2，求BC 的长．

（考查全等、相似、旋转、等边三角形及其基本图形的应用）

22、（本题7分）对于二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠，如果当x 取任意整数时， 函数值y 都是整数，此时称该点（x ，y ）为整点，该函数的图象为整点抛物线 （例如：2

22y x x =++）．

（1）请你写出一个整点抛物线的解式 ．（不必证明）；

（2）请直接写出整点抛物线2

22y x x =++与直线4y =围成的阴影图形中

（不包括边界）所含的整点个数 ．

23．（本小题满分7分）

如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．

（1）求抛物线y1 的解析式；

（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°后，得到△AO′ B′，将抛物线y1沿对称轴平移后经过点B′，写出平移后所得的抛物线y2 的解析式；

（3）设（2）的抛物线y2与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点M在抛物线y2上，且满足△MBB1的面积是△MDD1面积的2倍，求点M的坐标．

（考查数形结合的思想、分类讨论的思想、学生解决代数

几何综合题能的能力）

24．（本题满分7分）ABC ?和DBE ?是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中ABC ∠与DBE ∠、A ∠与D ∠为对应角．

（1）如图1，若ABC ?和DBE ?分别是以ABC ∠与DBE ∠为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系；

（2）若ABC ?和DBE ?为含有30?角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；

（3）若ABC ?和DBE ?为如图3的两个三角形，且ACB ∠=α，BDE β∠=，在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

（考查学生综合运用几何知识解题能力）

30?

30?

B

C

D

E

图3

A

C

D

E

图2

图1

D C

B

A

2010-2011学年度第一学期初三期中数学试题答案

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

1C 2D 3 B 4A 5 D 6B 7C 8A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．2 10. o m m ≠>

且4

1

11. m

=2

3

2321+

?

--------------------------------------------------------------------- 3分

=1----------------------------------------------------------------------- 4分 =23

1-

（或2

32-）．------------------------------------------------------------ 5分

14．解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， (1)

分

抛物线过点（3，0）,(0，3). ∴40,3.a b a b +=??

+=? 解得1,

4.

a b =-??=? … ……………4分 ∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………………5分

15．证明：∵AD ⊥AB,EC ⊥BC ∴∠A=∠BCE=90° ……………………1分 又∵∠DBE=90°

∴∠ABD+∠EBC=90° 又∵∠E+∠EBC =90°

∴∠ABD=∠E ……………………3分 ∴△ABD ∽ △CEB ……………………5分

16．解：在ABC △中，908

6C AC BC ===

，，∠，

10AB ∴==．………………………………………1分

又6BD BC == ，

4AD AB BD ∴=-=． ………………………………………2分 DE AB ⊥ ，

90ADE C ∴== ∠∠．

又A A = ∠∠， ………………………………………3分 AED ABC ∴△∽△．………………………………………4分

DE AD

BC AC

∴

=．………………………………………5分 4

638

AD DE BC AC ∴==?= ．………………………………………6分

17．解：∵ CD ⊥AD ，EB ⊥AD ，

∴ EB ∥CD. ∴ △ABE ∽△ADC ． …………………………………………………2′

∴ AD

AB CD

EB =．

…………………………………………………3′

∵ EB=2，AB=3，AD=21， ∴

21

3

CD 2=

． …………………………………………………4′ ∴ CD=14． …………………………………………………5′ 答：此树高为14米． ………………………………………………………6′

18．（1）略 （2）2

5π

19（1）解：m c b a 4

3,3,1=

==. m m

ac b 394

3143422-=?

?-=-=?. ······················································ 1分 ∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ 039>-m . ································································································· 2分 解得 3

∴ m 的取值范围是3

（2）解：∵3

∴ 符合条件的最大整数是 2=m . ································································· 4分

此时方程为 02

3

32

=+

+x x ，

解得 22

3

14332?

?-±-=

x 2

3

3±-=

.

∴方程的根为 23

31+-=x ，2

332--=x .············································· 6分

20(本小题8分)

（1）元)40(-x ，桶240)x 3(+-或桶50)-x (390(-；………………… 2分 （2）设月销售利润为y 元，

由题意)2403)(40(+--=x x y ， …………………3分 整理，得960036032-+-=x x y …………………4分 （3）当每桶食用油的价格为55元时，1125)240553)(4055(=+?--=y

答：当每桶食用油的价格为55元时，可获得利润1125元.…………………6分 （4）960036032-+-=x x y

1200)60(32

+--=x y …………………7分 则：当60=x 时，y 的最大值为1200， …………………8分

答：当每桶食用油的价格定为60元时,该商店每天销售这种食用油获得的利润最大。 最大利润为1200元

21．（1）证明：如图9，

∵ 线段DB 顺时针旋转60°得线段DE ， ∴ ∠EDB =60°，DE =DB . ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠B =∠ACB =60°. ∴ ∠EDB =∠B . ∴ EF ∥BC . ·················································· 1分 ∴ DB =FC ，∠ADF =∠AFD =60°.

∴ DE=DB=FC ，∠ADE =∠DFC =120°，△ADF 是等边三角形. ∴ AD=DF .

∴ △ADE ≌△DFC . ····················································································· 2分

（2）由 △ADE ≌△DFC ，

得 AE =DC ，∠1=∠2. ∵ ED ∥BC ， EH ∥DC ，

∴ 四边形EHCD 是平行四边形. ∴ EH=DC ，∠3=∠4. ∴ AE=EH . ············································································································· 3分

∴ ∠AEH =∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB =60°. ∴ △AEH 是等边三角形. ∴∠AHE=60°. ······································································································ 4分

（3）设BH =x ，则AC = BC =BH ＋HC = x ＋2，

由（2）四边形EHCD 是平行四边形， ∴ ED=HC .

∴ DE=DB=HC=FC =2. ∵ EH ∥DC ，

∴ △BGH ∽△BDC . ································································································· 5分

∴ BC

BH

BD BG =

.即 2232

+=x x . 解得 1=x .

∴ BC =3. ················································································································ 6分

22．解：（1）211122y x x =

++或213122y x x =++或211

222

y x x =++等. …… 3分 （2）4． ………………………………………………………………………………5分

23．（本小题满分7分）

解：(1)已知抛物线y 1=-x 2+bx+c 经过点A(1,0)， B(0,-2)，

∴ 01b c,200 c.=-++??-=++? 解得

b 3,

c 2.=??=-?

∴ 所求抛物线的解析式为y 1=-x 2 +3x-2 ．

…………………………… 2′

（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)， ∴ OA=1,OB=2． 由旋转性质可得O ′A=OA=1，O ′B ′=OB=2．

∴ B ′ 点的坐标为 (3，-1) ． ∵ 抛物线y 1的顶点D (

32,1

4

)，且抛物线y 2 是由y 1沿对称轴平移后得到的， ∴ 可设y 2 的解析式为y 2= - (x -3

2)2 +k ．

∵ y 2经过点B′，∴ - (3 -32)2 +k= -1．解得k=5

4

．

∴ y 2= - (x -32)2 +5

4

．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B ′ 点的坐标为 (3，-1) ．

∵ 当x=3时，由y 1=-x 2 +3x-2得y=-2，可知抛物线y 1过点 (3，-2) ． ∴ 将抛物线y 1沿y 轴向上平移1个单位后过点B′．

∴ 平移后的抛物线y 2的解析式为：y 2=-x 2 +3x-1 ．…………………………… 4′ （3）∵ y 1=-x 2+3x-2 = -(x-

32)2 +14，y 2=-x 2 +3x-1= -(x-32)2 +54

， ∴ 顶点D(32,14)，D 1(32,5

4

)． ∴ DD 1=1．

又B 1(0，-2)，B 1(0，-1)，∴ BB 1=1． 设M 点坐标为(m ，n) ，

∵ BB 1=DD 1，由11MBB MDD S 2S ??=，

可知当m ≤0时，符合条件的M 点不存在；…………………………………… 5′

而当0

32时，有m=2(3

2-m)，解得m=1； 当m>32时，有m=2(m -3

2

)，解得m=3．

当m=1时，n=1； 当m=3时，n=-1．

∴ M 1(1,1)，M 2 (3,-1)．…………………………………………………………… 7′

24．解：（1）线段AD 与线段CE 的关系是 ,AD EC AD EC ⊥= . ………… 2分

（2）如图2，连接AD 、EC 并延长，设交点为点F ． ∵ABC ?∽DBE ? ，

∴AB BC

BD BE =， ∴AB BD

BC BE

=． ∵90ABC DBE ∠=∠=?， 1390∴∠+∠=?，

2390∠+∠=?．

12∴∠=∠ ．

∴ABD ?∽CBE ? ． …………………… 4分 AD AB CE BC

∴=． 在Rt ACB △中，30,tan AB

ACB ACB BC

∠=?

∠=

， 765

4321

F 30?

30?

A

B C

D E

图2

tan 303

?=

，

∴

3

AD CE =

．…………………… 5分 又90,

30,DBE DEB ∠=?∠=?

∴460∠=?，

∴56120∠+∠=?. ∵ABD ?∽CBE ?，

∴5307CEB ∠=∠=?+∠， ∴7530,61205∠=∠-?

∠=?-∠，

∴7690∠+∠=?， ∴90DFE ∠=?.

即AD CE ⊥. ………………………………………… 6分

（3）在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数不改变，且

()180AFE αβ∠=--度. ………………………………… 7分