(同步复习精讲辅导)北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的综合问题课后练习二(含解析)新人教A版必修2
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的
综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2
题1
已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2
=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．
题2
已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；
题3
过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
题4
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．
题5
已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．5条
题6
圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
题7
从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．
题8
已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．
（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
题9
若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．
A ．422≤+b a
B ． 422≥+b a
C ．41122≤+b a
D ．41122≥+b a
题10
若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围
为 ．
题11 如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．
课后练习详解
题1 答案：222<≤m ．
详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2
||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），
当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点
结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2
=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．
题2
答案：(x －2)2＋y 2
＝8． 详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0
×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，
故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．
题3
答案：2x －y ＝0．
详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．
由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1， 因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，
因此所求直线方程是2x －y ＝0．
题4
答案：（-15，-5）∪（5，15）．
详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）
故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =，
如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，
直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，
当直线介于m 、n 之间满足题意．
故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，
只需d 大于1小于3，即35|
|1< 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15 故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）． 题5 答案：C ． 详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ； Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8； 故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10； 当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条； 当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条； 故弦长为整数的弦共有4条．故选C ． 题6 答案：A ． 详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2． 由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ． 题7 答案：60°． 详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6， 在Rt△A OP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°． 题8 答案：（1）省略；（2）k =1，22． 详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4， 3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4， 所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交． （2）设圆心到直线l 的距离为d ，则 d == 又设弦长为L ，则2 222L r d =+）（， 即222221)224-4(1)322111 L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =， 所以圆被直线截得最短的弦长为22． 题9 答案：B ． 详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2， ∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当 cos sin a b αα =时等号成立）故选B ． 题10 答案：)223[+，． 详解：因为曲线212 +-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2）， 表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0）， 到直线x -y -b =0的距离为12 |2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去）， 当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3． 所以要使直线y =x -b 与曲线212 +-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，． 题11 答案：4． 详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上； 以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个． 故答案为：4． 人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式 高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题（每题3分，共54分） 1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2 =++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2 =++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ） A ．0,0<>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>>bc ab D ．0,0< 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0, )2 π θ∈时,0k ≥;(2）2 πθ= 时,k 不存在；(3）( ,)2 π θπ∈时,0k < （4)当倾斜角从0? 增加到90? 时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90? 增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+ （3）两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (４)截距式： 1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 （1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = (３）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d = 4．位置关系 (1）截距式：y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程 （1)标准形式:2 2 2 ()()x a y b R -+-=(0R >） （2)一般式:2 2 0x y Dx Ey F ++++=(22 40D E F +->） （3)参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 （１）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断. （3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交． 1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2 若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 4 已知直线22 1 :1+= x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5 3 31+= x y C ．73+-=x y D ．73+=x y 5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ） A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．左下方 6 直线0943=--y x 与圆42 2 =+y x 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心 7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12 2 =+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是( ) A ．2 3- B ．3 2- C ． 5 2 D ．2 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) A ． 2 5 B ．5 C ． 2 3 D ． 2 5 10 下列命题中，正确的是( ) A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内 B ．点)0,0(在区域01<++y x 内 C ．点)0,1(在区域x y 2>内 D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内 11 由点)3,1(P 引圆92 2 =+y x 的切线的长是 ( ) A ．2 B ．19 C ．1 D ．4 12 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( ) 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-, 1. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。 （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m， =20-4m＞0，解得：m＜5。 （Ⅱ）， 将x=4-2y代入得，∴，， ∵OM⊥ON，得出：， ∴， ∴。 （Ⅲ）设圆心为（a，b），， 半径， ∴圆的方程为。 法 2. 2. 已知圆C方程为x2+y2-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何 圆C恒有两个公共点。 2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值 1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内 所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点 2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)， AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4 3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点； （Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度． 数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____ 例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=< 高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 高中数学必修二直线与 圆方面的知识点范文 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 高中数学必修2知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 高二数学第 3 讲直线与圆综合 22 1. 已知圆C：x +y +2x-3=0 ． （1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长； （2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆 C 相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 1 1 x1 x2为定值； （3）斜率为 1 的直线m 与圆C相交于D、E两点，求直线m 的方程，使△CDE的面积最大． 2. 已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C1相交于E、F 两点，线段EF 的中点为C． （1）求点C的轨迹C2 的方程； （2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0 的交点为N，求证|AM|?|AN| 为定值． 3. 已知点C(1，0)，点A，B 是⊙ O：x2+y2=9 上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设M为弦AB的 中点．求点M的轨迹T 的方程； 4.已知平面直角坐标系上一动点P(x, y)到点A( 2,0) 的距离是点P 到点B(1,0) 的距离的2倍。 (1)求点P 的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点(2,1) 对称，点C(3,0) ，求|QA|2 |QC |2的最大值和最小值； (3)过点A的直线l 与点P的轨迹C 相交于E,F 两点，点M (2,0) ，则是否存在直线l ，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。 22 5.已知圆O: x2 y2 4和点M （1,a）． （1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a 2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直． ①求四边形ABCD 面积的最大值；②求| AC | | BD |的最大值． 22 6. 已知过原点的动直线l 与圆C1：x +y -6x+5=0 相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1 的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出不 k 的取值范围；若存在，说明理由． 1．直线的斜率 倾斜角：0180≤α?注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零． 3．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=； ⑴相交：12210A B A B -≠ ⑵平行：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ⑶重合：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑷垂直：12120A A B B += 4．点到直线的距离公式 ⑴点00()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离：002 2 Ax By C d A B ++= +， ⑵两条平行线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离：122 2 C C d A B -=+． 知识点睛 11.1直线 直线与圆 第4讲巧解盈亏应用题 方法和技巧 分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。 常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛 【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。问：小波家和体育馆相距多少米？ 分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。 每分钟50米少150米 ？分钟每分钟 每分钟65米多195米 比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚ ＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。 做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成： 如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。 每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚ 猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只） 猴子总数为5×24＋32＝152﹙个） 答：猴山有猴24只，共买来152个桃。 做一做2 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。求人数和树苗的总数各是多少？ B级更上层楼 【例3】某中学买了一批英文打字机，分给高中三年级各班。其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果有一个班分7台，其余各班分5台，则还差12台。问：学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班？ 高中数学必修２知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<18０° (2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
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