平面解析几何初步一轮复习 (有答案)
第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程
1.倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的范围为________.
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时,该直线的斜率即k =tanα;当直线的倾斜角等于90°时,直线的斜率不存在.
2.过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 .若x 1=x 2,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°. 3.例1. 已知直线(2m 2+m -3)x +(m 2-m)y =4m -1.① 当m = 时,直线的倾斜角为45°.②当m = 时,直线在x 轴上的截距为1.③ 当m = 时,直线在y 轴上的截距为-2
3.④
当m = 时,直线与x 轴平行.⑤当m = 时,直线过原点. 解:(1) -1 ⑵ 2或-2
1
⑶
31或-2 ⑷-23
⑸ 4
1
变式训练1.(1)直线3y + 3 x +2=0的倾斜角是 ( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150° (2)设直线的斜率k=2,P 1(3,5),P 2(x 2,7),P (-1,y 3)是直线上的三点,则x 2,y 3依次是 ( )
A .-3,4
B .2,-3
C .4,-3
D .4,3
(3)直线l 1与l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是-7 ,则l 2的斜率是 ( )
A .7
B
C
D .-7 (4)直线l 经过两点(1,-2),(-3,4),则该直线的方程是 .
解:(1)D .提示:直线的斜率即倾斜角的正切值是-3
. (2)C .提示:用斜率计算公式
12
12
y y x x --. (3)A .提示:两直线的斜率互为相反数.
(4)2y +3x +1=0.提示:用直线方程的两点式或点斜式
例2. 已知三点A (1,-1),B (3,3),C (4,5).
求证:A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5),
∴k AB =
1
313-+=2,k BC =343
5--=2,∴k AB =k BC ,
∴A 、B 、C 三点共线.
方法二 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5),
∴|AB|=25,|BC|=5,|AC|=35,
∴|AB|+|BC|=|AC|,即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5), ∴AB =(2,4),BC =(1,2),∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ,∴A 、B 、C 三点共线.
变式训练2. 设a ,b ,c 是互不相等的三个实数,如果A (a ,a 3)、B (b ,b 3)、C (c ,c 3)在同一直线上,求证:a+b+c=0.
证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB =k AC ,
∴c
a c a
b a b a --=--3
333,化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2,
∴b 2-c 2+ab-ac=0,(b-c )(a+b+c )=0, ∵a 、b 、c 互不相等,∴b-c≠0,∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求:
2
3
++x y 的最大值与最小值. 解: 由
2
3
++x y 的几何意义可知,它表示经过定点P (-2,-3)与曲线段AB 上任一点(x,y)的直线的斜率k,如图可知:k PA ≤k≤k PB ,
由已知可得:A (1,1),B (-1,5), ∴3
4≤k≤8, 故
23++x y 的最大值为8,最小值为3
4
.
变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3,那么x
y
的最大值为 ( )
A.2
1
B.
3
3 C.
2
3
D.3
答案D
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y =4x ,过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点,与x 轴正半轴交于点M .求使△OQM 面积最小的直线l 的方程. 解:Q 点在l 1: y =4x 上,可设Q(x 0,4x 0),则PQ 的方程为:6
6
44400--=--x x x y 令y =0,得:x =
1500-x x (x 0>1),∴ M(1
500-x x
,0)
∴ S △OQM =2
1·
1500-x x ·4x 0=10·1
02
0-x x =10·[(x 0-1)+1
1
0-x +2]≥40 当且仅当x 0-1=1
1
0-x 即x 0=2取等号,∴Q(2,8) PQ 的方程为:
6
26
484--=--x y ,∴x +y -10=0
变式训练4.直线l 过点M(2,1),且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ,O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当MB MA ?取最小值时,求直线l 的方程. 解:设l :y -1=k(x -2)(k <0) 则A(2-
k
1
,0),B(0,1-2k) ①由S =21(1-2k)(2-
k 1)=2
1(4-4k -k 1) ≥
2
1???
?
????-?-+)1()4(24k k =4
当且仅当-4k =-
k 1,即k =-2
1
时等号成立 ∴△AOB 的面积最小值为4
此时l 的方程是x +2y -4=0 ②∵|MA|·|MB|=224411
k k
+?+ =
||)1(22k k +=2??
?
???-+-)()1(k k ≥4 当且仅当-k =-
k
1
即k =-1时等号成立 此时l 的方程为x +y -3=0
(本题也可以先设截距式方程求解)
1.直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式,由斜率公式可导出直线方程的五种形式.这五种形式各有特点又相互联系,解题时具体选取哪一种形式,要根据直线的特点而定.
2.待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一,用此方法求直线方程,要注意所设方程的适用范围.如:点斜式、斜截式中首先要存在斜率,截距式中横纵截距存在且不为0,两点式的横纵坐标不能相同等(变形后除处).
3.在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.
4.在运用待定数法设出直线的斜率时,就是一种默认斜率存在,若有不存在的情况时,就会出现解题漏洞,此时就要补救:较好的方法是看图,数形结合来找差距.
第2课时 直线与直线的位置关系
(一)平面内两条直线的位置关系有三种________.
1.当直线不平行坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定
2.当直线平行于坐标轴时,可结合图形判定其位置关系. (二)点到直线的距离、直线与直线的距离
1.P(x 0,y 0)到直线Ax +By +C =0 的距离为______________.
2.直线l 1∥l 2,且其方程分别为:l 1:Ax +By +C 1=0 l 2:Ax +By +C 2=0,则l 1与l 2的距离为 .
(三)两条直线的交角公式
若直线l 1的斜率为k 1,l 2的斜率为k 2,则 1.直线l 1到l 2的角θ满足 .
2.直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足 .
(四)两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.
(五)五种常用的直线系方程.
① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(不含l 2). ② 与直线y =kx +b 平行的直线系方程为y =kx +m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y -y 0=k(x -x 0)及x =x 0.
④ 与Ax +By +C =0平行的直线系方程设为Ax +By +m =0 (m≠C). ⑤ 与Ax +By +C =0垂直的直线系方程设为Bx -Ay +C 1=0 (AB≠0). 例1. 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, (1)试判断l 1与l 2是否平行; (2)l 1⊥l 2时,求a 的值.
解(1)方法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2; 当a=0时,l 1:y=-3,
l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为 l 1:y=-x a 2
-3,l 2:y=
x a
-11
-(a+1),
l 1∥l 2???
???+-≠--=-)1(3112a a a
,解得a=-1, 综上可知,a=-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行.
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0,得a (a-1)-1×2=0, 由A 1C 2-A 2C 1≠0,得a(a 2-1)-1×6≠0,
∴l 1∥l 2?????
?≠?--=?--0
61)1(021)1(2
a a a a
???
???≠-=--6)1(0
222a a a a ?a=-1,
故当a=-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0, l 1与l 2不垂直,故a=1不成立.
当a≠1时,l 1:y=-2
a
x-3, l 2:y=
x a
-11
-(a+1), 由
???
??-2a ·
a
-11=-1?a=32.
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0,得a+2(a-1)=0?a=3
2.
变式训练1.若直线l 1:ax+4y-20=0,l 2:x+ay-b=0,当a 、b 满足什么条件时,直线l 1与l 2分别
相交?平行?垂直?重合?
解:当a=0时,直线l 1斜率为0,l 2斜率不存在,两直线显然垂直。
当a≠0时,分别将两直线均化为斜截式方程为:l 1:y= - a 4x+5,l 2:y= - 1a x+ b
a 。
(1)当- a 4 ≠ - 1
a
,即a≠±2时,两直线相交。
(2)当- a 4 = - 1a 且5≠ b
a 时,即a=2且b≠10或a= -2且b≠-10时,两直线平行。
(3)由于方程(- a 4)(- 1
a
)= -1无解,故仅当a=0时,两直线垂直。
(4)当- a 4 =- 1a 且5= b
a 时,即a=2且b=10或a= -2且b=-10时,两直线重合
例2. 已知直线l 经过两条直线l 1:x +2y =0与l 2:3x -4y -10=0的交点,且与直线l 3:5x -2y +3=0的夹角为4
π,求直线l 的方程.
解:由??
?=--=+0
104302y x y x 解得l 1和l 2的交点坐标为(2,-1),因为直线l 3的斜率为k 3=25
,l 与l 3
的夹角为
4
π
,所以直线l 的斜率存在. 设所求直线l 的方程为y +1=k(x -2).
则tan
4π=3
31kk k k +-=
k k 2
5125
+-=1 ?
k =7
3或k =-3
7,故所求直线l 的方程为y +1=-3
7(x -2)或y +1=7
3(x -2)即7x +3y +
11=0或3x -7y -13=0
变式训练2. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l ,且点P 在直线l 上,l 与水平地面的夹角为α,tan α=2
1
.试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)?
解 如图所示,建立平面直角坐标系,
则A (200,0),B (0,220),C (0,300). 直线l 的方程为y=(x-200)tan α,则y=2
200
-x
.
设点P 的坐标为(x,y ),则P (x, 2
200
-x )(x >
200).
由经过两点的直线的斜率公式
k PC =x
x x x 2800300
2200
-=--
,
k PB =x
x x x 2640220
2200
-=
--
.
由直线PC 到直线PB
的角的公式得
tan ∠BPC=
x
x x x x k k k k PC
PB PC
PB 2640·
280012160
·1--+=+- =
288
64016064
64016028864-?+=
?+-2
x
x x x x (x >200).
要使tan ∠BPC 达到最大,只需x+x
640
160?-288达到最小,由均值不等式
x+
x
640
160?-288≥2640160?
-288,
当且仅当x=
x
640
160?时上式取得等号
.
故当x=320时,tan ∠BPC 最大. 这时,点P 的纵坐标y 为y=
2
200
320-=60.
由此实际问题知0<∠BPC <
2
π
,所以tan ∠BPC 最大时,∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角∠BPC 最大.
例3. 直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若A 、B 坐标分别为A(-4,2)、B(3,1),求点C 的坐标并判断△ABC 的形状.
解:因为直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线,所以CA 、CB 所在直线关于y =2x 对称,而A(-4, 2)关于直线y =2x 对称点A 1必在CB 边所在直线上 设A 1(x 1,y 1)则
?????
?
?-?=+-=?---2422
212)4(2
1111x y x y 得?
?
?-==24
11y x 即A 1(4, -2)
由A 1(4, -2),B(3, 1)求得CB 边所在直线的方程为:3x +y -10=0 又由?
?
?=-+=01032y x x
y
解得C(2, 4)
又可求得:k BC =-3,k AC =3
1
∴k BC ·k AC =-1,即△ABC 是直角三角形
变式训练3.三条直线l 1:x+y+a=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:ax+y+1=0能构成三角形,求实数a 的取值范围。
解:a ∈R 且a≠±1,a≠-2(提示:因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共点,即任意两条直线都不平行且三线不共点。
(1)若l 1、l 2、l 3相交于同一点,则l 1与l 2的交点(-a-1,1)在直线l 3上,于是a(-a-1)+1+1=0,此时a=1或a= -2。
(2)若l 1∥l 2,则-1 = - 1
a ,a=1。
(3)若l 1∥l 3,则-1 = - a ,a=1。 (4)若l 2∥l 3,则- 1
a
= -a ,a= ±1。)
例4. 设点A(-3,5)和B(2,15),在直线l :3x -4y +4=0上找一点p ,使PB PA +为最小,并求出这个最小值.
解:设点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(a ,b),则由AA′⊥l 和AA′被l 平分,
则???
????=++?--?-=?+-0425423314
3
35b a a b 解之得a =3,b =-3,∴A′=(3,-3).∴(|PA|+|PB|)min =|A′B|=513
∵k A′B =
3
23
15-+=-18 ∴A′B 的方程为y +3=-18(x -3) 解方程组??
?--=+=+-)
3(1830443x y y x 得P(38
,3)
变式训练4:已知过点A (1,1)且斜率为-m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点,
过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线,垂足分别为R 、S ,求四边形PRSQ 的面积的最小值. 解:设l 的方程为y -1=-m(x -1), 则P (1+
m
1
,0),Q (0,1+m ) 从则直线PR :x -2y -
m
m 1
+=0; 直线QS :x -2y +2(m +1)=0 又PR ∥QS ∴ | RS |=
5
|1122|m m +
++=5
123m m ++
又| PR |=
5
2
2m +
,| QS |=51+m
而四边形PRSQ 为直角梯形, ∴ S PRSQ =2
1×(51522+++
m m )×5
1
23m m +
+
=5
1
(m +
m 1+49)2-801≥51(2+4
9
)2-801 =3.6
∴ 四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.
1.处理两直线位置关系的有关问题时,要注意其满足的条件.如两直线垂直时,有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直.
2.注意数形结合,依据条件画出图形,充分利用平面图形的性质和图形的直观性,有助于问题的解决.
3.利用直线系方程可少走弯路,使一些问题得到简捷的解法.
4.解决对称问题中,若是成中心点对称的,关键是运用中点公式,而对于轴对称问题,一般是转化为求对称点,其关键抓住两点:一是对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,如例4
第3课时 线性规划
1.二元一次不等式表示的平面区域.
⑴ 一般地,二元一次不等式Ax +By +C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线,不等式Ax +By +C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线.
⑵ 对于直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax +By +C 的值符号相同.因此,如果直线Ax +By +C =0一侧的点使Ax +By +C>0,另一侧的点就使Ax +By +C<0,所以判定不等式Ax +By +C>0(或Ax +By +C<0)所表示的平面区域时,只要在直线Ax +By +C =0的一侧任意取一点(x 0,y 0),将它的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式,不等式就表示该点所在一侧的平面区域;如果不满足不等式,就表示这个点所在区域的另一侧平面区域. ⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划 ⑴ 基本概念 ① 设出所求的未知数;② 列出约束条件(即不等式组);③ 建立目标函数;④ 作出可行域和目标函数的等值线;⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线,求出最优解.(有些实际问题应注意其整解性) 例1. 若△ABC 的三个顶点为A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC 区域(含边界)表示的二元一次不等式组.
解:由两点式得AB 、BC 、CA 直线的方程并化简得AB :x +2y -1=0,BC :x -y +2=0,CA :2x +y -5=0
结合区域图易得不等式组为??
???≤-+≥+-≥-+052020
12y x y x y x
变式训练1: △ABC 的三个顶点为A(2,4)、B(-1,2)、C(1,0),则△ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 .
??
?
??≥-+≤--≥+-010440832y x y x y x
例2. 已知x 、y 满足约束条件 ??
??
?≥+
+≤-+≤--010401170
2357y x y x y x 分别求: ⑴
z =2x +y
⑵ z =4x -3y
⑶ z =
x 2+y 2的最大值、最小值?
解:其中A(4,1), B(-1,-6), C(-3,2)
(1) 作与直线2x +y =0平行的直线l 1:2x +y =t ,则当l 1经过点A 时,t 取最大,l 1经过点B 时,t 取最小.
∴z max =9 z min =-13
(2) 作与直线4x -3y =0平行的直线l 2:4x -3y =t ,则当l 2过点C 时,t 最小,l 2过点B 时,t 最大.
∴z max =14 z min =-18
(3) 由z =x 2+y 2,则z 表示点(x ,y)到(0,0)的距离,结合不等式组表示的区域.知点B 到原点的距离最大,当(x ,y)为原点时距离为0.∴z max =37 z min =0 变式训练2:给出平面区域如下图所示,目标函数t =ax -y ,
(1) 若在区域上有无穷多个点(x ,y)可使目标函数t 取得最小值,求此时a 的值. (2) 若当且仅当x =3
2,y =5
4时,目标函数t 取得最小值,求实数a 的取值范围?
解:(1)由t =ax -y 得y =ax -t 要使t 取得最小时的(x ,y)有无穷多个, 则y =ax -t 与AC 重合.
∴a =k AC =13
20
54--=-512
(2)由K AC < a< K BC 得-
512< a<-10
3. 例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种72立方米,第二种有56
立方米,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米,第二种木料0.08立方米,可获利润6元,生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米,第二种0.28立方米,可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多?
解:设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ,所获利润为z ,则:
?????
?
?≥≥≤+≤+0
056
28.008.07209.018.0y x y x y x 即 ???
????
≥≥≤+≤+0
01400728002y x y x y x
则z =6x +10y 作出可行域如图. 由?
?
?=+=+140072800
2y x y x
x )
得 ?
?
?==100350
y x 即M(350,100)
由图可知,当直线l :6x +10y =0平移到经过点M(350,100)时,z =6x +10y 最大,即当x =350,y =100时,,z =6x +10y 最大.
变式训练3:某厂要生产甲种产品45个,乙种产品55个,可用原料为A 、B 两种规格的金属板,每张面积分别为2m 2和3m 2,用A 种可造甲种产品3个和乙种产品5个,用B 种可造甲、乙两种产品各6个.问A 、B 两种产品各取多少块可保证完成任务,且使总的用料(面积)最小. 解:设A 种取x 块,B 种取y 块,总用料为z m 2,则
??
?≥+≥+55
6545
63y x y x z =2x +3y (x 、y ∈N) 可行域如图:
最优解为A(5,5),x =5,y
min ,即A 、B 两种各取5块时可保证完成任务,且总的用料
(面积)最省为25m 2.
例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子,希望桌子的总数尽可能的多,但解:椅子的总数不能少于桌子的总数,但不多于桌子数的1.5倍,问桌椅各买多少才合适? 设桌椅分别买x 、y 张,由题意得:
?????
??
??≤+≤≤≥≥2000
20505.100y x x
y y
x y x 由 ???=+=20002050y x y x 解得:??????
?
==7200
7200y x ∴ 点A(7200,7200) 由???=+=200020505.1y x x y 解得??
??
?==27525y x ∴ 点B(25,
2
75
) 满足以上不等式组表示的区域是以A 、B 、O 为顶点的△AOB 及内部设x +y =z ,即y =-x +z ;当直线过点B 时,即x =25,y =
2
75
,z 最大.∵ y ∈z ,∴y =37 ∴买桌子25张,椅子37张是最优选择.
变式训练4:A 1、A 2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨,需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B 1、B 2两车站外运,用汽车将煤运到车站,A 1的煤运到B 1、B 2的运费分别为3元/吨和5元/吨,A 2的煤运到B 1、B 2的运费分别为7元/吨和8元/吨,问如何设计调运方案可使总运费最少?
解:设A 1运到B 1 x 万吨,A 2运到B 1 y 万吨,总运费为z 万元,则A 1运到B 2(8-x)万吨,A 2运到B 2(18-y)万吨,z =3x +5(8-x)+7y +8(18-y) =184-2x -y ,x 、y 满足
?????
?
?≤≤≤≤≤-+-≤+18
08016
)18()8(20y x y x y x 可行域如图阴影部分.
当x =8时,y =12时,z min =156
即A 1的8万吨煤全运到B 1,A 2运到12万吨运到B 1,剩余6万吨运到B 2,这时总运费最少为156万元.
1.二元一次不等式或不等式组表示的平面区域:① 直线确定边界;② 特殊点确定区域. 2.线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现,是一种求最值的方法. 3.把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点,求解关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解.而在考虑约束条件时,除数学概念的条件约束外,还要深入其境、考虑实际意义的约束.
4.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图尽可能精确,图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时,要逐一检查
第4课时 曲线与方程
1.直接法求轨迹的一般步骤:建系设标,列式表标,化简作答(除杂).
2.求曲线轨迹方程,常用的方法有:直接法、定义法、代入法(相关点法、转移法)、参数法、交轨法等. 例1. 如图所示,过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ,l 2交y 轴于B ,求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 :设点M 的坐标为(x,y ), ∵M 是线段AB 的中点, ∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y ). ∴=(2x-2,-4),PB =(-2,2y-4).
由已知·PB =0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即x+2y-5=0.
∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.
变式训练1:已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN ||MP |+
·
NP =0,求动点P (x ,y )的轨迹方程. 解 由题意:=(4,0),MP =(x+2,y ),
NP =(x-2,y ),
∵|||MP |+·
NP =0, ∴2
2
04+·2
2
)2(y x +++(x-2)·4+y·0=0,
两边平方,化简得y 2=-8x.
例2. 在△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B ??
?
??-0,2
a
,C ??
?
??0,2
a 且满足条件sinC-sinB=2
1sinA,
则动点A 的轨迹方程是
( ) A.2
2
22151616a y a x -=1 (y≠0)
B.22
2231616a
x a y -=1 (x≠0)
C.2
2
22151616a y a x -=1(y≠0)的左支
D.22
2231616a
y a x -=1(y≠0)的右支
答案D
变式训练2:已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.
解 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ,根据两圆外切的充要条件,
得
|MC 1|-|AC 1|=|MA|,
|MC 2|-|BC 2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,
所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.
这表明动点M 到两定点C 2,C 1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义,动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大,到C 1的距离小),这里a=1,c=3,则b 2=8,设点M 的坐标为(x,y ),其轨迹方程为x 2-8
2
y =1 (x≤-1). 例3. 如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点, 且满足∠APB=90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
解 设AB 的中点为R ,坐标为(x 1,y 1),Q 点坐标为(x ,y ), 则在Rt △ABP 中, |AR|=|PR|,
又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理有
Rt △OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(2
1
2
1
y x +).
又|AR|=|PR|=2
1
2
1
)4(y x +-,
所以有(x 1-4)2+2
1
y =36-(2
1
2
1
y x +).
即2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0.
因为R 为PQ 的中点,
所以x 1=
24
+x ,y 1=2
0+y .
代入方程2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0,得
42242
2
-??
?
??+??? ??+y x ·24+x -10=0.
整理得x 2+y 2=56.
这就是Q 点的轨迹方程.
变式训练3:设F (1,0),M 点在x 轴上,P 点在y 轴上,且=2MP ,PM ⊥PF ,当点P
在y 轴上运动时,求点N 的轨迹方程.
解 设M (x 0,0),P (0,y 0),N (x ,y ),
由=2MP 得(x-x 0,y )=2(-x 0,y 0),
∴,22000???=-=-y y x x x 即.2100??
???=-=y y x x
∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0),
∴(x 0,-y 0)·(1,-y 0)=0,∴x 0+20
y =0.
∴-x+2
y =0,即y 2=4x.故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x.
1.直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件,找出动点满足的等量关系,这个等量关系有的可直接利用已知条件,有的需要转化后才能用.
2.回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径.
3.所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动,常用代入法求轨迹.
第5课时 圆的方程
1. 圆心为C(a 、b),半径为r 的圆的标准方程为_________________.
2.圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F>0),圆心为 ,半径r = .
3.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的方程的充要条件是 .
4.圆C :(x -a)2+(y -b)2=r 2的参数方程为_________.x 2+y 2=r 2的参数方程为________________.
5.过两圆的公共点的圆系方程:设⊙C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,⊙C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,则经过两圆公共点的圆系方程为 . 例1. 根据下列条件,求圆的方程.
(1) 经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x +10y +9=0上. (2) 经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x 轴上截得的弦长为6. 解:(1)∵AB 的中垂线方程为3x +2y -15=0 由??
?=++=-+0910301523y x y x 解得 ?
??-==37
y x
∴圆心为C(7,-3),半径r =65
故所求圆的方程为(x -7)2+(y +3)2=65
(2)设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 将P 、Q 两点坐标代入得
?
?
?-=+-=--②F E D ①
F E D 1032042 令y =0得x 2+Dx +F =0
由弦长|x 1-x 2|=6得D 2-4F =36 ③
解①②③可得D =-2,E =-4,F =-8或D =-6,E =-8,F =0 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0 变式训练1:求过点A (2,-3),B (-2,-5),且圆心在直线x -2y -3=0上的圆的方程. 由A (2,-3),B (-2,-5),得直线AB 的斜率为k AB =
-5-(-3)-2-2
= 1
2 ,
线段AB 的中点为(0,-4),线段AB 的中垂线方程为y +4=-2x,即y +2x +4=0,
解方程组240230x y x y ++=??--=?得1
2x y =-??=-?
∴圆心为(-1,-2),根据两点间的距离公式,得半径r=(2+1)2+(-3+2)2 =10
所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10
例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x 2+y 2+x-6y+m=0,
得5y 2-20y+12+m=0.
设P (x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件: y 1+y 2=4,y 1y 2=
.5
12m
+
∵OP ⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.
而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.
∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.
∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为???
??-32
1,
,半径r=2
5.
方法二 如图所示,设弦PQ 中点为M ,
∵O 1M ⊥PQ ,∴21=M
O k .
∴O 1M 的方程为:y-3=2??
? ?
?
+21x ,
即:y=2x+4.
由方程组.
324
2??
?=-++=y x x y
解得M 的坐标为(-1,2).
则以PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r 2.
∵OP ⊥OQ ,∴点O 在以PQ 为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r 2,即r 2=5,MQ 2=r 2.
在Rt △O 1MQ 中,O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.
∴+???
??+-2
121(3-2)2+5=
44)6(12m --+
∴m=3.∴半径为2
5,圆心为??
?
??-3,21.
方法三 设过P 、Q 的圆系方程为 x 2+y 2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.
由OP ⊥OQ 知,点O (0,0)在圆上.
∴m-3λ=0,即m=3λ. ∴圆的方程可化为
x 2+y 2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0
即x 2+(1+λ)x+y 2+2(λ-3)y=0. ∴圆心M ??
?
??-+-2)3(221λλ,,又圆在PQ 上.
∴-2
1λ
++2(3-λ)-3=0, ∴λ=1,∴m=3.
∴圆心为??
?
??-3,21,半径为2
5.
变式训练2:已知圆C :(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交;
(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
(1)证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m 取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立,解得交点为(3,1), 又有(3-1)2+(1-2)2=5<25, ∴点(3,1)在圆内部,
∴不论m 为何实数,直线l 与圆恒相交.
(2)解 从(1)的结论和直线l 过定点M (3,1)且与过此点的圆C 的半径垂直时,l 被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得
|AB|=22
2
CM r -=.54])21()13(
[2522
2
=-+--
此时,k t =-
CM
k 1,从而k t =-3
1121
--=2.
∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P (x ,y )是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.
(1)求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;
(2)求x-2y 的最大值和最小值;
(3)求
1
2
--x y 的最大值和最小值.
解 (1)圆心C (-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为
d=
5
64
312
04)2(32
2
=
++?+-?.
∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r=5
6+1=
511,最小值为d-r=56-1=5
1.
(2)设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y 2=1有公共点.
∴
2
2
2
12+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2,
∴t max =5-2,t min =-2-5.
(3)设k=
1
2
--x y ,
则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y 2=1有公共点,
∴
1
232
++-k k ≤1.∴
433-≤k≤4
3
3+,
∴k max =
433+,k min =4
33-.
变式训练3:已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. (1)求y-x 的最大值和最小值;
(2)求x 2+y 2的最大值和最小值.
解 (1)y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距,当直线y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得
最大值或最小值,此时
,32
02=+-b
,解得b=-2±6.
所以y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6.
(2)x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2
2
)00()02(-+
-=2, 所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43, x 2
+y 2
的最小值是(2-3)2
=7-43.
例4. 设圆满足:①截y 轴所得的弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在
满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一设圆的圆心为P (a,b),半径为r ,则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。 由题设条件知圆P 截x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90°,圆P 截x 轴所得的弦长为 2 r ,故r 2=2b 2.
又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有r 2=a 2+1,从而得2b 2=a 2+1.
点P 到直线x -2y=0的距离为∴5d 2=(a -2b)2=a 2+4b 2-4ab= 2a 2+2b 2-4ab +1=2(a -b)2+1≥1 当且仅当a=b 时取等号,此时,5d 2=1, d 取得最小值.
由a=b 及2b 2=a 2+1得11
11
a a
b b ==-????==-??或,进而得r 2=2 所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2
解法二同解法一,得a -2b= ±5 d
a 2=4
b 2±4 5 bd +5d 2,将a 2=2b 2-1代入整理得2b 2±4 5 bd +5d 2+1=0 (※) 把(※)看成关于b 的二次方程,由于方程有实数根,故△≥0即 8(5d 2-1)≥0, 5d 2≥1可见5d 2有最小值1,从而d 有最小值
5
5
,将其代入(※)式得2b 2±4b +2=0, b= ±1, r 2=2b 2=2, a 2=2b 2-1=1, a= ±1 由∣a -2b ∣=1知a 、b 同号
故所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2
变式训练4:如图,图O 1和圆O 2的半径都等于1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点),使得PM =2PN ,试建立平面直角坐标系,并求动点P 的轨迹方程.
解:以O 1、O 2的中点为原点,O 1O 2所在的直线为x 轴, 建立平面直角坐标系,则O
1(-2, 0)、O 2(2, 0).如图:
由PM =2PN 得PM 2=2PN 2
∴ PO 12-1=2(PO 22-1),设P(x ,y) ∴ (x +2)2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]
即(x -6)2+y 2=33为所求点P 的轨迹方程. 1.本节主要复习了圆的轨迹方程,要明确:必须具备三个独立条件,才能确定一个圆的方程. 2.求圆的方程时一般用待定系数法:若已知条件与圆心、半径有关,可先由已知条件求出圆的半径,用标准方程求解;
若条件涉及过几点,往往可考虑用一般方程;
若所求的圆过两已知圆的交点,则一般用圆系方程.
3.求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算. 4.运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便.
5.点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)
1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示 任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ) . 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示 过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的 倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. (3)指出此时直线的方向向量:),(A B -,),(A B -,) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ (单位向量); 直线的法向量:),(B A ;(与直线垂直的向量) (6)参数式:?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数)其中方向向量为),(b a ,) ,(2222b a b b a a ++; a b k = ; 22||||b a t PP o += ;
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则