平面解析几何初步一轮复习 (有答案)

平面解析几何初步一轮复习 (有答案)
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第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程

1.倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的范围为________.

斜率:当直线的倾斜角α≠90°时,该直线的斜率即k =tanα;当直线的倾斜角等于90°时,直线的斜率不存在.

2.过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 .若x 1=x 2,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°. 3.例1. 已知直线(2m 2+m -3)x +(m 2-m)y =4m -1.① 当m = 时,直线的倾斜角为45°.②当m = 时,直线在x 轴上的截距为1.③ 当m = 时,直线在y 轴上的截距为-2

3.④

当m = 时,直线与x 轴平行.⑤当m = 时,直线过原点. 解:(1) -1 ⑵ 2或-2

1

31或-2 ⑷-23

⑸ 4

1

变式训练1.(1)直线3y + 3 x +2=0的倾斜角是 ( )

A .30°

B .60°

C .120°

D .150° (2)设直线的斜率k=2,P 1(3,5),P 2(x 2,7),P (-1,y 3)是直线上的三点,则x 2,y 3依次是 ( )

A .-3,4

B .2,-3

C .4,-3

D .4,3

(3)直线l 1与l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是-7 ,则l 2的斜率是 ( )

A .7

B

C

D .-7 (4)直线l 经过两点(1,-2),(-3,4),则该直线的方程是 .

解:(1)D .提示:直线的斜率即倾斜角的正切值是-3

. (2)C .提示:用斜率计算公式

12

12

y y x x --. (3)A .提示:两直线的斜率互为相反数.

(4)2y +3x +1=0.提示:用直线方程的两点式或点斜式

例2. 已知三点A (1,-1),B (3,3),C (4,5).

求证:A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5),

∴k AB =

1

313-+=2,k BC =343

5--=2,∴k AB =k BC ,

∴A 、B 、C 三点共线.

方法二 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5),

∴|AB|=25,|BC|=5,|AC|=35,

∴|AB|+|BC|=|AC|,即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A (1,-1),B (3,3),C (4,5), ∴AB =(2,4),BC =(1,2),∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ,∴A 、B 、C 三点共线.

变式训练2. 设a ,b ,c 是互不相等的三个实数,如果A (a ,a 3)、B (b ,b 3)、C (c ,c 3)在同一直线上,求证:a+b+c=0.

证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB =k AC ,

∴c

a c a

b a b a --=--3

333,化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2,

∴b 2-c 2+ab-ac=0,(b-c )(a+b+c )=0, ∵a 、b 、c 互不相等,∴b-c≠0,∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求:

2

3

++x y 的最大值与最小值. 解: 由

2

3

++x y 的几何意义可知,它表示经过定点P (-2,-3)与曲线段AB 上任一点(x,y)的直线的斜率k,如图可知:k PA ≤k≤k PB ,

由已知可得:A (1,1),B (-1,5), ∴3

4≤k≤8, 故

23++x y 的最大值为8,最小值为3

4

.

变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3,那么x

y

的最大值为 ( )

A.2

1

B.

3

3 C.

2

3

D.3

答案D

例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y =4x ,过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点,与x 轴正半轴交于点M .求使△OQM 面积最小的直线l 的方程. 解:Q 点在l 1: y =4x 上,可设Q(x 0,4x 0),则PQ 的方程为:6

6

44400--=--x x x y 令y =0,得:x =

1500-x x (x 0>1),∴ M(1

500-x x

,0)

∴ S △OQM =2

1500-x x ·4x 0=10·1

02

0-x x =10·[(x 0-1)+1

1

0-x +2]≥40 当且仅当x 0-1=1

1

0-x 即x 0=2取等号,∴Q(2,8) PQ 的方程为:

6

26

484--=--x y ,∴x +y -10=0

变式训练4.直线l 过点M(2,1),且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ,O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当MB MA ?取最小值时,求直线l 的方程. 解:设l :y -1=k(x -2)(k <0) 则A(2-

k

1

,0),B(0,1-2k) ①由S =21(1-2k)(2-

k 1)=2

1(4-4k -k 1) ≥

2

1???

?

????-?-+)1()4(24k k =4

当且仅当-4k =-

k 1,即k =-2

1

时等号成立 ∴△AOB 的面积最小值为4

此时l 的方程是x +2y -4=0 ②∵|MA|·|MB|=224411

k k

+?+ =

||)1(22k k +=2??

?

???-+-)()1(k k ≥4 当且仅当-k =-

k

1

即k =-1时等号成立 此时l 的方程为x +y -3=0

(本题也可以先设截距式方程求解)

1.直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式,由斜率公式可导出直线方程的五种形式.这五种形式各有特点又相互联系,解题时具体选取哪一种形式,要根据直线的特点而定.

2.待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一,用此方法求直线方程,要注意所设方程的适用范围.如:点斜式、斜截式中首先要存在斜率,截距式中横纵截距存在且不为0,两点式的横纵坐标不能相同等(变形后除处).

3.在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.

4.在运用待定数法设出直线的斜率时,就是一种默认斜率存在,若有不存在的情况时,就会出现解题漏洞,此时就要补救:较好的方法是看图,数形结合来找差距.

第2课时 直线与直线的位置关系

(一)平面内两条直线的位置关系有三种________.

1.当直线不平行坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定

2.当直线平行于坐标轴时,可结合图形判定其位置关系. (二)点到直线的距离、直线与直线的距离

1.P(x 0,y 0)到直线Ax +By +C =0 的距离为______________.

2.直线l 1∥l 2,且其方程分别为:l 1:Ax +By +C 1=0 l 2:Ax +By +C 2=0,则l 1与l 2的距离为 .

(三)两条直线的交角公式

若直线l 1的斜率为k 1,l 2的斜率为k 2,则 1.直线l 1到l 2的角θ满足 .

2.直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足 .

(四)两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.

(五)五种常用的直线系方程.

① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(不含l 2). ② 与直线y =kx +b 平行的直线系方程为y =kx +m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y -y 0=k(x -x 0)及x =x 0.

④ 与Ax +By +C =0平行的直线系方程设为Ax +By +m =0 (m≠C). ⑤ 与Ax +By +C =0垂直的直线系方程设为Bx -Ay +C 1=0 (AB≠0). 例1. 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, (1)试判断l 1与l 2是否平行; (2)l 1⊥l 2时,求a 的值.

解(1)方法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2; 当a=0时,l 1:y=-3,

l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为 l 1:y=-x a 2

-3,l 2:y=

x a

-11

-(a+1),

l 1∥l 2???

???+-≠--=-)1(3112a a a

,解得a=-1, 综上可知,a=-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行.

方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0,得a (a-1)-1×2=0, 由A 1C 2-A 2C 1≠0,得a(a 2-1)-1×6≠0,

∴l 1∥l 2?????

?≠?--=?--0

61)1(021)1(2

a a a a

???

???≠-=--6)1(0

222a a a a ?a=-1,

故当a=-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0, l 1与l 2不垂直,故a=1不成立.

当a≠1时,l 1:y=-2

a

x-3, l 2:y=

x a

-11

-(a+1), 由

???

??-2a ·

a

-11=-1?a=32.

方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0,得a+2(a-1)=0?a=3

2.

变式训练1.若直线l 1:ax+4y-20=0,l 2:x+ay-b=0,当a 、b 满足什么条件时,直线l 1与l 2分别

相交?平行?垂直?重合?

解:当a=0时,直线l 1斜率为0,l 2斜率不存在,两直线显然垂直。

当a≠0时,分别将两直线均化为斜截式方程为:l 1:y= - a 4x+5,l 2:y= - 1a x+ b

a 。

(1)当- a 4 ≠ - 1

a

,即a≠±2时,两直线相交。

(2)当- a 4 = - 1a 且5≠ b

a 时,即a=2且b≠10或a= -2且b≠-10时,两直线平行。

(3)由于方程(- a 4)(- 1

a

)= -1无解,故仅当a=0时,两直线垂直。

(4)当- a 4 =- 1a 且5= b

a 时,即a=2且b=10或a= -2且b=-10时,两直线重合

例2. 已知直线l 经过两条直线l 1:x +2y =0与l 2:3x -4y -10=0的交点,且与直线l 3:5x -2y +3=0的夹角为4

π,求直线l 的方程.

解:由??

?=--=+0

104302y x y x 解得l 1和l 2的交点坐标为(2,-1),因为直线l 3的斜率为k 3=25

,l 与l 3

的夹角为

4

π

,所以直线l 的斜率存在. 设所求直线l 的方程为y +1=k(x -2).

则tan

4π=3

31kk k k +-=

k k 2

5125

+-=1 ?

k =7

3或k =-3

7,故所求直线l 的方程为y +1=-3

7(x -2)或y +1=7

3(x -2)即7x +3y +

11=0或3x -7y -13=0

变式训练2. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l ,且点P 在直线l 上,l 与水平地面的夹角为α,tan α=2

1

.试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)?

解 如图所示,建立平面直角坐标系,

则A (200,0),B (0,220),C (0,300). 直线l 的方程为y=(x-200)tan α,则y=2

200

-x

.

设点P 的坐标为(x,y ),则P (x, 2

200

-x )(x >

200).

由经过两点的直线的斜率公式

k PC =x

x x x 2800300

2200

-=--

,

k PB =x

x x x 2640220

2200

-=

--

.

由直线PC 到直线PB

的角的公式得

tan ∠BPC=

x

x x x x k k k k PC

PB PC

PB 2640·

280012160

·1--+=+- =

288

64016064

64016028864-?+=

?+-2

x

x x x x (x >200).

要使tan ∠BPC 达到最大,只需x+x

640

160?-288达到最小,由均值不等式

x+

x

640

160?-288≥2640160?

-288,

当且仅当x=

x

640

160?时上式取得等号

.

故当x=320时,tan ∠BPC 最大. 这时,点P 的纵坐标y 为y=

2

200

320-=60.

由此实际问题知0<∠BPC <

2

π

,所以tan ∠BPC 最大时,∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角∠BPC 最大.

例3. 直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若A 、B 坐标分别为A(-4,2)、B(3,1),求点C 的坐标并判断△ABC 的形状.

解:因为直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线,所以CA 、CB 所在直线关于y =2x 对称,而A(-4, 2)关于直线y =2x 对称点A 1必在CB 边所在直线上 设A 1(x 1,y 1)则

?????

?

?-?=+-=?---2422

212)4(2

1111x y x y 得?

?

?-==24

11y x 即A 1(4, -2)

由A 1(4, -2),B(3, 1)求得CB 边所在直线的方程为:3x +y -10=0 又由?

?

?=-+=01032y x x

y

解得C(2, 4)

又可求得:k BC =-3,k AC =3

1

∴k BC ·k AC =-1,即△ABC 是直角三角形

变式训练3.三条直线l 1:x+y+a=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:ax+y+1=0能构成三角形,求实数a 的取值范围。

解:a ∈R 且a≠±1,a≠-2(提示:因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共点,即任意两条直线都不平行且三线不共点。

(1)若l 1、l 2、l 3相交于同一点,则l 1与l 2的交点(-a-1,1)在直线l 3上,于是a(-a-1)+1+1=0,此时a=1或a= -2。

(2)若l 1∥l 2,则-1 = - 1

a ,a=1。

(3)若l 1∥l 3,则-1 = - a ,a=1。 (4)若l 2∥l 3,则- 1

a

= -a ,a= ±1。)

例4. 设点A(-3,5)和B(2,15),在直线l :3x -4y +4=0上找一点p ,使PB PA +为最小,并求出这个最小值.

解:设点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(a ,b),则由AA′⊥l 和AA′被l 平分,

则???

????=++?--?-=?+-0425423314

3

35b a a b 解之得a =3,b =-3,∴A′=(3,-3).∴(|PA|+|PB|)min =|A′B|=513

∵k A′B =

3

23

15-+=-18 ∴A′B 的方程为y +3=-18(x -3) 解方程组??

?--=+=+-)

3(1830443x y y x 得P(38

,3)

变式训练4:已知过点A (1,1)且斜率为-m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点,

过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线,垂足分别为R 、S ,求四边形PRSQ 的面积的最小值. 解:设l 的方程为y -1=-m(x -1), 则P (1+

m

1

,0),Q (0,1+m ) 从则直线PR :x -2y -

m

m 1

+=0; 直线QS :x -2y +2(m +1)=0 又PR ∥QS ∴ | RS |=

5

|1122|m m +

++=5

123m m ++

又| PR |=

5

2

2m +

,| QS |=51+m

而四边形PRSQ 为直角梯形, ∴ S PRSQ =2

1×(51522+++

m m )×5

1

23m m +

+

=5

1

(m +

m 1+49)2-801≥51(2+4

9

)2-801 =3.6

∴ 四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.

1.处理两直线位置关系的有关问题时,要注意其满足的条件.如两直线垂直时,有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直.

2.注意数形结合,依据条件画出图形,充分利用平面图形的性质和图形的直观性,有助于问题的解决.

3.利用直线系方程可少走弯路,使一些问题得到简捷的解法.

4.解决对称问题中,若是成中心点对称的,关键是运用中点公式,而对于轴对称问题,一般是转化为求对称点,其关键抓住两点:一是对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,如例4

第3课时 线性规划

1.二元一次不等式表示的平面区域.

⑴ 一般地,二元一次不等式Ax +By +C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线,不等式Ax +By +C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线.

⑵ 对于直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax +By +C 的值符号相同.因此,如果直线Ax +By +C =0一侧的点使Ax +By +C>0,另一侧的点就使Ax +By +C<0,所以判定不等式Ax +By +C>0(或Ax +By +C<0)所表示的平面区域时,只要在直线Ax +By +C =0的一侧任意取一点(x 0,y 0),将它的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式,不等式就表示该点所在一侧的平面区域;如果不满足不等式,就表示这个点所在区域的另一侧平面区域. ⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划 ⑴ 基本概念 ① 设出所求的未知数;② 列出约束条件(即不等式组);③ 建立目标函数;④ 作出可行域和目标函数的等值线;⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线,求出最优解.(有些实际问题应注意其整解性) 例1. 若△ABC 的三个顶点为A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC 区域(含边界)表示的二元一次不等式组.

解:由两点式得AB 、BC 、CA 直线的方程并化简得AB :x +2y -1=0,BC :x -y +2=0,CA :2x +y -5=0

结合区域图易得不等式组为??

???≤-+≥+-≥-+052020

12y x y x y x

变式训练1: △ABC 的三个顶点为A(2,4)、B(-1,2)、C(1,0),则△ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 .

??

?

??≥-+≤--≥+-010440832y x y x y x

例2. 已知x 、y 满足约束条件 ??

??

?≥+

+≤-+≤--010401170

2357y x y x y x 分别求: ⑴

z =2x +y

⑵ z =4x -3y

⑶ z =

x 2+y 2的最大值、最小值?

解:其中A(4,1), B(-1,-6), C(-3,2)

(1) 作与直线2x +y =0平行的直线l 1:2x +y =t ,则当l 1经过点A 时,t 取最大,l 1经过点B 时,t 取最小.

∴z max =9 z min =-13

(2) 作与直线4x -3y =0平行的直线l 2:4x -3y =t ,则当l 2过点C 时,t 最小,l 2过点B 时,t 最大.

∴z max =14 z min =-18

(3) 由z =x 2+y 2,则z 表示点(x ,y)到(0,0)的距离,结合不等式组表示的区域.知点B 到原点的距离最大,当(x ,y)为原点时距离为0.∴z max =37 z min =0 变式训练2:给出平面区域如下图所示,目标函数t =ax -y ,

(1) 若在区域上有无穷多个点(x ,y)可使目标函数t 取得最小值,求此时a 的值. (2) 若当且仅当x =3

2,y =5

4时,目标函数t 取得最小值,求实数a 的取值范围?

解:(1)由t =ax -y 得y =ax -t 要使t 取得最小时的(x ,y)有无穷多个, 则y =ax -t 与AC 重合.

∴a =k AC =13

20

54--=-512

(2)由K AC < a< K BC 得-

512< a<-10

3. 例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种72立方米,第二种有56

立方米,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米,第二种木料0.08立方米,可获利润6元,生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米,第二种0.28立方米,可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多?

解:设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ,所获利润为z ,则:

?????

?

?≥≥≤+≤+0

056

28.008.07209.018.0y x y x y x 即 ???

????

≥≥≤+≤+0

01400728002y x y x y x

则z =6x +10y 作出可行域如图. 由?

?

?=+=+140072800

2y x y x

x )

得 ?

?

?==100350

y x 即M(350,100)

由图可知,当直线l :6x +10y =0平移到经过点M(350,100)时,z =6x +10y 最大,即当x =350,y =100时,,z =6x +10y 最大.

变式训练3:某厂要生产甲种产品45个,乙种产品55个,可用原料为A 、B 两种规格的金属板,每张面积分别为2m 2和3m 2,用A 种可造甲种产品3个和乙种产品5个,用B 种可造甲、乙两种产品各6个.问A 、B 两种产品各取多少块可保证完成任务,且使总的用料(面积)最小. 解:设A 种取x 块,B 种取y 块,总用料为z m 2,则

??

?≥+≥+55

6545

63y x y x z =2x +3y (x 、y ∈N) 可行域如图:

最优解为A(5,5),x =5,y

min ,即A 、B 两种各取5块时可保证完成任务,且总的用料

(面积)最省为25m 2.

例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子,希望桌子的总数尽可能的多,但解:椅子的总数不能少于桌子的总数,但不多于桌子数的1.5倍,问桌椅各买多少才合适? 设桌椅分别买x 、y 张,由题意得:

?????

??

??≤+≤≤≥≥2000

20505.100y x x

y y

x y x 由 ???=+=20002050y x y x 解得:??????

?

==7200

7200y x ∴ 点A(7200,7200) 由???=+=200020505.1y x x y 解得??

??

?==27525y x ∴ 点B(25,

2

75

) 满足以上不等式组表示的区域是以A 、B 、O 为顶点的△AOB 及内部设x +y =z ,即y =-x +z ;当直线过点B 时,即x =25,y =

2

75

,z 最大.∵ y ∈z ,∴y =37 ∴买桌子25张,椅子37张是最优选择.

变式训练4:A 1、A 2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨,需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B 1、B 2两车站外运,用汽车将煤运到车站,A 1的煤运到B 1、B 2的运费分别为3元/吨和5元/吨,A 2的煤运到B 1、B 2的运费分别为7元/吨和8元/吨,问如何设计调运方案可使总运费最少?

解:设A 1运到B 1 x 万吨,A 2运到B 1 y 万吨,总运费为z 万元,则A 1运到B 2(8-x)万吨,A 2运到B 2(18-y)万吨,z =3x +5(8-x)+7y +8(18-y) =184-2x -y ,x 、y 满足

?????

?

?≤≤≤≤≤-+-≤+18

08016

)18()8(20y x y x y x 可行域如图阴影部分.

当x =8时,y =12时,z min =156

即A 1的8万吨煤全运到B 1,A 2运到12万吨运到B 1,剩余6万吨运到B 2,这时总运费最少为156万元.

1.二元一次不等式或不等式组表示的平面区域:① 直线确定边界;② 特殊点确定区域. 2.线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现,是一种求最值的方法. 3.把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点,求解关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解.而在考虑约束条件时,除数学概念的条件约束外,还要深入其境、考虑实际意义的约束.

4.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图尽可能精确,图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时,要逐一检查

第4课时 曲线与方程

1.直接法求轨迹的一般步骤:建系设标,列式表标,化简作答(除杂).

2.求曲线轨迹方程,常用的方法有:直接法、定义法、代入法(相关点法、转移法)、参数法、交轨法等. 例1. 如图所示,过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ,l 2交y 轴于B ,求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 :设点M 的坐标为(x,y ), ∵M 是线段AB 的中点, ∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y ). ∴=(2x-2,-4),PB =(-2,2y-4).

由已知·PB =0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即x+2y-5=0.

∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.

变式训练1:已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN ||MP |+

·

NP =0,求动点P (x ,y )的轨迹方程. 解 由题意:=(4,0),MP =(x+2,y ),

NP =(x-2,y ),

∵|||MP |+·

NP =0, ∴2

2

04+·2

2

)2(y x +++(x-2)·4+y·0=0,

两边平方,化简得y 2=-8x.

例2. 在△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B ??

?

??-0,2

a

,C ??

?

??0,2

a 且满足条件sinC-sinB=2

1sinA,

则动点A 的轨迹方程是

( ) A.2

2

22151616a y a x -=1 (y≠0)

B.22

2231616a

x a y -=1 (x≠0)

C.2

2

22151616a y a x -=1(y≠0)的左支

D.22

2231616a

y a x -=1(y≠0)的右支

答案D

变式训练2:已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.

解 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ,根据两圆外切的充要条件,

|MC 1|-|AC 1|=|MA|,

|MC 2|-|BC 2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,

所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.

这表明动点M 到两定点C 2,C 1的距离之差是常数2.

根据双曲线的定义,动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大,到C 1的距离小),这里a=1,c=3,则b 2=8,设点M 的坐标为(x,y ),其轨迹方程为x 2-8

2

y =1 (x≤-1). 例3. 如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点, 且满足∠APB=90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

解 设AB 的中点为R ,坐标为(x 1,y 1),Q 点坐标为(x ,y ), 则在Rt △ABP 中, |AR|=|PR|,

又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理有

Rt △OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(2

1

2

1

y x +).

又|AR|=|PR|=2

1

2

1

)4(y x +-,

所以有(x 1-4)2+2

1

y =36-(2

1

2

1

y x +).

即2

1

2

1

y x +-4x 1-10=0.

因为R 为PQ 的中点,

所以x 1=

24

+x ,y 1=2

0+y .

代入方程2

1

2

1

y x +-4x 1-10=0,得

42242

2

-??

?

??+??? ??+y x ·24+x -10=0.

整理得x 2+y 2=56.

这就是Q 点的轨迹方程.

变式训练3:设F (1,0),M 点在x 轴上,P 点在y 轴上,且=2MP ,PM ⊥PF ,当点P

在y 轴上运动时,求点N 的轨迹方程.

解 设M (x 0,0),P (0,y 0),N (x ,y ),

由=2MP 得(x-x 0,y )=2(-x 0,y 0),

∴,22000???=-=-y y x x x 即.2100??

???=-=y y x x

∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0),

∴(x 0,-y 0)·(1,-y 0)=0,∴x 0+20

y =0.

∴-x+2

y =0,即y 2=4x.故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x.

1.直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件,找出动点满足的等量关系,这个等量关系有的可直接利用已知条件,有的需要转化后才能用.

2.回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径.

3.所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动,常用代入法求轨迹.

第5课时 圆的方程

1. 圆心为C(a 、b),半径为r 的圆的标准方程为_________________.

2.圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F>0),圆心为 ,半径r = .

3.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的方程的充要条件是 .

4.圆C :(x -a)2+(y -b)2=r 2的参数方程为_________.x 2+y 2=r 2的参数方程为________________.

5.过两圆的公共点的圆系方程:设⊙C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,⊙C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,则经过两圆公共点的圆系方程为 . 例1. 根据下列条件,求圆的方程.

(1) 经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x +10y +9=0上. (2) 经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x 轴上截得的弦长为6. 解:(1)∵AB 的中垂线方程为3x +2y -15=0 由??

?=++=-+0910301523y x y x 解得 ?

??-==37

y x

∴圆心为C(7,-3),半径r =65

故所求圆的方程为(x -7)2+(y +3)2=65

(2)设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 将P 、Q 两点坐标代入得

?

?

?-=+-=--②F E D ①

F E D 1032042 令y =0得x 2+Dx +F =0

由弦长|x 1-x 2|=6得D 2-4F =36 ③

解①②③可得D =-2,E =-4,F =-8或D =-6,E =-8,F =0 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0 变式训练1:求过点A (2,-3),B (-2,-5),且圆心在直线x -2y -3=0上的圆的方程. 由A (2,-3),B (-2,-5),得直线AB 的斜率为k AB =

-5-(-3)-2-2

= 1

2 ,

线段AB 的中点为(0,-4),线段AB 的中垂线方程为y +4=-2x,即y +2x +4=0,

解方程组240230x y x y ++=??--=?得1

2x y =-??=-?

∴圆心为(-1,-2),根据两点间的距离公式,得半径r=(2+1)2+(-3+2)2 =10

所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10

例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 解 方法一 将x=3-2y,

代入方程x 2+y 2+x-6y+m=0,

得5y 2-20y+12+m=0.

设P (x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件: y 1+y 2=4,y 1y 2=

.5

12m

+

∵OP ⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.

而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.

∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.

∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为???

??-32

1,

,半径r=2

5.

方法二 如图所示,设弦PQ 中点为M ,

∵O 1M ⊥PQ ,∴21=M

O k .

∴O 1M 的方程为:y-3=2??

? ?

?

+21x ,

即:y=2x+4.

由方程组.

324

2??

?=-++=y x x y

解得M 的坐标为(-1,2).

则以PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r 2.

∵OP ⊥OQ ,∴点O 在以PQ 为直径的圆上.

∴(0+1)2+(0-2)2=r 2,即r 2=5,MQ 2=r 2.

在Rt △O 1MQ 中,O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.

∴+???

??+-2

121(3-2)2+5=

44)6(12m --+

∴m=3.∴半径为2

5,圆心为??

?

??-3,21.

方法三 设过P 、Q 的圆系方程为 x 2+y 2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.

由OP ⊥OQ 知,点O (0,0)在圆上.

∴m-3λ=0,即m=3λ. ∴圆的方程可化为

x 2+y 2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0

即x 2+(1+λ)x+y 2+2(λ-3)y=0. ∴圆心M ??

?

??-+-2)3(221λλ,,又圆在PQ 上.

∴-2

++2(3-λ)-3=0, ∴λ=1,∴m=3.

∴圆心为??

?

??-3,21,半径为2

5.

变式训练2:已知圆C :(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交;

(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

(1)证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m 取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立,解得交点为(3,1), 又有(3-1)2+(1-2)2=5<25, ∴点(3,1)在圆内部,

∴不论m 为何实数,直线l 与圆恒相交.

(2)解 从(1)的结论和直线l 过定点M (3,1)且与过此点的圆C 的半径垂直时,l 被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得

|AB|=22

2

CM r -=.54])21()13(

[2522

2

=-+--

此时,k t =-

CM

k 1,从而k t =-3

1121

--=2.

∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

例3. 知点P (x ,y )是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.

(1)求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;

(2)求x-2y 的最大值和最小值;

(3)求

1

2

--x y 的最大值和最小值.

解 (1)圆心C (-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为

d=

5

64

312

04)2(32

2

=

++?+-?.

∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为

d+r=5

6+1=

511,最小值为d-r=56-1=5

1.

(2)设t=x-2y,

则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y 2=1有公共点.

2

2

2

12+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2,

∴t max =5-2,t min =-2-5.

(3)设k=

1

2

--x y ,

则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y 2=1有公共点,

1

232

++-k k ≤1.∴

433-≤k≤4

3

3+,

∴k max =

433+,k min =4

33-.

变式训练3:已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. (1)求y-x 的最大值和最小值;

(2)求x 2+y 2的最大值和最小值.

解 (1)y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距,当直线y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得

最大值或最小值,此时

,32

02=+-b

,解得b=-2±6.

所以y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6.

(2)x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为2

2

)00()02(-+

-=2, 所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43, x 2

+y 2

的最小值是(2-3)2

=7-43.

例4. 设圆满足:①截y 轴所得的弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在

满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y=0的距离最小的圆的方程。

解法一设圆的圆心为P (a,b),半径为r ,则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。 由题设条件知圆P 截x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90°,圆P 截x 轴所得的弦长为 2 r ,故r 2=2b 2.

又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有r 2=a 2+1,从而得2b 2=a 2+1.

点P 到直线x -2y=0的距离为∴5d 2=(a -2b)2=a 2+4b 2-4ab= 2a 2+2b 2-4ab +1=2(a -b)2+1≥1 当且仅当a=b 时取等号,此时,5d 2=1, d 取得最小值.

由a=b 及2b 2=a 2+1得11

11

a a

b b ==-????==-??或,进而得r 2=2 所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2

解法二同解法一,得a -2b= ±5 d

a 2=4

b 2±4 5 bd +5d 2,将a 2=2b 2-1代入整理得2b 2±4 5 bd +5d 2+1=0 (※) 把(※)看成关于b 的二次方程,由于方程有实数根,故△≥0即 8(5d 2-1)≥0, 5d 2≥1可见5d 2有最小值1,从而d 有最小值

5

5

,将其代入(※)式得2b 2±4b +2=0, b= ±1, r 2=2b 2=2, a 2=2b 2-1=1, a= ±1 由∣a -2b ∣=1知a 、b 同号

故所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2

变式训练4:如图,图O 1和圆O 2的半径都等于1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点),使得PM =2PN ,试建立平面直角坐标系,并求动点P 的轨迹方程.

解:以O 1、O 2的中点为原点,O 1O 2所在的直线为x 轴, 建立平面直角坐标系,则O

1(-2, 0)、O 2(2, 0).如图:

由PM =2PN 得PM 2=2PN 2

∴ PO 12-1=2(PO 22-1),设P(x ,y) ∴ (x +2)2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]

即(x -6)2+y 2=33为所求点P 的轨迹方程. 1.本节主要复习了圆的轨迹方程,要明确:必须具备三个独立条件,才能确定一个圆的方程. 2.求圆的方程时一般用待定系数法:若已知条件与圆心、半径有关,可先由已知条件求出圆的半径,用标准方程求解;

若条件涉及过几点,往往可考虑用一般方程;

若所求的圆过两已知圆的交点,则一般用圆系方程.

3.求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算. 4.运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便.

5.点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示 任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ) . 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示 过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的 倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. (3)指出此时直线的方向向量:),(A B -,),(A B -,) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ (单位向量); 直线的法向量:),(B A ;(与直线垂直的向量) (6)参数式:?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数)其中方向向量为),(b a ,) ,(2222b a b b a a ++; a b k = ; 22||||b a t PP o += ;

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则

????? x -12-y +12-1=0 y -1x +1=-1,解之得????? x =2y =-2, 特殊解法:当直线l :Ax +By +C =0的系数满足|A|=|B|=1时,点A(x0,y0)关于l 的对称 点B(x ,y)的坐标,x =-By0-C A ,y =-Ax0-C B . 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形OABC ,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[0,1] B .[0,2] C .[-1,0] D .[-2,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点O 落在线段BC 上,可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ,以l 为折痕可使O 与D 重合,故问题转化为在线段CB 上任取一点D ,求直线OD 的斜率的取值范围问题, ∵kOD≥kOB =12,∴k =-1kOD ≥-2,且k<0, 又当折叠后O 与C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x -ay +1=0的两侧,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,10) B .(10,+∞) C.??? ?-∞,43∪(10,+∞) D.??? ?43,10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a +1)(3-3a +1)<0,∴43

高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》知识点总复习含解析

【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1.若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则 OP FP →→ g 的最大值为( ) A .4 B .5 C .6 D .7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ,由数量积的运算及点P 在椭圆上,可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数,根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ,()()1,0,0,0F O -,则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ,则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r , 因为点P 为椭圆上,所以有:22143 x y +=即2 2334y x =-, 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤, 所以当2x =时,OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选:C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算,求二次函数的最大值,属于一般题. 2.已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A .1 2 k > B .16k <- 或1 2 k > C .62k -<< D .1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ,可解得交点坐标(,)x y ,由于直线21y kx k =++与直线

平面解析几何初步(知识点 例题)

个性化简案 个性化教案(真题演练)

个性化教案

平面解析几何初步 知识点一:直线与方程 1. 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率:αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 3.直线方程的五种形式 【典型例题】 例1:已知直线(2m 2+m -3)x +(m 2-m)y =4m -1.① 当m = 时,直线的倾斜角为45°.②当m = 时,直线在x 轴上的截距为1.③ 当m = 时,直线在y 轴上的截距为-2 3.④ 当m = 时,直线与x 轴平行.⑤当m = 时,直线过原点. 【举一反三】 1. 直线3y + 3 x +2=0的倾斜角是 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 2. 设直线的斜率k=2,P 1(3,5),P 2(x 2,7),P (-1,y 3)是直线上的三点,则x 2,y 3依次是 ( ) A .-3,4 B .2,-3 C .4,-3 D .4,3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是-7 ,则l 2的斜率是 ( ) A .7 B .- 77 C .77 D .-7 4. 直线l 经过两点(1,-2),(-3,4),则该直线的方程是 . 例2:已知三点A (1,-1),B (3,3),C (4,5).求证:A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习:设a ,b ,c 是互不相等的三个实数,如果A (a ,a 3)、B (b ,b 3)、C (c ,c 3)在同一直线上,求证:a+b+c=0. 例3:已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求:2 3 ++x y 的最大值与最小值.

平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。 例题: 例1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的 范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时,可利用在和上是增函数分别求解.当时,; 当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例2.已知△为正三角形,顶点A 在x轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上,求边与所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析:? 如右图,由题意知∠∠30°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=15 0°,直线的倾斜角为30°,? ∴150°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率() A. 等于0 B . 等于1 C . 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A.1 B .-1 C .0 D.7 3. 已知A (x 1,y 1)、B(x2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB |=( ) A、|x 1-x 2|B 、|y 1-y 2|C、 x 2-x1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限B.第一象限 C.第四象限D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x轴上的截距为() A.23- B .32- C .32 D .2 6.直线2x -y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2)B .(2)(3) C.(1)(3)D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C.21 D .2 1- 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-

平面解析几何测试题带答案

1.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜 率为 2 2 ,求椭圆的方程. 3.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q, 证明:AQ⊥BQ . 4.已知圆(x-2)2+(y-1)2=20 3 ,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ,若圆与椭圆相交于A、B, 且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程.

5.已知m 是非零实数,抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. (I )若m=2,求抛物线C 的方程 (II )设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,F AA 1?,F BB 1?的重心分别为G,H. 求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6. (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB | =8,动点P 满足AP u u u r =35 PB u u u r ,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 [例1]直线l 经过P (2,3),且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . [例2]已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解: 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) [例3]m 是什么数时,关于x,y 的方程(2m 2+m-1)x 2+(m 2-m+2)y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆? 解:欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆,只要A=C ≠0, 得2m 2+m-1=m 2-m+2,即m 2 +2m-3=0,解得m 1=1,m 2=-3, (1) 当m=1时,方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意,舍去. (2) 当m=-3时,方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. [例4]自点A(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7=0相切,求光线L 所在的直线方程. 解:设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称,L 过点A(-3,3),点A 关于x 轴的对称点A ′(-3,-3), 于是L ′过A(-3,-3). 设L ′的斜率为k ,则L ′的方程为y-(-3)=k [x-(-3)],即kx-y+3k-3=0, 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 =1,圆心O 的坐标为(2,2),半径r =1 因L ′和已知圆相切,则O 到L ′的距离等于半径r =1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12=0 解得k = 34或k =4 3 L ′的方程为y+3=34(x+3);或y+3=4 3 (x+3)。 即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. [例5]求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:

高考数学平面解析几何的复习方法总结

2019年高考数学平面解析几何的复习方法 总结 在高中数学知识体系中,平面解析几何是其中很大的一块,涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。在高考的考查中,又可以将上述的7个知识点进行综合考查,更是增加了考查的难度。要想学好这部分知识,在高考总不丢分,以下几点是很关键的。 突破第一点,夯实基础知识。 对于基础知识,不仅一个知识点都要熟稔于心,还要有能力将这些零散的知识点串联起来。只有这样,才能形成属于自己的知识框架,才能更从容的应对考试。 (一)对于直线及其方程部分,首先我们要从总体上把握住两突破点:①明确基本的概念。在直线部分,最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。倾斜角α的取值范围是突破[0,π),当倾斜角不等于90°的时候,斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候,斜率不存在。②直线的方程有不同的形式,同学们应该从不同的角度去归类总结。角度一:以直线的斜率是否存在进行归类,可以将直线的方程分为两类。角度二:从倾斜角α分别在[0,π/2)、α=π/2和(π/2,π)的范围内,认识直线的特点。以此为基础突破,将直线方程的五种不同的形式套入其中。直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的,我们也要加以总结。

(二)对于线性规划部分,首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。在这里我们可以采用原点法,如果满足条件,那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件,那么代表的区域不包含原点。 (三)对于圆及其方程,我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于圆部分的学习,我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识,包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。只有这样,才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。 (四)对于椭圆、抛物线、双曲线,我们要分别从其两个定义出发,明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况,要分别进行掌握。 突破第二点,学习基本解题思想。 对于平面几何部分的学习,最基本的解题思想就是数形结合,还包括函数思想、方程思想、转化思想等。要想掌握数形结合这种思想方法,首先同学们心中要有坐标轴,要掌握好学过的各种平面几何的概念。其次,要掌握解决不同问题的方法。对于不同的题型,同学们要掌握不同的解题方法,并将这种解题方法及其例题记录在笔记本上。对于向量方法,最长用的地方就解决与斜率有关的问题;对于“设而不求”的方法,最常用到的地方就是两种不同的平面几何图形相交的情况下求弦长的问题;设点法,最长用到的地方就是两种曲线相切以及求最值得问题等。同学们要分门别类的进行总结,才能达到事半功倍的效

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1.已知椭圆C :16x 2+4y 2=1,则下列结论正确的是( ) A .长轴长为12 B .焦距为34 C .短轴长为14 D .离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2+4y 2=1化为标准方程可得 x 2116+y 214 =1,所以a =12,b =14,c =34 , 长轴2a =1,焦距2c =32,短轴2b =12, 离心率e =c a =32 .故选D. 2.双曲线x 23-y 2 9 =1的渐近线方程是( ) A .y =±3x B .y =±13x C .y =±3x D .y =±33 x 答案 C 解析 因为x 23-y 2 9 =1, 所以a =3,b =3,渐近线方程为y =±b a x , 即为y =±3x ,故选C. 3.已知双曲线my 2-x 2=1(m ∈R )与抛物线x 2=8y 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A .y =±3x B .y =±3x C .y =±13 x D .y =±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2), ∴双曲线的一个焦点为(0,2),∴1m +1=4,∴m =13 , ∴双曲线的渐近线方程为y =±3x ,故选A. 4.(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l :x 4+y 3 =1,若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为-34,过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,所以b c =34 , 又b 2+c 2=a 2?????34c 2+c 2=a 2?2516c 2=a 2, 所以e =c a =45 ,故选A. 5.(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y -2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .[2,+∞) C .(1,3] D .[3,+∞) 答案 A 解析 双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线方程是bx -y =0,由题意圆x 2+(y -2)2=1的圆心(0,2)到bx -y =0的距离不小于1,即 2b 2+1≥1,则b 2≤3,那么离心率e ∈(1,2],故选A. 6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若|F A |=2|FB |,则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y =k (x +2),y 2=8x ,消去y 得 k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, Δ=(4k 2-8)2-16k 4>0,又k >0,解得0

最新专题五平面解析几何

专题五平面解析几何

专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度:该部分主要围绕两个点展开命题.第一个点是围绕直线与圆的方程展开,设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题,目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法,考查运算求解能力,试题一般是选择题或者填空题;第二个点是围绕把直线与圆综合展开,设计考查直线与圆的相互关系的试题,目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用,这个点的试题一般是解答题. 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化,以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程,而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用.复习建议:该部分是解析几何的基础,涉及大量的基础知识,在复习时要把知识进一步系统化,在此基础上,在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上. 主干知识整合

1.直线的概念与方程 (1)概念:直线的倾斜角θ的范围为[0°,180°),倾斜角为90°的直线的斜率不存在,过 两点的直线的斜率公式k =tan α=y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2 ); (2)直线方程:点斜式y -y 0=k (x -x 0),两点式y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1(x 1 ≠x 2,y 1≠y 2),一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0); (3)位置关系:当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时,两直线平行l 1∥l 2?k 1=k 2,两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2=-1,两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点; (4)距离公式:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式. 2.圆的概念与方程 (1)标准方程:圆心坐标(a ,b ),半径r ,方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F >0); (2)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 ,代数判断法与几何判断法; (3)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离、内含,代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2),且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A .2x +y -12=0 B .2x +y -12=0或2x -5y =0 C .x -2y -1=0 D .x -2y -1=0或2x -5y =0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a + 1)y +4=0平行”的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围,在解题时不要忽视这些特殊情况,如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况;一般地,直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0平行的充要条件是A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1,垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0. 变式题 (1)将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得的直线方程为( A ) A .y =-13x +13 B .y =-13x +1 C .y =3x -3 D .y =13 x +1 (2)“a =-2”是“直线ax +2y =0垂直于直线x +y =1”的( C ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的圆心为抛物线y 2=4x 的焦点,且与直线3x +4y +2=0相切,则该圆的方程为( C ) A .(x -1)2+y 2=6425 B .x 2+(y -1)2=6425 C .(x -1)2+y 2=1 D .x 2+(y -1)2=1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则( A ) A .l 与C 相交 B .l 与 C 相切 C .l 与C 相离 D .以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素:圆心位置和圆的半径,求解圆的方程就是求出圆心坐标和

福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案

福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案 1.掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. 2.会用二元一次不等式表示平面区域. 3.了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用. 4.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法. 5.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念. 在近几年的高考试题中,两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系,圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容,近年来,在高考中经常考查,但基本上以中易题出现.考查的数学思想方法,主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等. 第1课时直线的方程 知识网络 考纲导读 高考导航 基础过关 简单的线性规划 直线的倾斜角和斜率 直线方程的四种形式 两条直线的位置关系 直线 圆的方程圆的一般方程 圆的参数方程 直 线 和 圆圆的标准方程 曲 线 和 方 程

线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°. 3.直线方程的五种形式 名称方程适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1.已知直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.① 当m=时,直线的倾斜角为45°.②当m=时,直线在x轴上的截距为1.③ 当m=时,直线在y轴上的截距为- 2 3.④ 当m=时,直线与x轴平行.⑤当m=时,直线过原点. 解:(1) -1⑵ 2或- 2 1⑶ 3 1或-2 ⑷- 2 3⑸ 4 1 变式训练1.(1)直线3y+ 3 x+2=0的倾斜角是() A.30° B.60° C.120° D.150° (2)设直线的斜率k=2,P1(3,5),P2(x2,7),P(-1,y3)是直线上的三点,则x2,y3依次是() A.-3,4 B.2,-3 C.4,-3 D.4,3 (3)直线l1与l2关于x轴对称,l1的斜率是-7 ,则l2的斜率是() A.7 B.- 7 C. 7 D.-7 (4)直线l经过两点(1,-2),(-3,4),则该直线的方程是. 解:(1)D.提示:直线的斜率即倾斜角的正切值是- 3 . (2)C.提示:用斜率计算公式12 12 y y x x - - . 典型例题

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一.选择题(每小题5分共40分) 1. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示; B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)·(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示; D.经过定点A (0, b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y -y 0=k (x -x 0)表示,因为其斜率k 不存在;C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0)或x =a (a ≠0)不能用方程b y a x +=1表示;D 中过A (0, b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角, 且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D. 3. 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,- 11B A ·(2 2B A -)=-1,A 1A 2+B 1B 2=0. 当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为0时,???==???==0 001221B A B A 或,

专题11 平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编)(原卷版)

专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1.【2018年广西预赛】已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围. 2.【2018年安徽预赛】设O是坐标原点,双曲线C:上动点M处的切线,交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证:△AOB的面积S是定值; ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3.【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点,焦点,另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点,并求该点的坐标. 4.【2018年湖南预赛】如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线,设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证:. 5.【2018年湖北预赛】已知为坐标原点,,点为直线上的动点,的平分线与直线 交于点,记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)过点作斜率为的直线,若直线与曲线恰好有一个公共点,求的取值范围. 6.【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点,且右焦点为. (1)求椭圆的方程;

(2)过点的直线与椭圆交于两点,交轴于点.若,求证:为定值;(3)在(2)的条件下,若点不在椭圆的内部,点是点关于原点的对称点,试求三角形面积的最小值. 7.【2018年吉林预赛】如图,已知抛物线过点P(-1,1),过点Q(,0)作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点(点M在Q、N之间),过点M作x轴的平行线,交OP于A,交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为,比较与3的大小,说明理由. 8.【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点,使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值,求的值.9.【2018年天津预赛】如图,是双曲线的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点,求证:(1);⑵、A、B四点在同一个圆上. 10.【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆.试求它的对称中心及对称轴.

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1直线的倾斜角与斜率: (1 )直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率:k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y:)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注:当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1),且斜率为k ). 1■线斜率不存在时,不冃匕用点斜式表示,此时万程为X X0 . (2)斜截式:y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式: y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注:①不能表示与x轴和y轴垂直的直线; ②方程形式为:(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时,方程可以表示任意直线. (4)截距式: X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距,且a 0,b 0). a b 注:不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式:Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式:y x ,即,直线的斜率:k B B B 注:(1)已知直线纵截距b,常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时,m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。,y°),常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 : y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式:

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率( ) A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .7 3. 已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB|=( ) A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x 轴上的截距为( ) A .23 - B .32- C .32 D .2 6.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C .21 D .21 - 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面解析几何高考专题复习

第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0,π). 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式: 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y 1x 2-x 1=y 1-y 2 x 1-x 2. 3.直线方程

1.利用两点式计算斜率时易忽视x 1=x 2时斜率k 不存在的情况. 2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k 不明确的情况下,注意分k 存在与不存在讨论,否则会造成失误. 3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式. 4.由一般式Ax +By +C =0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0,当B =0时,k 不存在;当B ≠0时,k =-A B . [试一试] 1.若直线(2m 2+m -3)x +(m 2-m )y =4m -1在x 轴上的截距为1,则实数m 是( ) A .1 B .2 C .-12 D .2或-1 2 解析:选D 当2m 2+m -3≠0时,即m ≠1或m ≠-3 2时,在x 轴上截距为4m -12m 2+m -3= 1,即2m 2-3m -2=0, 故m =2或m =-1 2 . 2.过点M (-2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为________. 解析:∵k MN =m -4 -2-m =1,∴m =1. 答案:1 3.过点M (3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________. 解析:①若直线过原点,则k =-4 3, 所以y =-4 3x ,即4x +3y =0. ②若直线不过原点. 设x a +y a =1,即x +y =a . 则a =3+(-4)=-1, 所以直线的方程为x +y +1=0. 答案:4x +3y =0或x +y +1=0 1.求斜率可用k =tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 2.求直线方程的一般方法 (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应

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