完全零单半群的某些性质

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完全零单半群的某些性质

作者:崔菊芬张建刚

来源:《上海师范大学学报·自然科学版》2013年第02期

摘要:讨论了完全零单半群S的夹心阵P和结构群G的交换性对其性质的影响,推广了完全单半群中的相应结果,研究了当S中每个不含零的子带均为左零或者右零带时S中元素的特征,并进一步刻画了完全零单半群幂等元的逆元的分布情况。

关键词:完全零单半群;完全单半群;夹心矩阵

中图分类号: O 152。7 文献标识码: A 文章编号: 10005137(2013)02012005

1 预备知识

众所周知,正则半群是半群代数理论的主要研究对象。完全零单半群是其中最基础的一个子类,它们在正则半群中起着重要的作用。因此,关于这类半群的研究一直受到许多人的重视。在 1928 年,俄国数学家СушкеВич系统地研究了特殊的完全零单半群——有限单半群的结构,可以看做是完全零单半群研究的开始。1940年,Rees。D 讨论了任意完全零单半群的结构。Rees 的结论由 A。H。Clifford 和 G。B。Preston 在其1961的专著中得到了简洁而优美的表述[1],A。H。Clifford 和 G。B。Preston 称之为 Rees 定理。

由Rees 定理,每一个完全零单半群都同构于一个Rees矩阵半群M0[G;I,Λ;P]。通过对集合I,Λ的分类,可以得到Rees矩阵半群的非零块,并可证明它们是完全单子半群。进

一步将讨论S夹心阵P和结构群G的交换性对S的性质的影响。在文章的第二部分分了3个层次讨论了S的性质。文章的第三部分讨论了完全零单半群与纯正相关的一些性质以及幂等元的逆元的分布情况。

定义1。1 令S是一个半群,E(S)表示其幂等元集合。若e∈E(S),称e为本原幂等元,如果对任意的f∈E(S),ef=fe=f≠0 e=f。定义1。2 一个含0的半群S叫做null半群,若S中任意两个元素的乘积是0。

定义1。3 不含0的半群S是单的,若S没有真理想。含0的半群S叫做零单半群,若

(i)除{0}和本身之外不再有其他的理想;

(ii)S2≠{0}。

零单半群S称为完全零单半群,如果S含有一个本原幂等元。

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