因式分解双十字交乘
因式分解双十字交乘
十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。
运用双十字乘法对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型的多项式分解因式的步骤： 1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D 。
一、用双十字相乘法分解多项式
我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：
计算)13)(532(-++-y x y x 。
∴5813376)13)(532(22-++--=-++-y x y xy x y x y x 从计算过程可以发现，乘积中的二次项22376y xy x --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项y x 813+，只和
乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式
581337622-++--y x y xy x 的分解因式的方法是：
1、先用十字相乘法分解22376y xy x --。
2、再将常数项－5的两个因数写在第二个十字的右边。
3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x ，那么原式就可以分解成
)13)(532(-++-y x y x 。
综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。
例1、分解因式143318189202
2-+--+y x y xy x 。
∵4×6－15=9，－3×(－7)+2×6=33，－28+10=－18，
∴)765)(234(1433181892022-++-=-+--+y x y x y x y xy x 。 评注：在使用双十字相乘法时，不必标出,x y ，只需写出,x y 的系数就
可以了。即第1列是x 的系数的两个因数；第2列是y 的系数的两个因数；第3列是常数项y
y
y y 835=+x
3-y
x 2x
3x
3y 3-x 2xy
xy xy 729-=+-1
－5-7
2
6-354-2
10
-45
35
32-+-y x y y xy 5322+-x
xy x 15962+-1
3)-+?y x 532+-y x 5
81337622-++--y x y xy x
例2、分解因式2820152-+--y x xy x 。
∵3×(－2)+5×1=－6+5=－1，∴2820152-+--y x xy x =)25)(143(-+-x y x 。 例3、分解因式16401816922-++-y x y x 。 ∵3×(－2)+3×8=－6+24=18，
∴16401816922-++-y x y x =)243)(843(-++-y x y x 。 例4、分解因式2
2
2
20232656z yz xz y xy x -----。 ∵2×5+3×(－4)=10－12=－2，
∴22220232656z yz xz y xy x -----)523)(432(z y x z y x ++--=。 评注：注意本题中的第3列是220z -的两个因式,不要丢掉z 。 例5、分解因式616213622-+++-y x y xy x 。 解法1：
∴616213622-+++-y x y xy x )26)(32(--+-=y x y x
解法2：616213622-+++-y x y xy x )62()1613(622-++--=y y x y x
)26)(32()32)(2()1613(62
--+-=-++--=y x y x y y x y x 。 解法3：616213622-+++-y x y xy x
)6)(2(6)16()6)(2(n y x m y x y x y x y x +-+-=-++--=
=mn y n m x n m y xy x ++-+++-)2()6(213622
∴??
?
??-=-=+=+612166m n n m n m 解之，得2,3-==n m 。 ∴616213622-+++-y x y xy x )26)(32(--+-=y x y x 。
评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法2将原多项式化成关于x 的二次三项式分解因式；解法3则使用了待定系数法。
练一练：用多种方法分解下式：23222----y y xy x 。 答案：)22)(1(++--y x y x 。 8-2
4
-43
35
-42
-332-23-1-2
6
14-3=1
-3221y
y y 131621812-=--+-)
2(+-y )32(--
y 6
1
(1) 581337622-++--y x y xy x (2)22282143x xy y x y +-++-
(3)34215822--++-y x y xy x (4)233222+++-+y x y xy x
(5)632912422-+-+-y x y xy x (6)2227225353x xy y x y ---+-
(7)2231092x xy y x y --++- （8）22534x y x y -+++
（9）22xy y x y ++-- （10）223x xy x y -++-
(11)222246113z yz xz y xy x ---+- (12)22227376z yz zx y xy x -+---
(13)22267372x xy y xz yz z ---+- (14)2223438810x y z xy yz xz +++--
（15）143318189202
2
-+--+y x y xy x 。 （16）2820152
-+--y x xy x 。
（17）2
2
2
20232656z yz xz y xy x -----。 （18）61621362
2
-+++-y x y xy x 。
因式分解--十字相乘法练习题
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
因式分解基础练习
因式分解基础练习公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
2 2y 2-xy -x 3因式分解练习题 （一）选择题 1、下列各式的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)( B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x x D 、c b a x c bx ax ++=++)( 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、41 2+-x x B 、21x + C 、1++xy x D 、122-+x x 4、把)2()2(2a m a m -+-分解因式是（ ） A 、 ))(2(2m m a +- B 、 ))(2(2m m a -- C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 5、下列多项式中，含有因式)1(+y 的是（ ） A 、2232x xy y -- B 、22)1()1(--+y y C 、)1()1(22--+y y D 、1)1(2)1(2++++y y 6、分解因式14-x 得（ ） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x 7、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 8、c b a 、、是△ABC 的三边且bc ac ab c b a ++=++222，则△ABC 的形状是 （ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形 （二）分解因式（每题10分，共60分） (1) 2m(a-b)-3n(b-a) （2）
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
初中多项式因式分解双十字相乘法
双十字相乘法 分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k） 目录 基本介绍 方法：双十字相乘的迁移 所以 基本介绍 方法：双十字相乘的迁移 所以 展开 编辑本段基本介绍 适用状况 双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”,就能很容易将此类型的多项式分解因式。 例子 例：3x^2＋5xy－2y^2＋x＋9y－4＝（x＋2y－1）（3x－y＋4） (3x^2表示3X的二次方） 因为3＝1×3，－2＝2×（－1），－4＝（－1）×4， 而1×（－1）＋3×2＝5，2×4＋（－1）（－1）＝9，1×4＋3×（－1）＝1 编辑本段方法：双十字相乘的迁移
分解二次五项式 要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例：ab＋b^2＋a－b－2 ＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2 ＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2） ＝（b＋1）（a＋b－2） 分解四次五项式 提示：设x^2＝y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。 例：2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2 ＝2y^2＋13xy＋15x^2＋5y＋11x＋2 ＝（2y＋3x＋1）（y＋5x＋2） ＝(2x^2＋3x＋1）（x^2＋5x＋2） ＝（x+1）(2x+1)（x^2＋5x＋2） 简单来说： 1.因式分解法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x^2-(5+7y)x-(22y^2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即 -22y^2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 编辑本段所以 原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y^2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法．
因式分解分类练习经典全面
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
双十字相乘法
双十字相乘法 双十字相乘法 分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b pk+qj=e , mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式 =(mx+py+j)( nx+qy+k) 例：3x2 +5xy-2y 2 +x+9y-4= ( x+2y-1) (3x-y+4) 分解二次五项式要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例：ab+b2+a-b-2 2 2 =0X 1 x a +ab+b+a-b-2 =(0x a+b+1) (a+b-2) =(b+1) (a+b-2) 分解四次五项式提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx与ny之和。 例：2x4+13x3+20x2+11x+2 2 2 =2y +13xy+15x +5y+11x+2 =(2y+3x+1) (y+5x+2) =(2x A2+3x+1) (x A2+5x+2) =(x+1) (2x+1) (xA2+5x+2) 因式分解法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法?对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式. 例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 ?我们将上式按x降幕排列，并把y当作数，于是上式可变形为 2x2- (5+7y)x- (22y2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即2 -22y +35y-3= (2y-3 ) (-11y+1). 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以 原式=〔x+ (2y-3 )〕〔2x+(-11y+1 )〕=(x+2y-3 ) (2x-11y+1 ). 这就是所谓的双十字相乘法.也是俗称的“主元法” 用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
因式分解基础习题
因式分解 提公因式法 提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1： (1)ma+mb (2)4kx －8ky (3)5y 3+20y 2 (4)a 2b －2ab 2+ab 同步练习 (1)2a －4b; (2)ax 2+ax －4a; (3)3ab 2－3a 2b; (4)2x 3+2x 2－6x; (5)7x 2+7x+14; (6)－12a 2b+24ab 2; (7)xy －x 2y 2－x 3y 3; (8)27x 3+9x 2y.
例2： (1)a(x－3)+2b(x－3)；(2)4(x+y)3-6(x+y)2同步练习 (1)x(a+b)+y(a+b) (2)3a(x－y)－(x－y) (3)6(p+q)2－12(q+p) (4)8(a-b)4+12(a-b)5 例3： (1)2－a=__________(a－2); (2)y－x=__________(x－y); (3)b+a=__________(a+b); (4)(b－a)2=__________(a－b)2; 同步练习 (1)a(x－y)+b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2. (4)2(y－x)2+3(x－y) (5)mn(m－n)－m(n－m)2
(6)1.5(x－y)3+10(y－x)2
平方差公式法平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b) 例1：把下列各式分解因式： (1)x2－16； (2)9 m 2－4n2；(3)9a2－ 1 4 b2. 同步练习 (1)a2b2－m2 (2)25－16x2; (3)a2－81 (4)36－x2 (5)1－16b2 (6)m 2－9n2 (7)0.25q2－121p2 (8)169x2－4y2
因式分解基础测试题含答案
因式分解基础测试题含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9 B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1 C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b) D ．x 2＋1＝x 1()x x + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 错误； B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误； C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确； D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=-
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
因式分解基础练习(1)
提公因式法 提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1：【基础题型】 （1）ma+mb （2）4kx －8ky （3）5y 3+20y 2 （4）a 2b －2ab 2+ab 【巩固练习】 （1）2a －4b ; （2）ax 2+ax －4a ; （3）3ab 2－3a 2b ; （4）2x 3+2x 2－6x ; （5）7x 2+7x +14; （6）－12a 2b +24ab 2; （7）xy －x 2y 2－x 3y 3; （8）27x 3+9x 2y . 例2：【培优题型一】 （1）a （x －3）+2b （x －3）； （2）4(x+y)3-6(x+y)2 【巩固练习】： （1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x －y ）－（x －y ） （3）6（p+q ）2－12（q+p ） （4）8(a-b)4+12(a-b)5 例3：【培优题型二】 （1）2－a =__________（a －2）; （2）y －x =__________（x －y ）; （3）b +a =__________（a +b ）; （4）（b －a ）2=__________（a －b ）2; 【巩固练习】： （1）a （x －y ）+b （y －x ）； （2）6(m －n)3－12(n －m)2. （3）a （m －2）+b （2－m ） （4）2（y －x ）2+3（x －y ） （5）mn （m －n ）－m （n －m ）2 （6）1.5（x －y ）3+10（y －x ）2 （7）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） （8）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）
十字相乘法进行因式分解详案
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2 ，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例 如，322 --x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是关于ab 的二次三项 式．同样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且 a ＋ b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整
双十字相乘法精编版
双十字相乘法 分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k） 例：3x2+5xy-2y2+x+9y-4=（x+2y-1）（3x-y+4） 分解二次五项式 要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例：ab+b2+a-b-2 =0×1×a2+ab+b2+a-b-2 =（0×a+b+1）（a+b-2） =（b+1）（a+b-2） 分解四次五项式 提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。 例：2x4+13x3+20x2+11x+2 =2y2+13xy+15x2+5y+11x+2 =（2y+3x+1）（y+5x+2） =（2x^2+3x+1）（x^2+5x+2） =（x+1）（2x+1）（x^2+5x+2） 因式分解法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式 （ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作数，于是上式可变形为 2x2-（5+7y)x-（22y2-35y+3）， 可以看作是关于x的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即 -22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）． 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以 原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕 =(x+2y-3）（2x-11y+1）． 这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法” 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： ⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）； ⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
因式分解基础测试题
因式分解基础测试题 一、选择题 1．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy?（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ） A ．2x B ．-2x C ．2x-1 D ．-2x-l 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可． 【详解】 解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1． 故选：C ． 【点睛】 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化． 2．把32a 4ab －因式分解，结果正确的是（ ） A ．()()a a 4b a 4b ?+- B ．()22a a 4b ?- C ．()()a a 2b a 2b +- D ．()2a a 2b - 【答案】C 【解析】 【分析】 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a ，再对余下的多项式继续分解． 【详解】 a 3-4a b 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）． 故选C ． 【点睛】 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2x （x +3）＝2x 2+6x B ．24xy 2＝3x ?8y 2 C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1 D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ） 【答案】D 【解析】
八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)
第一章因式分解 【经典基础训练】 一、填空：（30分） 1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、则=____=____ 3、与的公因式是＿ 4、若=，则m=_______，n=_________。 5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是_____________________。 6、若是完全平方式，则m=_______。 7、 8、已知则 9、若是完全平方式M=________。10、， 11、若是完全平方式，则k=_______。 12、若的值为0，则的值是________。13、若则=_____。 14、若则___。15、方程，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式的公因式是（） A、－a、 B、 C、 D、 2、若，则m，k的值分别是（） A、m=—2，k=6， B、m=2，k=12， C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（） A、1个， B、2个， C、3个， D、4个
4、计算的值是（）A、B、 三、分解因式：（30分） 1 、 2 、 3 、4、 5、6、7、8、 9 、10、 四、代数式求值（15分） 1、已知，，求的值。 2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值 3、已知，求的值 五、计算：（15） （1）0.75（2）（3） 【经典提高训练】 1、有一个因式是，另一个因式是（） A． B． C． D． 2、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（） A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2 3、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（）A、1 B、-1 C、4或-1 D、- 4或1 4、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数 5、把代数式分解因式，结果正确的是 A． B． C． D． 6、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。 A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 7、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。
因式分解之十字相乘法专项练习题
因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x
4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x
因式分解--十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 5、=++8624x x 6、=++-+3)(4)(2b a b a 7、=+-2223y xy x 8、=--234283x x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 17、=--2024x x 18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a 20、=++221811y xy x
21、=--222265x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 26 、=-+22865y xy x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 30 、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a 32 、=--22224954y y x y x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 35、=+-2222110y xy x 36、=+-2215228n mn m 37、= --+++6)25)(35(22x x x x 38、=++-+-24)4)(3)(2)(1(x x x x (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
初中数学因式分解基础练习
` 因式分解之提公因式法 姓名____________ 一、 知识点 多项式mc mb ma ++中的每一项都含有一个相同的因式_______，我们称之为 _________.mc mb ma ++= 二、强化练习 1．a 2b ＋ab 2 ； 2．3x 2－6x 3； 3．7y 2－21y 4．3x 2＋x 5．4x ＋6 6．3mb 2－2nb 》 7．236xz xyz - 8．xy x 1052- 9．7x3y2－42x 2 y 3 10．6a 3b －9a 2b 2c 11．x x 32122+- 12．6a 3b －9a 2b 2c+3a 2 b | 13．9abc －6a 2b 2＋12abc 2 14．4a 2b – 2ab 2 + 6abc 15．8a 3b 2＋12a 2b － ab 16．m m m 216423-+- 17．－2m 3＋8m 2－12m 18．－8a 2b 2＋4a 2b －2ab 19．x b a ab b a 2223243-- 20．1+-m m x x 21．3a (x ＋y )－2b (x ＋y ) ， 22．3()()m x y n y x --- 23．7(a －3) – b (a －3) 24．()()y x y y x x ---2 25．()()()()q p n m q p n m -+-++ < 26．324(1)2(1)q p p -+- 27. (2a ＋b )(2a －3b )－3a (2a ＋b )
因式分解之公式法姓名____________ 一、— 一、知识点 1.平方差公式：a2－b2=___________ 2.完全平方公式：a2＋＋1＝(a＋1)2 ； a2－＋1＝(a－1)2. 二、强化练习 1. 依葫芦画瓢： 平方差： （1）x2－4＝x2－22＝ (x＋2)(x－2) ; （2）x2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a2＝( )2－( )2＝ ( )( ) 完全平方： （1）a2＋6a＋9＝a2＋2××＋( )2＝( )2（2）a2－6a＋9＝a2－2××＋( )2＝( )2 2. 辨析，下面那些多项式可以使用公式法。 平方差：（1）x2－y2（2）x2+y2（3）－x2－y2 . （4）－x2+y2（5）64－a2（6）4x2－9y2完全平方：（1）a2－4a+4 （2）x2+4x+4y2 # （3）4a2+2ab+ 1 4 b2（4）a2－ab+b2（5）x2－6x－9 （6）a2+a+ ￥ 3．将下列多项式进行因式分解 （1） 36－25x2（2） 16a2－9b2（3） 4 9 m2－ （4）4a2－16 （5）a5－a3 （6）x4－y4 （7）32a3－50ab2（8）x2＋10x＋25 （9）4a2＋36ab＋81b2（10）－4xy－4x2－y2 （11）9m2－6mn＋n2 （12） 4 9 x2＋y2－ 4 3 xy
因式分解公式大全
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有
人教版初中数学因式分解基础测试题含答案
人教版初中数学因式分解基础测试题含答案 一、选择题 1．已知：3a b +=则2225a a b b ab -+-+-的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．11 D ．11- 【答案】A 【解析】 【分析】 将2225a a b b ab -+++-变形为（a+b ）2-（a+b ）-5，再把a+b=3代入求值即可. 【详解】 ∵a+b=3， ∴a 2-a+b 2-b+2ab-5 =（a 2+2ab+b 2）-（a+b ）-5 =（a+b ）2-（a+b ）-5 =32-3-5 =9-3-5 =1， 故选：A ． 【点睛】 本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 3．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )
A ．22m n -- B ．2216x y -+ C ．22b a - D ．22449a n - 【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断． 【详解】 下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --． 故选A ． 【点睛】 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+ B ．21x x ++ C ．21x x -- D ．21x x +- 【答案】B 【解析】 解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ． 5．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61、63 B ．61、65 C ．61、67 D ．63、65 【答案】D 【解析】 【分析】 由()()()()()() 24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得. 【详解】 解：原式()()24242121=+-， ()()()()()()() ()()24 12122412662412 212121212 1212163652121=++-=+++-=??++ ∴这两个数是63,65. 选D. 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键. 6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2x （x +3）＝2x 2+6x B ．24xy 2＝3x ?8y 2
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 例3、因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 例6、因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。 因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a 解：原式=[-2][ -12] =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4) 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 因式分解的一点补充——十字相乘法 宜昌九中尤启平 教学目标 1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 教学过程设计 一、导入新课 前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).