2006-2015年全国初中数学联赛试题(无答案)
2006年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题
1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S 1、p 1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设1
11,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是( )．
(A) 1k k 、均为常值 (B)k 为常值，1k 不为常值
(C)k 不为常值，1k 为常值 (D)1k k 、均不为常值
2．已知m 为实数，且ααcos sin 、
是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则+?α4sin α4cos 的值为( )． (A)92 (B)31 (C)97 (D)1
3．关于x 的方程a x x =-|1
|2
仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是( )． (A)a ＞0 (B)a≥4 (C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜4
4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是( )．
(A)a c b >> (B)b a c >> (C)c b a >> (D)c a b >>
5．b a 、为有理数，且满足等式324163++?=
+b a ,则b a +的值为( )． (A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( )．
(A)2000
(B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空题
7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于．
8．在等腰ABC Rt ?中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝．
9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为．
10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ?????=?。就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为．
注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A 卷
一、已知关于x 的一元二次方程2222(23)(499)0x a b x a b ++++++=无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?
二、如图l ，D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．
三、如图2，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为△CEF 、△ABE 的外心．求证：
(1)O 、E 、O 1三点共线； (2).21ABC OBD ∠=
∠
B 卷
一、(20分)同A 卷第一题．
二、(25分)同A 卷第二题．
三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别
为△CEF 、△ABE 的外心．
(1)求证：O 、E 、01三点共线；
(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．
C 卷
一、(20分)同A 卷第二题．
二、(25分)同B 卷第三题．
三、(25分)设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明：
(1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数．
2007年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z
y y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）
31. （C ）31-. （D ）2
1. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式22
11x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）
（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.
3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x b
a y ----=在1=x 时取最小值
b 5
8-，则△ABC 是 （ ）
（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.
4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）
（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°.
5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）
（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）3
2.
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）
（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）5
2.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1. 设121
-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 33
3_______. 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ）
，则)2)(2(122--b a )
2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =_______.
3.已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为_________.
4．若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是_______.
第二试（A ）
一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的
图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.
二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .
三、（本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(2
3=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.
第二试（B ）
一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个
交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.
二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数x
y 56=
，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.
第二试（C ）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.
二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数x
a y 311-=
的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.
A B C
D E F M
N P
2008年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22
11a b +的值为（） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.
2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，
3EF =，
则线段BE 的长为（） )
(A 185. )(B 4. )(C 215
.)(D 245. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）
)(A 15. )(B 310
. )(C 25. )(D 12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=?，132ACB ∠=?，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）
)(A BM CN >. )(B BM CN =.
)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）
)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98
.
6．已知实数,x y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（）
)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-.)(D 1.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．设a =，则5432322a a a a a a a +---+=-__________.
2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=?，则四边形AMCN 的面积为__________.
3．已知二次函数2
y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标
分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分
别为p ，q ，则p q +=__________.
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是.
第二试（A ）
一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式
(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥
恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.
二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.
（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.
（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.
三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且
29(2)509(4511)a b a b +=+
求a ，b 的值.
第二试（B ）
一．（本题满分20分）已知22
1a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥（1）
恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试（C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足
29(22)509(41022511)2
a b c a b c b c ?+-=+-?-=?(1)(2) 求()a b c +的值.
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.
设1a =，则32312612a a a +--=（）
A.24.
B. 25.
C. 10
.D. 12.
2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）
A.10
.C.
3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ）
A.1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（） A.314.B. 37.C. 12.D. 47.
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半
圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（）
A.323.C. 13
.D. 10
.
6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n
--为完全平方数的n 的个数是（） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.
2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.
3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.
4．已知,a b
是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 第二试
D
C
一．（本题满分20分）已知二次函数2
(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.
二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.
三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：
32a b c ++= ①
14
b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②
.
2010年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（）
A ．1.
B ．2.
C ．3.
D ．4.
2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（）
A ．0.
B ．1.
C ．2.
D ．3.
3．若b a ,是两个正数，且
,0111=+-+-a b b a 则（） A ．103a b <+≤
.B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（）
A ．－13.
B ．－9.
C ．6.
D ． 0.
5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )
A ．15°.
B ．20°.
C ．25°.
D ．30°.
6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （）
A ．28062.
B ．28065.
C ．28067.
D ．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,
x y x y ?+=?+=?则22x y +=.
2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，?=∠30CAO ，则c =．
3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝______．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.
第二试（A ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足222
13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数2
y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .
（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.
（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
第二试（B ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足222
13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试（C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的
两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．
2011年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知2=+b a ，4)1()1(2
2-=-+-a
b b a ，则ab 的值为（） A ．1.B ．1-.C ．2
1-.D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （）
A ．5.
B ．6.
C ．7.
D ．8.
3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）
A ．5组.
B ．7组.
C ．9组.
D ．11组.
5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，?=∠60DAB ，?=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （）
A ．21+.
B ．6.
C ．132-.
D ．31+.
6．已知
2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则z
y x 432++的值为（） A ．1.B ．23.C ．2.D ．2
5.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．
2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2．
3．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为．
4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 4
3=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝．
F
B A
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有
一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，90ABC ∠=?，120BCD ∠=?，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）?=∠30PBD ；（2）DC AD =．
三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若?=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．
（1）证明：3+=+p n m ；
（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．
第二试（B ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，90ABC ∠=?，120BCD ∠=?，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．
三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若?=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．
三．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同.
2012年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．
已知1a =
，b =
2c =，那么,,a b c 的大小关系是（）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.b c a <<
2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）
A
D
4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（）
A ．18-
B ．0
C ．1
D ．
98 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（）
A ．0
B ．34-
C ．1-
D ．54
- 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（）
A ．36个
B ．40个
C ．44个
D ．48个
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a +
=+=+=，则t =_________． 2．使得521m ?+是完全平方数的整数m 的个数为．
3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则
BC AP
＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝．
第二试（A ）
一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.
二、如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：
2AD BD CD =?．
三、已知抛物线216
y x bx c =-
++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.
第二试（B ）
一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.
二、如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB ．
三、已知抛物线216
y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.
将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.
2013年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.计算=（）
（A 1 （B ）1 （C （D ）2 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=
，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB=（）
（A ）2 （B （C ）（D ）3 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2，
AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（）
（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（）
（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=
2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=
3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠== ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为
4.如果实数,,x y z 满足()222
8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为
第二试（A ）
一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2
222223236,a c b d ad bc +=+=-=求 ()()2222a b c d ++的值。
二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B 、C 作圆O 的切线，交于点P ，连AC ，若9
2O P A C =，
求PB AC
的值。 三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式
()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值。
第二试（B ）
一、（本题满分20分）已知1t =，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值。
二、（本题满分25分）在ABC ?中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ?的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。求证：
（1）OI ∥BC ；
（2）2AOC AOB AOI S S S ???-=。
三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足222
2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++= ? ? ???????，求代数式222222222
222b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+-++的值。
2014年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知,x y 为整数，且满足22441
111211()()()3x y x y x y
++=--，则x y +的可能的值有（） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （）
A ．47
B ．59
C ．916
D ．1225
3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（）
A ．2
B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （）
A ．12
B ．25
C ．23
D ．34
5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +
=，则1{}{}x x +=（）
A ．12
B ．3
C ．1(32
- D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=?，60A ∠=?，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形,90ADE ∠=? ,则BE 的长为（）
A ．4-
B ．2
C ．11)2
D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，
1111a b c b c a c a b ++=+-+-+-，则abc =____． 2．使得不等式981715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠=．
4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2
b a
c =，则b =．
第二试
一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22
(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求22
11a b +的值． 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．