中考二次函数压轴题

中考二次函数压轴题
中考二次函数压轴题

1.(广东省深圳市)已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).

(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.

(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.

①当△BDE是等腰三角形时,直接写出

....此时点E的坐标.

②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.

x 图1

x

图2

x

图3

2.(广西柳州市)如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴的一个交点为B(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.

(1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;

(2)以AD为直径的圆经过点C.

①求抛物线的解析式;

②点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的

四边形为平行四边形,求点F的坐标.

3.(广西梧州市)如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,-2)两点,与y 轴交于点D,与x轴交于另一点B.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)若直线y=kx+1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;

(3)如图2,过点E(1,1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ (点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥x轴于点G,若线段MG:AG=1:2

图1

图2

4.(广西贺州市)如图,抛物线y =-

4

1x 2

-x +2的顶点为A ,与y 轴交于点B . (1)求点A 、点B 的坐标;

(2)若点P 是x 轴上任意一点,求证:P A -

(3)当P A -PB 最大时,求点P 的坐标.

5.(广西钦州市)如图,已知抛物线y =

43x 2

+bx +c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(-1,0),过点C 的直线y =t

43

x -3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上

的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H .若PB =5t ,且0<t <1.

(1)填空:点C 的坐标是___________,b =_______,c =_______; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);

(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所有t 的值;若不存在,说明理由.

6.(广西贵港市)如图所示,抛物线y =ax

2

+bx +c (a ≠0)的图象交x 轴于点A 和点B (-2,0),与y 轴的负半轴交于点C ,且线段OC 的长度是线段OA 的长度的2倍,抛物线的对称轴是直线x =1.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若过点(0,-5)且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,以线段MN 为一边,

抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P (x ,y )为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S ,请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式; (3)当0<

x

3

10

时,(2)中平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.[注:抛物线y =ax

2

+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(-a

b

2,a b ac 442

-),对称轴为x =-a

b

2]

7.(广西来宾市)当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.

(1)求该抛物线的关系式;

(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;

(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y 轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,则说明理由.

8.(广西河池市)如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,?抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;

(2)在平面直角坐标系xO y中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM 把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.

9.(广西崇左市)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B.

(1)求点B的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P

10.(广西北海市)如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-3),且在x轴上截得的线段AB的长为6.

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P在y轴上,且使得△P AC的周长最小,求:

①点P的坐标;

②△P AC的周长和面积;

(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

11.(湖南省长沙市)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,3).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.

(1)求实数a,b,c的值;

(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN 沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

12.(湖南省岳阳市)如图,已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(1,0),与y轴交于点C(0,-2),直线x=m(m>1)与x轴交于点D.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?若存在,请求出点Q

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM 有最大面积,求矩形PNDM的面积最大值? 2、如图,二次函数的图象经过点D(0, 3 9 7 ),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(1 2 , 5 2 )和B(4,m),点P是线段AB 上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.

4、如图,二次函数y=a+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值。 5、如图1,对称轴x=为直线的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在轴上是否存在这样有点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.

精选中考二次函数压轴题[附答案解析]

精选中考二次函数压轴题(含答案) 1.如图,二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3,与x 轴交于A 、B 两点. ⑴求c 的值; ⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式; ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用) 2.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EF BC ; (2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; (3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式. 3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16 x 2+bx +c 过O 、A 两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C 不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由 4.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC =23.设直线AC (第2(图1) (图

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:

解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

《二次函数热点压轴题》

第一部分:以“增减性”为主导的综合问题 【典型例题1】 在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1. (1)用含a 的式子表示b ,并求抛物线的顶点坐标; (2)已知点()0,4A -,()2,3B -,若抛物线与线段AB 没有公共点,结合函数图象, 求a 的取值范围; (3)若抛物线与x 轴的一个交点为C (3,0),且当m ≤x ≤n 时,y 的取值范围是 m ≤y ≤6,结合函数图象,直接写出满足条件的m ,n 的值 . 二次函数热点压轴题

【变式与拓展】 1.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ,过点B (0,t )作与y 轴垂直的直线l ,分别交抛物线于E ,F 两点,设点E (x 1,y 1),点F (x 2,y 2)(x 1<x 2). (1)求抛物线顶点C 的坐标; (2)当点C 到直线l 的距离为2时,求线段EF 的长; (3)若存在实数m ,使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立,直接写出t 的取值范围.

2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线223 y x bx =-+-的对称轴为直线x=2. (1)求b的值; (2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2), 其中 12 x x<. ①当 213 x x-=时,结合函数图象,求出m的值; ②把直线PB下方的函数图象,沿直线PB向上翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,44 y -≤≤,求m的取值范围.

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后,最后一题普遍为抛物线和几何结合(主要是与三角形结合)的 代数几何综合题,计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔,而代数题则可以 想到哪里写到哪里,这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此,课改之后,武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少,而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨,因此也会继续下去。要做好这最后一题,主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点,一是要加强本身的观察力,二 是需要在平时要多积累一些好的算法,并能够熟练运用,最后就是培养计算的耐 心,做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 (1)第一问通常为求点坐标、解析式:本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式,属于送分题。 (2)第二问为代数几何综合题,题型不固定。解题偏代数,要求学生能够熟练 掌握函数的平移,左加右减,上加下减。要求学生有较好的计算能力,能够把题 目中所给的几何信息进行转化,得到相应的点坐标,再进行相应的代数计算。 (3)第三问为几何代数综合,题型不固定。解题偏几何,要求学生能够对题目 所给条件进行转化,合理设参数,将点坐标转化为相应的线段长,再根据题目条 件合理构造相似、全等,或者利用锐角三角函数,将这些线段与题目构建起联系, 再进行相应计算求解,此处要求学生能够熟练运用韦达定理,本小问综合性较强。
在我们解题时,往往有一些几何条件,我们直接在坐标系中话不是很好用, 这时我们需要对它进行相应的条件转化,变成方便我们使用的条件,以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件:a.不规则图形先进行分割,变成规则的图形面积;b.在第一 步变化后仍不是很好使用时,根据同底等高,或者等底同高的三角形面积相等这 一性质,将面积进行转化;c.当面积转化为一边与坐标轴平行时,以这条边为底, 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件:找到所有与这些角相等的角,以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数,转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. (2012 武汉中考)如图 1,点 A 为抛物线 C1:y= x2﹣2 的顶点,点 B 的坐标为(1,
0)直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

人教版中考数学压轴题型24道:二次函数专题含答案解析

人教版中考数学压轴题24道:二次函数专题 1.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当=时,求t的值; (3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标; (3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B. (1)求抛物线解析式及B点坐标; (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积; (3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位

置时,PC+PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由. 4.已知函数y =(n 为常数) (1)当n =5, ①点P (4,b )在此函数图象上,求b 的值; ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A (2,2)、B (4,2),当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围. (3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4,求n 的取值范围. 5.在平面直角坐标系 xOy 中(如图),已知抛物线 y =x 2 ﹣2x ,其顶点为A . (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” . ①试求抛物线y =x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y =x 2﹣2x ,使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”,其对称轴 与x 轴交于点C ,且四边形OABC 是梯形,求新抛物线的表达式.

2019年中考二次函数压轴题整理

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 平行四边形类 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式. (2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积. (3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O. (1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B 的两条性质. 5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上. (1)求抛物线顶点A的坐标; (2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;

全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)

1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4, 抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于 点F,当线段EF的长度最大时,求点E、F的坐标; (3)在(2)的条件下:在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,关于x的二次函数y=x2+b x+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求二次函数的表达式; (2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标; (3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积. 3.如图,已知二次函数y=ax2+b x+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2) 三点. (1)求该二次函数的解析式; (2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标; (3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值. 4.如图1,已知二次函数y=ax2+b x+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A (4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.

中考二次函数压轴题及答案

二次函数压轴题精讲 1.二次函数综合题 (1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项. (2)二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件. (3)二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.

例1. 已知:如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B,将∠对折,使点O的对应点H落在直线上,折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为D,在直线上是否存在点P,使得四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; (3)设抛物线的对称轴与直线的交点为T,Q为线段上一点,直接写出﹣的取值范围.

2.如图,直线2与抛物线26(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线 段上异于A、B的动点,过点P作⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△为直角三角形时点P的坐标.

2019中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ; (3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标; (2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 图2

2.(2010绵阳)如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G . (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积. 3.(2012铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由. 题型二:构造直角三角形 【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,C E D G A x y O B F

中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ;

2018年中考数学二次函数压轴题汇编

1.如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B. (1)求点B的坐标和抛物线的解析式; (2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P,N. ①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标; ②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值. 2.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′. (1)求抛物线C的函数表达式; (2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围. (3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.

3.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M 的关联点. (1)当⊙O的半径为2时, ①在点P1(,0),P2(,),P3(,0)中,⊙O的关联点是. ②点P在直线y=﹣x上,若P为⊙O的关联点,求点P的横坐标的取值范围.(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围. 4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A(1,0),B (3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C. (1)求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式; (2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x 轴的垂线,垂足为E,连接BD.

中考二次函数压轴题解题技巧

中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来,最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较,发现26题基本设有三小问,第一问基础为主(3到4分),多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点,第二问为中等档次(4分),多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似,第三问区分度较大,拉开距离的小问(4到5分),多以动点类结合,构成四边形、三角形,此问涉及面广,有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合,出题范围广,但万变不离其宗,抓住其中关键性质,利用好代数式,80%的分值可以拿到手,现将压轴题的各种解法思路罗列出来,望各位同学有针对性的去查漏补缺,做到1得2拿3取半。 几个自定义概念: ① 三角形基本模型:有一边在X 轴或Y 上,或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点(或不确定点)坐标“一母示”:借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点P 在y=2x+1上, 就可设 P (t, 2t+1).若动点P在y=2 321x x -+,则可设为P (t ,2 321t t -+)当然若动点M 在X 轴上,则设为(t, 0).若动点M 在Y轴上,设为()t ,0 ③ 动三角形:至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段:其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线:其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如:63-=x y 。 ⑦ X 标,Y 标:为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x 标,纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点:相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题: 借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来; 然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴(y 轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。 2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题: 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t ),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下 上或 21y y -,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的 性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:

(完整版)2017中考二次函数压轴题专题分类训练

2017中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例1】如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ; (3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =8 9 S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标; (2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 图2

2.如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点 C ,顶点为 D . E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F 、 G . (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积. 3.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由. C E D G A x y O B F

二次函数中考压轴题附答案(整理)

中 考 压 轴 题 1、如图,Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上,O 为坐标原 点,A 、B 两点的坐标分别为(3-,0)、(0,4),抛物线223 y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52 x =上. (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l .求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标.

解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴225 4()32 m =?-+ ∴1 6 m =- ∴所求函数关系式为:22251210 ()432633 y x x x =--=-+ (2)在Rt △ABO 中,OA =3,OB =4, ∴5AB = ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). 当5x =时,2210 554433y = ?-?+= 当2x =时,2210 224033 y =?-?+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上. (3)设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+,则 5420k b k b +=?? +=? 解得:48,33k b ==-.∴48 33y x =- ∵MN ∥y 轴,M 点的横坐标为t , ∴N 点的横坐标也为t . 则2210433M y t t =- +, 4833 N y t =-, ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ?? =-=---+=-+-=--+ ??? ∵203-<, ∴当72t =时,32l =最大, 此时点M 的坐标为(72,12 )

中考数学专题训练二次函数压轴题

中考数学专题训练二次函数压轴题 1. 如图①,抛物线y=ax2+(a+2)x+2(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点P(m,0)(0

∵OP =m , ∴AP =4-m , ∵PM ⊥x 轴, ∴△OAB ∽△PAN , ∴OB OA =PN PA ,即24=PN 4-m , ∴PN =1 2(4-m ), ∵M 在抛物线上, ∴PM =-12m 2+3 2m +2, ∵PN ∶MN =1∶3, ∴PN ∶PM =1∶4, ∴-12m 2+32m +2=4×1 2(4-m ), 解得m =3或m =4(舍去), 即m 的值为3; (3)如解图,在y 轴上取一点Q ,使OQ OP 2=32 ,

第1题解图 由(2)可知P 1(3,0),且OB =2, ∴OP 2OB =3 2 ,且∠P 2OB =∠QOP 2, ∴△P 2OB ∽△QOP 2, ∴QP 2BP 2=OP 2OB =32 , ∴当Q (0,92)时,QP 2=3 2BP 2, ∴AP 2+3 2 BP 2=AP 2+QP 2≥AQ , ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时,AP 2+QP 2有最小值, 又∵A (4,0),Q (0,9 2), ∴AQ = 42 +(92)2=1452 , 即AP 2+32BP 2的最小值为145 2 . 2. 如图,已知二次函数y =ax 2+bx +4的图象与x 轴交于

(完整版)2017年中考数学二次函数压轴题(答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M 的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合. 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:

, 解得; 故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标. 考点:二次函数综合题.. 专题:压轴题;转化思想. 分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

中考二次函数难题压轴题中考精选

二次函数中考题精选 1、41、(2009年枣庄市)如图,抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B . (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上求点M ,使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍; (3)连结OA ,AB ,在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ,使△OBN 与△OAB 相似?若存在,求出N 点的坐标;若不存在,说明理由. 2、(2009年株洲市)已知ABC ?为直角三角形,90ACB ∠=?,AC BC =,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(0m >),线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过点B 、D . (1)求点A 的坐标(用m 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:()FC AC EC +为定值. y x Q P F E D C B A O y x O A B 第24题图

3、(2009年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格y (元)与周次x 之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z (元)与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z , 1≤ x ≤11,且x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每 件获得利润最大?并求最大利润为多少? 4、(2009年重庆市江津区)抛物线c bx x y ++-=2 与x 轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.

中考二次函数压轴题及答案

26. (彬州市)如图(1),抛物线42 y x x =+-与y 轴交于点A ,E (0,b )为y 轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C . b ;若 分 (2)当b =0时,直线为y x =,由2 4 y x y x x =??=+-?解得1122x y =??=?,222 2x y =-??=-? 所以B 、C 的坐标分别为(-2,-2),(2,2) 1 4242 ABE S =??=,1 4242 ACE S =??= 所以ABE ACE S S =当4b >-时,仍有ABE ACE S S =成立. 理由如下 由2 4y x b y x x =+??=+-?,解得11x y b ?=??=??,22x y ?=??=??所以B 、C b 作BF y ⊥轴,CG y ⊥轴,垂足分别为F 、G ,则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形, 所以ABE ACE S S =. (3)存在这样的b . 因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=? 所以BEF CEG ?

所以BE CE =,即E 为BC 的中点 所以当OE =CE 时,OBC 为直角三角形 …………………..8分 因为GE b b GC =-== 所以 CE = OE b = b =,解得124, 2b b ==-, 所以当b =4或-2时,ΔOBC 为直角三角形.………………….10分 25.(常德)如图9,已知抛物线2 12 y x bx c x =++与轴交于点A (-4,0)和B (1,0)两点,与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式; (2)设E 是线段AB 上的动点,作EF ∥AC 交BC 于F ,连接CE ,当CEF 的面积是BEF 面积的2倍时,求E 点的坐标; (3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点,过P 作y 轴的平行线,交AC 于Q ,当P 点运动到什么位置时,线段PQ 的值最大,并求此时P 点的坐标. 25.解:(1)由二次函数2 12 y x bx c = ++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得: 221 (4)402 1102 b c b c ?--+=??? ??++=??,. 解得: 322b c ?=???=-?,. 故所求二次函数的解析式为213 222 y x x =+-.………………3分 (2)∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1 .3 BF BC =………………4分 ∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ , ∴△BEF ~△BAC , ………………5分 图9 x

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