数学建模十大经典算法

数学建模十大经典算法
数学建模十大经典算法

建模十大经典算法

1、蒙特卡罗算法。

该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。

建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。

4、图论算法。

这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。

这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中。

6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。

7、网格算法和穷举法。

网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。

8、一些连续离散化方法。

很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9、数值分析算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10、图象处理算法。

赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图

形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理。

历年全国数学建模试题及解法

赛题解法

93A非线性交调的频率设计拟合、规划

93B足球队排名图论、层次分析、整数规划

94A逢山开路图论、插值、动态规划

94B锁具装箱问题图论、组合数学

95A飞行管理问题非线性规划、线性规划

95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论

96A最优捕鱼策略微分方程、优化

96B节水洗衣机非线性规划

97A零件的参数设计非线性规划

97B截断切割的最优排列随机模拟、图论

98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划

98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化

99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟

99B钻井布局0-1规划、图论

00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题

01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建

01B 公交车调度问题多目标规划

02A车灯线光源的优化非线性规划

02B彩票问题单目标决策

03A SARS的传播微分方程、差分方程

03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题

04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化

04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化

05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理

05B DVD在线租赁随机规划、整数规划

06A 出版资源配置

06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交,看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨

09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B

赛题发展的特点:

1.对选手的计算机能力提出了更高的要求:赛题的解决依赖计算机,题目的数据较多,手工计算不能完成,如03B ,某些问题需要使用计算机软件,01A 。问题的数据读取需要计算机技术,如00A (大数据),01A (图象数据,图象处理的方法获得),04A (数据库数据,数据库方法,统计软件包)。计算机模拟和以算法形式给出最终结果。

2.赛题的开放性增大 解法的多样性,一道赛题可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。

3.试题向大规模数据处理方向发展

4.求解算法和各类现代算法的融合

从历年竞赛题来看,常用的方法:

线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 层次分析法 图论方法 拟合方法 插值方法 随机方法 微分方程方法

各种算法的详解

一、蒙特卡洛算法

1、含义的理解

以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法,是指使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法,它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。 2、算法实例(有很多相似的例题,包括平行线等)

在数值积分法中,利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形,它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1,从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢?一个办法是在正方形中随机投入很多点,使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 2

2

1x y +≤ 。

已知:K=

1s s ,K ≈m n ,s=1,s1=4

Pi ,求Pi 。 由1s m s n ≈,知s1≈*m s n =m n , 而s1=4

Pi ,则Pi=*4m n

程序:(该算法可以修改后用Mathematica 计算或者Matlab )

/* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用:VC++6.0 */ #include #include #include

#define COUNT 800 /*循环取样次数,每次取样范围依次变大*/ void main() {

double x,y; int num=0; int i;

for(i=0;i

x =rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767,包含在中*/ y =rand()*1.0/RAND_MAX; i f((x*x+y*y)<=1)

num++; /*统计落在四分之一圆之内的点数*/ }

printf("Pi 值等于:%f\n",num*4.0/COUNT); }

结果:

测试6次的结果显示:

循环取样次数 求得的Pi 值 800 3.085000 8000 3.110000 80000 3.135200 800000 3.139150 8000000

3.141393

80000000 3.141321

可以看出:随着点数的增加,求得的Pi 值渐渐接近真实值。

如果加入程序:srand(time(NULL)); ,同时循环取样次数一定,让取样结果随时间变化,当取样次数为80000000时,可得6次的结果显示:

3.141290 3.141400 3.141268 3.141484 3.141358 3.141462 3、应用的范围

蒙特·卡罗方法在金融工程学,宏观经济学,计算物理学(如粒子输运 计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 4、参考书籍

[1]蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 [2]蒙特卡罗方法引论

二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

(1)数据拟合

在Mathematica 中,用Fit 对数据进行最小二乘拟合:Fit[data ,funs ,vars ] 在Matlab 中,工具箱(toolboxes )中有曲线拟合工具(curve Fitting )。 实例:

2010年苏北赛B 题 温室中的绿色生态臭氧病虫害防治 中关于中华稻蝗密度与水稻减产率之间的关系可以通过数据拟合来观察(简单举例,没有考虑全部数据) 数据:

密度(头/m 2

) 3 10 20 30 40 减产率(%) 2.4

12.9

16.3

20.1

26.8

程序(Mathematica ):

data={{3,2.4},{10,12.9},{20,16.3},{30,20.1},{40,26.8}}; a1=Fit[data,{1,x,x^2,x^3},x]

Show[ListPlot[data,Filling->Axis],Plot[{a1},{x,0,60}]] 结果:

-3.68428+2.38529 x-0.0934637 x 2+0.00132433 x 3

(2)参数估计(参考书:概率论与数理统计)

参数估计为统计推断的基本问题,分为点估计和区间估计。 点估计: ①矩估计法

X 连续型随机变量,概率密度12(;,,)n f x θθθ

X 为离散型随机变量 分布律12{}(;,,,)k P X x p x θθθ==

12,,,k θθθ 为待估参数,12,,n X X X 是来自X 的样本,假设总体X 的前k 阶矩存在,为

12()(;,,)l

l l n E X x f x dx μθθθ∞

-∞

==? (X 连续型)

或1

2

()(;,,,)X

l l

l k

x R E X x p x μθθθ∈==

∑ (X 离散型)1,2,,l k = (其中X

R

是X 可能取

值的范围)。一般来说,它们是12,,,k θθθ 的函数。基于样本矩1

1n l

l i i A X n ==∑依概率收敛

于相应的总体矩(1,2,)l l k μ= ,样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数,我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量,而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。这种估计方法成为矩估计法。 ②最大似然估计法

X 连续型随机变量 似然函数 121

()(,,,;)(;)n n i

i L L x x x f x θθθ===∏ 其中1

(;)

n

i

i f x θ=∏是来自X 的样本12,,n X X X 的联合密度。

X 为离散型随机变量 似然函数121

()(,,,;)(;),n

n i

i L L x x x p x θθθθ===

∈Θ∏ 其中

1

(;)n

i

i p x θ=∏是来自X 的样本12,,n

X X X

的联合分布律。

若1212?()(,,,;)max (,,,;)n n

L L x x x L x x x θθθθ∈Θ

== 则称12?(,,,)n x x x θ 为θ的最大似然估计值,称12?(,,,)n

X X X θ 为θ的最大似然估计量。 这样,确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了。

估计量的评选标准为:(1)无偏性(2)有效性(3)相合性 区间估计:

对于一个未知量,人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需要估计误差,即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围)。这样的范围常以区间的形式给出,同时还给出此区间包含参数真值的可信度,这种形式的估计称为区间估计,这样的区间即所谓置信区间。

正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为1-α)

一个正态总体

未知参数

其他参数

枢轴量的分布

置信区间

μ

2

σ已知

(0,1)/X Z N n

μσ-=

/2()X z n

ασ

±

μ

2

σ未知

(1)/X t t n S n

μ-=-

/2((1))S

X z n n

α±

- 2

σ

μ未知

2

2

22

(1)(1)n S n χχσ

-=

-

2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)

n S n S n n ααχχ-----

另外还包括两个正态总体的情况, 其他区间估计:(0-1)分布参数的区间估计 (3)插值 1、含义的理解

在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值(与拟合的不同点在于拟合的函数不需通过每一个离散点)。

插值问题的提法是:假定区间[a ,b ]上的实值函数f (x )在该区间上 n +1个互不相同点x0,x1…xn 处的值是f [x0],…f (xn ),要求估算f (x )在[a ,b ]中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n +1个参数C0,C1,…Cn 的函数类Φ(C0,C1,…Cn)中求出满足条件P (xi )=f (xi )(i =0,1,… n )的函数P(x),并以P()作为f()的估值。此处f (x )称为被插值函数,x0,x1,…xn 称为插值结(节)点,Φ(C0,C1,…Cn)称为插值函数类,上面等式称为插值条件,Φ(C0,…Cn )中满足上式的函数称为插值函数,R (x )= f (x )-P (x )称为插值余项。当估算点属于包含x0,x1…xn 的最小闭区间时,相应的插值称为内插,否则称为外插。 2、基本类型 多项式插值

在一般插值问题中,若选取Φ为n 次多项式类,由插值条件可以唯一确定一个n 次插值多项式满足上述条件。拉格朗日插值和牛顿插值都属于多项式插值。 拉格朗日插值:

设连续函数y = f (x )在[a, b]上对给定n + 1 个不同结点:

01,,,n x x x 分别取函数值01,,,n y y y

其中 ()i i y f x = 0,1

,,i n = (1) 试构造一个次数不超过 n 的插值多项式

2012()n

n n P x a a x a x a x =++++ (2)

使之满足条件 ()n i i P x y = 0,1,2,,i n = (3) 构造n 次多项式()k l x 0,1

,,k n = 使 ()k l x =1, k=i

0, k i ??

≠?

(4)

由 1

()()n

n i k k

i

i

k P x y l x y ==

=∑ 0,1,2,,i n =

(5) 即 ()n P x 满足插值条件,于是问题归结为具体求出基本插值多项式()k l x 。 根据(4)式()k l x 以外所有的节点都是()k l x 的根,因此令

0111()()()()()()k k k n l x x x x x x x x x x x λ-+=-----

()n

j

j j k

x x λ

=≠=-∏

又由()k l x =1,得:

01111

()()()()()

k k k k k k k n x x x x x x x x x x λ-+=

-----

所以有01110111()()()()()

()()()()()()

k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+-+-----=

-----

0n

j

j k

j

j k

x x x

x =≠-=

-∏

代入(5)得 拉格朗日插值多项式为:

000()()n

n

n j

n k k k k k j k j j k

x x P x l x y y x x ===≠??- ?== ?- ???

∑∑∏ 牛顿插值:

(拉格朗日插值的缺点)拉格朗日插值公式的形式虽然有一定的规律, 但是当增加一个节点时,不仅要增加项数,而且以前各项也必须重新全部计算,不能利用已有的结果。为克服这一缺点,我们取用另一种形式――牛顿插值公式。 牛顿插值公式中用到了差商。一般称:

01112010[,,,][,,,]

[,,,]n n n n

f x x x f x x x f x x x x x --=

-

为()f x 在01,,,n x x x 处的n 阶差商。

差商可列表计算:

xi yi 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 x0 f (x0)

x1 f (x1) f [x0, x1]

x2 f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

x3 f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3]

x4 f (x4) f [x 3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4] f [x0,…, x4] 由差商定义可知

2001001201P ()()[,]()[,,]()()x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--

由差商定义可求得

000101012011010101()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]()()()[,,,,]

n n n n f x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x -=+-+--++---+---

00010101201101()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]

n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---

0101()()()()[,,,,]

n n n R x x x x x x x f x x x x =---

()()()n n n f x N x R x =+

其中()n N x 称为n 次牛顿插值多项式,()n R x 是截断误差。 最终我们可以证明()n N x 满足插值条件 ()()n i n i N x f x = 0,1,2,,i n = 因此有 ()()n n n n

N x f x =

牛顿插值公式的优点是:当增加一个节点时,只要再增加一项就行了,即有递推式

101011()()()()()[,,,,]k k k k k N x N x x x x x x x f x x x x ++=+---

当然,与拉格朗日插值相比它还有节省运算次数的优点(尤其是节省乘法运算次数)。 分段插值与样条插值

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象,在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度 埃尔米特插值

许多实际插值问题中,为使插值函数能更好地和原来的函数重合,不但要求二者在节点上函数值相等,而且还要求相切,对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等。这类插值称作切触插值,或埃尔米特(Hermite)插值。满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式 三角函数插值

当被插函数是以2π为周期的函数时,通常用n 阶三角多项式作为插值函数,并通过高斯三角插值表出。

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划

(1)线性规划

1、含义的理解

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅

助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学

理论和方法,英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。

在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立

(1)列出约束条件及目标函数(2)画出约束条件所表示的可行域(3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值(实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数;

3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。)

所建立的数学模型具有以下特点:

(1)、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。

(2)、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。

(3)、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

3、实例

生产计划问题

问题:

某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品,这个企业现有的生产资料是:设备18台时,原材料A :4吨,原材料B:12吨;已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多?

甲乙资源量

产品

资源

设备/台时3218

原料A/吨104

原料B/吨0212

单位赢利/万元35

设x1为甲产品分配的设备台数,x2为乙产品分配的台数。则

条件限制为:

3*x1+2*x2≤18

1*x1+0*x2≤4

0*x1+2*x2≤12

x1≥0,x2≥0

求max z=3*x1+5*x2

用lingo编程,程序如下:

max=3*x1+5*x2;

3*x1+2*x2<=18;

x1<=4;

x2<=6;

x1>=0;

x2>=0;

结果为:

Global optimal solution found.

Objective value: 36.00000

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

X1 2.000000 0.000000

X2 6.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 36.00000 1.000000

2 0.000000 1.000000

3 2.000000 0.000000

4 0.000000 3.000000

5 2.000000 0.000000

6 6.000000 0.000000

即在x1=2,x2=6时,企业获利最多,为36万元。

4、线性规划的应用

在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果.广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策,提供科学的依据。

(2)整数规划

一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性,二次和非线性的整数规划。在线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常要求某些变量的解必须是整数。例如,当变量代表的是机器的台数,工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求,初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解,所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中,如果所有变量都限制为整数,则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划,它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题,整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。

组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中,寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如,背袋(或装载)问题、固定费用问题、和睦探险队问题(组合学的对集问题)、有效探险队问题(组合学的覆盖问题)、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用,而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。

整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题,称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题(衍生问题称为松弛问题的源问题)。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿,即源问题应被舍弃,还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题,重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法,它们都是在上述框架下形成的。

0-1规划在整数规划中占有重要地位,一方面因为许多实际问题,例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划,另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价,用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题,所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法,对各种特殊问题还有一些特殊方法,例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。

(4)二次规划

二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题,它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件(KT条件),获取一个KT条件的解称为KT对,其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。

二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划,前者的KT点便是其全局极小值点,而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数,则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多,所以较为复杂;其较简便易行的是沃尔夫法,它是依据库恩-塔克条件,在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。

四、图论:(参考资料:建模教程(图与网络))

(1)含义的理解

图论是专门研究图的理论的一门数学分支,属于离散数学范畴,与运筹学有交叉。

图论中常用点和点之间的线所构成的图,反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系。一般来说,通常用点表示研究对象、用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。

在一般情况下,图中的相对位置如何,点与点之间线的长短曲直,对于反映研究对象之间的关系,显的并不重要。

因此,图论中的图与几何图,工程图等本质上是不同的。

(2)历史(包括应用范围)

它有200多年历史,大体可划分为三个阶段:

第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪中叶,处于萌芽阶段,多数问题围游戏而产生,最有代表性的工作是所谓的Euler七桥问题,即一笔画问题。

第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪中叶,这时,图论问题大量出现,如Hamilton问题,地图染色的四色问题以及可平面性问题等,这时,也出现用图解决实际问题,如Cayley把树应用于化学领域,Kirchhoff用树去研究电网络等.

第三阶段是二十世纪中叶以后,由生产管理、军事、交通、运输、计算机网络等方面提出实际问题,以及大型计算机使大规模问题的求解成为可能,特别是以Ford和Fulkerson建立的网络流理论,与线性规划、动态规划等优化理论和方法相互渗透,促进了图论对实际问题的应用。

算法

重要的算法

1、求有向图的强连通分支 (Strongerst Connected Component) (1)Kosaraju 算法 (2)Gabow 算法 (3)Tarjan 算法

2、求最小生成树 (Minimal Spanning Trees) (1)Kruskal 算法 (2)Prim 算法

3、最小树形图

(1)朱永津刘振宏算法 4、最短路径问题

(1)SSSP(Single-source Shortest Paths) ①Dijkstra 算法

②Bellman-Ford 算法(SPFA 算法)

(2)APSP(All-pairs Shortest Paths) ①Floyd-Warshall 算法 ②Johnson 算法 5、网络流问题 (1)最大网络流 ①增广路算法

⒈Ford-Fulkerson 算法 ⒉Edmonds-Karp 算法

⒊最短路径增殖EK-2(MPLA ) ⒋Dinic

②预流推进算法 (2)最小费用流 6、图匹配问题 (1)匈牙利算法

(2)Hopcroft Karp 算法 (3)Kuhn-Munkres 算法

(4)Edmonds' blossom-contraction 算法

(有关资料网址:https://www.360docs.net/doc/ff9360533.html,/index.php/%E5%9B%BE%E8%AE%BA ) (1)基本概念

无向图

一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组,记为))(),((G E G V G =。其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集(vertex set )或节点集(node set ), )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点(vertex )或节点(node )

;},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集(edge set ),)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序

对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =,被称为该图的一条从i v 到j v 的边(edge )。

当边j i k v v e =时,称j i v v ,为边k e 的端点,并称j v 与i v 相邻(adjacent );边k e 称为与顶点j i v v ,关联(incident )。如果某两条边至少有一个公共端点,则称这两条边在图G 中相邻。

边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络(undirected network )。我们对图和网络不作严格区分,因为任何图总是可以赋权的

有向图 一个有向图(directed graph 或 digraph )G 是由一个非空有限集合V 和V 中某些元素的有序对集合A 构成的二元组,记为),(A V G =。其中},,,{21n v v v V =称为图G 的顶点集或节点集, V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点或节点;},,,{21m a a a A =称为图G 的弧集(arc set )

,A 中的每一个元素k a (即V 中某两个元素j i v v ,的有序对) 记为),(j i k v v a =或),,2,1(n k v v a j i k ==,被称为该图的一条从i v 到j v 的弧(arc )。

当弧j i k v v a =时,称i v 为k a 的尾(tail ),j v 为k a 的头(head ),并称弧k a 为i v 的出弧(outgoing arc ),为j v 的入弧(incoming arc )。

对应于每个有向图D ,可以在相同顶点集上作一个图G ,使得对于D 的每条弧,G 有一条有相同端点的边与之相对应。这个图称为D 的基础图。反之,给定任意图G ,对于它的每个边,给其端点指定一个顺序,从而确定一条弧,由此得到一个有向图,这样的有向图称为G 的一个定向图。

完全图、二分图

每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n 个顶点的完全图记为n K 。

若Y X G V =)(,Φ=Y X ,0||||≠Y X (这里||X 表示集合X 中的元素个数),X 中无相邻顶点对,Y 中亦然,则称G 为二分图(bipartite graph);特别地,若Y y X x ∈?∈?,,则)(G E xy ∈,则称G 为完全二分图,记成|||,|Y X K 。

最短路、网络流、二分图

1、 最短路问题(SPP -shortest path problem )

最短路径问题是图论中十分重要的最优化问题之一,它作为一个经常被用到的基本工具,可以解决生产实际中的许多问题,比如城市中的管道铺设,线路安排,工厂布局,设备更新等

等。也可以用于解决其它的最优化问题。

若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等),则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一,可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题,我们通常归属为三类

单源最短路径问题

包括起点的最短路径问题,确定终点的最短路径问题(与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全相同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。)

确定起点终点的最短路径问题

即已知起点和终点,求两点之间的最短路径。

全局最短路径问题

求图中所有的最短路径。算法只要采用Floyed-Warshall算法(这是弗洛伊德利用动态规划(dynamic programming)的原理设计的一个高效算法)。

Floyed-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边,这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。

从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,或者无穷大,如果两点之间没有边相连。

对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

不可思议的是,只要按排适当,就能得到结果。

最短路算法:

Dijkstra算法

Dijkstra复杂度是O(N^2),如果用binary heap优化可以达到O((E+N)logN),用fibonacci heap可以优化到O(NlogN+E)

其基本思想是采用贪心法,对于每个节点v[i],维护估计最短路长度最大值,每次取出一个使得该估计值最小的t,并采用与t相连的边对其余点的估计值进行更新,更新后不再考虑t。

在此过程中,估计值单调递减,所以可以得到确切的最短路。

Dijkstra 程序:

void Dijkstra(){

for(int i=1;i<=n;i++)

dis[i] = map[1][i];

int k;

for(int i=1;i

int tmin = maxint;

for(int j=1;j<=n;j++)

if( !used[j] && tmin > dis[j] ){

tmin = dis[j];

k = j;

}

used[k] = 1;

for(int j=1;j<=n;j++)

if( dis[k] + map[k][j] < dis[j] )

dis[j] = dis[k] + map[k][j];

}

printf("%d",dis[n]);

}

/* 求1到N的最短路,dis[i] 表示第i个点到第一个点的最短路 By Ping*/

还有其他算法:

Floyd-Warshall算法 Bellman-Ford算法 Johnson算法

实例:

某公司在六个城市

6

2

1

,

,

,c

c

c 中有分公司,从

i

c到

j

c的直接航程票价记在下述矩阵的)

,(j

i位置上。(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市

1

c到其它城市间的票价最便宜的路线图。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

55

25

25

10

55

10

20

25

25

10

10

20

40

20

10

15

25

20

15

50

10

25

40

50

用矩阵

n

n

a

?

(n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb、1

index、

2

index、d分别用来存放P标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量?

?

?

=

顶点未标号

当第

顶点已标号

当第

i

i

i

pb

1

)(;

)(

2

i

index存放始点到第i点最短通路中第i顶点前一顶点的序号;

)(i

d存放由始点到第i点最短通路的值。

求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab程序如下:

clear;

clc;

M=10000;

a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];

a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];

a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];

a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];

a(5,:)=[zeros(1,5),55];

a(6,:)=zeros(1,6);

a=a+a';

pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));

d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1;

while sum(pb)

tb=find(pb==0);

d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));

tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));

temp=tb(tmpb(1));

pb(temp)=1;

index1=[index1,temp];

index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1)));

if length(index)>=2

index=index(1);

end

index2(temp)=index;

end

d, index1, index2

运行结果为:

d =

0 35 45 35 25 10

index1 =

1 6 5

2 4 3

index2 =

1 6 5 6 1 1

即:

d(最短通路的值)0 35 45 35 25 10 index1(标号顶点顺序) 1 6 5 2 4 3 index2(标号顶点索引) 1 6 5 6 1 1

2、网络流

(1)含义的理解

网络流(network flows)是图论中的一种理论与方法,研究网络上的一类最优化问题。(2)历史及应用

1955年,T.E. 哈里斯在研究铁路最大通量时首先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。1956年,L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了解决这类问题的算法,从而建立了网络流理论。所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D=(V、E、C),

其中V 是该图的顶点集,E是有向边(即弧)集,C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流,这是定义在网络上的非负函数,它一方面受到容量的限制,另一方面除去起点和终点以外,在所有中途点要求保持流入量和流出量是平衡的。

最大流理论是由福特和富尔克森于 1956 年创立的,他们指出最大流的流值等于最小割(截集)的容量这个重要的事实,并根据这一原理设计了用标号法求最大流的方法,后来又有人加以改进,使得求解最大流的方法更加丰富和完善。最大流问题的研究密切了图论和运筹学,特别是与线性规划的联系,开辟了图论应用的新途径。

最大流问题仅注意网络流的流通能力,没有考虑流通的费用。实际上费用因素是很重要的。例如在交通运输问题中,往往要求在完成运输任务的前提下,寻求一个使总运输费用最省的运输方案,这就是最小费用流问题。如果只考虑单位货物的运输费用,那么这个问题就变成最短路问题。由此可见,最短路问题是最小费用流问题的基础。现已有一系列求最短路的成功方法。最小费用流(或最小费用最大流)问题,可以交替使用求解最大流和最短路两种方法,通过迭代得到解决。

目前网络流的理论和应用在不断发展,出现了具有增益的流、多终端流、多商品流以及网络流的分解与合成等新课题。网络流的应用已遍及通讯、运输、电力、工程规划、任务分派、设备更新以及计算机辅助设计等众多领域。

(3)算法的实现

Edmonds-Karp 算法

建立在Ford-Fulkerson方法上的增广路算法,与一般的Ford-Fulkerson算法不同的是,它用广度搜索实现对增广路的寻找. 以下为代码:

int n;

long int c[128][128];

long maxflow(int s, int t)

{

int p, q, queue[128], u, v, pre[128];

long int flow, aug;

flow = 0;

while(true)

{

memset(pre, -1, sizeof(pre));

for(queue[p = q = 0] = s; p <= q; p++)

{

u = queue[p];

for(v = 0; (v < n) && (pre[t]) < 0; v++)

{

if((c[u][v] > 0) && (pre[v] < 0))

{

pre[v] = u;

queue[++q] = v;

}

}

if(pre[t] >= 0)

{

break;

}

}

if(pre[t] < 0)

{

break;

}

aug = 0x7fff;

for(u = pre[v = t]; v != s; (v = u), (u=pre[u]))

{

if(c[u][v] < aug)

{

aug = c[u][v];

}

}

for(u = pre[v = t]; v != s; (v = u), (u = pre[u]))

{

c[u][v] -= aug;

c[v][u] += aug;

}

flow += aug;

}

return flow;

}

3、二分图

(1)含义的理解

二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V 可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。

2、相关应用

作为一种数学模型,二分用途是十分有用的,许多问题可以用它来刻划。例如“资源匹配”、“工作安排”、“人员择偶”等等。而这就需要考虑匹配问题。

匹配:给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。

而二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。

最大流在网络流中有介绍。

匈牙利算法为:(资料:百度百科)

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall

定理(此定理使用于组合问题中。二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y, Z,={X1, X2, X3,X4, .........,Xm} , Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn},G中有一组无公共点的边,一端恰好为组成X的点的充分必要条件是:X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。(1≤k≤m))中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

算法的思路:

不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路. 资料来源:

https://www.360docs.net/doc/ff9360533.html,/index.php/%E5%8C%88%E7%89%99%E5%88%A9%E7%AE%97%E6% B3%95

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。

增广路的定义(也称增广轨或交错轨):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。(M为一个匹配)

由增广路的定义可以推出下述三个结论:

1.P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。

2.P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3.M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法,匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)

算法轮廓:

1.置M为空

2.找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M’代替M

3.重复(2)操作直到找不出增广路径为止

程序清单:

const maxm=200; maxn=200;

var i,j,k,m,n:longint;

g:array[1..maxm,1..maxn]of boolean;

数学建模算法分类

数学模型按照不同的分类标准有许多种类: 1.按照模型的数学方法分,有几何模型,图论模型,微分方程模型。概率模型,最优控制模型,规划论模型,马氏链模型。 2.按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分,有人口模型,交通模型,经济模型,生态模型,资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分,有预测模型,优化模型,决策模型,控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分,有白箱模型,灰箱模型,黑箱模型。 数学建模的十大算法: 蒙特卡洛算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法。) 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用matlab作为工具。) 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用lingo、lingdo软件实现)图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。) 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需谨慎使用) 网格算法和穷举法(当重点讨论模型本身而情史算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 一些连续离散化方法(很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认得是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。) 图像处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用matlab来处理问题。) 数学建模方法 统计:1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化:5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型(必须掌握) 满足两个条件可用: a数据样本点个数少,6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测(备用) 无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说:数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说:数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说:数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式,算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型,建立数学模型的过程就是数学建模的过程(见数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来: 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型(1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM)。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛(The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南)数学竞赛),这是由美国数学协会(MAA--即Mathematical Association of America的缩写)主持,于每年12月的第一个星期六分两试进行,每年一次。在国际上产生很大影响,现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛,历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明,中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开,1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛(简称CMCM),该项赛事每年9月进行。

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的

数学建模常用模型方法总结精品

【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 (优化模型) 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素:①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归

传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型

数学建模算法大全层次分析法

第八章 层次分析法 层次分析法(Analytic Hierarchy Process ,简称AHP )是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中,面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行: (i )建立递阶层次结构模型; (ii )构造出各层次中的所有判断矩阵; (iii )层次单排序及一致性检验; (iv )层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时,首先要把问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类: (i )最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。 (ii )中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。 (iii )最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择,试确定一个最佳地点。 在此问题中,你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层O 选择旅游地 准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途 措施层P 1P 2P 3P 1.2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外,当影响某因素的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的

数学建模常用的十种解题方法

数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法;数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法;解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法;图论算法;动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法;最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法;网格算法和穷举法;一些连续离散化方法;数值分析算法;图象处理算法。 关键词:数学建模;蒙特卡罗算法;数据处理算法;数学规划算法;图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1,…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有

数学建模常用方法

数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考: 1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现) 4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用) 10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理) 一、在数学建模中常用的方法: 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划) 11.机理分析 12.排队方法

数学建模10种常用算法

数学建模10种常用算法 1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行

编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组 求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库 函数进行调用) 10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关, 即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些 图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通 常使用Matlab进行处 参数估计 C.F. 20世纪60年代,随着电子计算机的 。参数估计有多种方法,有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。在一定条件下,后面三个方法都与极大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法. 基本介绍 参数估计(parameter 尽可能接近的参数 误差 平方和  θ,使已知数据Y 最大,这里P(Y│θ)是数据Y P(Y│θ)。在实践中这是困难的,一般可假设P(Y│θ

数学建模十种常用算法

数学建模有下面十种常用算法, 可供参考: 1.蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问 题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法) 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数 据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具) 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多 数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4.图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算 法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算 法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6.最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些 问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7.网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很 多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8.一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9.数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分 析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用) 10.图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中 也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab 进行处理)

数学建模中常见的十大模型讲课稿

数学建模中常见的十 大模型

精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除

数学建模方法详解种最常用算法

数学建模方法详解--三种最常用算法 一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process,AHP)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2,3,4].该方法是社会、经济系统决策的有效工具,目前在工程计划、资源分配、方案 排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用. (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序,包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5].下面分别予以介绍. 1.递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素,即目标、准则、方案等.每一个因素称为元素.按照属性的不同把这 些元素分组形成互不相交的层次,上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用,形成按层次自上而下的逐层支配 关系.具有这种性质的层次称为递阶层次. 2.测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案,而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的.然而对 于社会、经济系统的决策模型来说,常常难以定量测度.因此,层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化.3.排序原理

层次分析法的排序问题,实质上是一组元素两两比较其重要性,计算元素相对重要性的测度问题.(二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1] . 1.成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高结果的准确度.T .L .Saaty 等人的作法,一是不把所有因 素放在一起比较,而是两两相互对比,二是对比时采用相对尺度. 假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1对上层一个因素O 的影响,每次取两个因素i C 和j C ,用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比, 全部比较 结 果 可 用 成 对 比 较 阵 1 ,0,ij ij ji n n ij A a a a a 表示,A 称为正互反矩阵.一般地,如果一个正互反阵 A 满足: , ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n (1) 则A 称为一致性矩阵,简称一致阵.容易证明n 阶一致阵A 有下列性质: ①A 的秩为1,A 的唯一非零特征根为n ;②A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量. 如果得到的成对比较阵是一致阵,自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素n C C ,, 1对 上层因素O 的权重,这个向量称为权向量.如果成对比较阵A 不是一致阵,但在不一致的容许范围内,用对应于A 最大特征根(记

常用数学建模方法

数学建模常用方法以及常见题型 核心提示: 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)I=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。 2.时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)I=1,2,…,n,确定函数的表达式,于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。

数学建模算法大全排队论

第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K.爱尔朗的工作,他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年,爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题,显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象,如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构(服务台、服务员等)的容量。也就是说,到达的顾客不能立即得到服务,因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现,电话局的占线问题,车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导,故障机器的停机待修,水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论(Queuing Theory)也称随机服务系统理论,就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分: (i)性态问题,即研究各种排队系统的概率规律性,主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等,包括了瞬态和稳态两种情形。 (ii)最优化问题,又分静态最优和动态最优,前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 (iii)排队系统的统计推断,即判断一个给定的排队系统符合于那种模型,以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识,分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 凡要求服务的对象统称为顾客,为顾客服务的人或物称为服务员,由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说,如果服务机构过小,以致不能满足要求服务的众多顾客的需要,那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此,顾客总希望服务机构越大越好,但是,如果服务机构过大,人力和物力方面的开支也就相应增加,从而会造成浪费,因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策,使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成,现分述如下: 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性,可能有下列不同情况: (i)顾客的组成可能是有限的,也可能是无限的。 (ii)顾客到达的方式可能是一个—个的,也可能是成批的。 (iii)顾客到达可以是相互独立的,即以前的到达情况对以后的到达没有影响;否则是相关的。 (iv)输入过程可以是平稳的,即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关,否则是非平稳的。

数学建模常用算法模型

数学模型的分类 按模型的数学方法分: 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分: 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分: 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分: 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分: 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分: 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目(离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策) 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 (比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 (建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法 (这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备)

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 (这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 (这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法 (当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法 (很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法 (如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用) 10、图象处理算法 (赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理) 算法简介 1、灰色预测模型(必掌握) 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用: ①数据样本点个数少,6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测(高大上、备用) 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但其中的要求,不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测(必掌握) 求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化; 样本点的个数有要求: ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小; ②样本点的个数n>3k+1,k为自变量的个数;

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。

数学建模方法详解--三十四种常用算法

数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析(略) (22) 六、概率分布方法(略) (22) 七、插值与拟合(略) (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画(略) (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法(DEA) (51) 十九、多因素方差分析法()基于SPSS) (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析(略) (75) 二十二、概率分布方法(略) (75) 二十三、插值与拟合(略) (75) 二十四、隶属函数的刻画(参考《数学建模及其方法应用》) (75) 二十五、0-1整数规划模型(参看书籍) (75) 二十六、Board评价法(略) (75) 二十七、纳什均衡(参看书籍) (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法(参看书籍) (75) 二十九、莱斯利离散人口模型(参看数据) (75) 三十、一次指数平滑预测法(主要是软件的使用) (75) 三十一、二次曲线回归方程(主要是软件的使用) (75) 三十二、成本-效用分析(略) (75) 三十三、逐步回归法(主要是软件的使用) (75) 三十四、双因子方差分析(略) (75)

一、主成分分析法 一)、主成分分析法介绍: 主成分分析(principal components analysis,PCA)又称:主分量分析,主成分回归分析法。旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是,这也不是一定的,要视具体应用而定。 二)、主成分分析法的基本思想: 在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具。 同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述,主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。 例如,在对科普产品开发和利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。 三)、主成分分析法的数学模型: 其中:

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