4.4 第1课时 两个三角形相似的判定(1)

4．4 两个三角形相似的判定

第1课时 两个三角形相似的判定(1)

基础巩固

1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC .若AD AB ＝13

，DE ＝4，则BC ＝(D ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

(第1题) (第2题)

2．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数是(D )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于(B )

A ．60 m

B ．40 m

C ．30 m

D ．20 m

(第3题) (第4题)

4．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为＝

152

． 5．(金华中考)如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E ，C ，F .若BC ＝2，则EF 的长是5．

(第5题) (第6题)

6．如图，BE ，CF 是△ABC 的中线且相交于点G .求证：BG ＝2EG .

【解】 连结EF .

∵BE ，CF 为△ABC 的中线，

∴EF 为△ABC 的中位线，

∴EF ∥BC ，

∴△EGF ∽△BGC ，

∴EG BG ＝EF BC ＝12

， ∴BG ＝2EG .

综合提能

7．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连结BD ，则图中相似三角形有(C )

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

(第7题)

【解】 ∵∠D ＝∠C ，∠CAD ＝∠DBE ，

∴△BDE ∽△ACE .

∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .

又∵∠D ＝∠C ，

∴△ABD ∽△AEC .

∵∠DBC ＝∠CAD ＝∠BAD ，∠D ＝∠D ，

∴△BDE ∽△ADB .

∴共有3对相似三角形．

8．如图，Rt △ABC 的斜边AC 上有一动点D (不与点A ，C 重合)，过点D 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有3条．

(第8题)

【解】 ①如图，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，

则△AED ∽△ABC .

②如图，过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ，

则△CFD ∽△CBA .

③如图，过点D 作DG ⊥AC 交AB 于点G ，

则△ADG ∽△ABC .

综上所述，满足这样条件的直线共有3条．

9．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .求证：

(1)△AEB ∽△OFC .

(2)AD ＝2OF .

(第9题) 【解】 (1)连结OB ，则∠BAE ＝12

∠BOC . ∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴∠COF ＝12

∠BOC ， ∴∠BAE ＝∠COF .

∵AC ⊥BD ，OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠AEB ＝90°，

∴△AEB ∽△OFC .

(2)∵△AEB ∽△OFC ，∴AE BE ＝OF CF

. 由圆周角定理，得∠D ＝∠BCE ，∠DAE ＝∠CBE ，

∴△ADE ∽△BCE ，∴AD BC ＝AE BE ，∴OF CF ＝AD BC

. ∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴BC ＝2CF ，

∴AD ＝BC CF

·OF ＝2OF ，即AD ＝2OF . 冲刺高分

10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.

Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .

(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC .

(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．

(第10题)

【解】 (1)∵PQ ⊥AC ，∠ABC ＝90°，

∴∠AQP ＝∠ABC .

又∵∠A ＝∠A ，∴△AQP ∽△ABC .

(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，

由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.

当△PQB 为等腰三角形时，分情况讨论：

①当点P 在线段AB 上时，如题图①.

∵∠QPB 为钝角，

∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ .

由(1)，得△AQP ∽△ABC ， ∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53

. ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②.

∵∠QBP 为钝角，

∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .

∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .

∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，

∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴BP ＝AB ，

∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.

综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53

或6.