汕头市2017届普通高中毕业班教学质量监测(理数)

汕头市2017届普通高中毕业班教学质量监测

数学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合)}21ln(

|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,2

1

(-

2．设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=|||

|220161z z （ ）

A ．20152

B ．2016

1 C ．251 D ．51

3．圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ）

A ．34-

B ．4

3

- C ．3 D ．2

4．函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为2

π

的等差数列，

若要得到函数x x ?sin )(g =的图象，只要将)(x f 的图象（ ）个单位

A ．向左平移6π

B ．向右平移6

π

C. 向左平移12π D ．向右平移12π

5．函数x

x

x y ln 2=的图象大致是（ ）

6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输

入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ） A ．7 B ．12 C. 17 D ．34

7．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．

81 B ．85 C. 21 D ．8

7 8．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．将二项式6

)2(x

x +

展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．

72 B ．351 C. 35

8 D ．247 10．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，

若)2()2(1.01.0f a ?=，)2(ln )2(ln f b ?=，)8

1log )81(log 22f c ?=，则c b a ,,的大小关系是（ ）

A ．c b a >>

B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11．设)2

,

0(,π

βα∈，且β

βαcos 1

tan tan =

-，则（ ） A ．2

3π

βα=

+ B ．2

2π

βα=

+ C. 2

3π

βα=

- D ．2

2π

βα=

-

12．在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=?=?=?，

动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ）

A ．

443 B ．449 C. 43637+ D ．4

33

237+

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23

题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“若1≥x ，则“1242

-≥+-x x 的否命题为 ． 14．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视

图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．

15．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种

仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，

60=∠BAC ， 在A 地听到弹射声音比B 地晚

17

2

秒（已知声音传播速度为340 米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为

30，则这种仪 器的垂直弹射高度=HC ．

16．设变量y x ,满足约束条件??

?

??≥-+≥+-≤--010220

22y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则

实数=a ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设1

1

++=

n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .

18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，

⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.

（1）证明：⊥PC 平面BED ；

（2）设二面角C PB A --为

90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.

19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机

经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.

（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.

（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；

（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E .

20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已 知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一 点(2,4)A

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上， 求圆N 的标准方程；

（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=

求实数t 的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x -=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y . （1）求b a ,的值；

（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；

（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x .

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????

.

（1）求C 的参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；

（2）证明：22

>+a a 与22

>+b b 不可能同时成立.

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5: CDADD 6-10:CDCAB 11、12：DB

二、填空题

13.若1

-<+-x x 14.

3

3

15.3140米 16.2± 三、解答题

17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且)21≥-=-n S S a n n n （，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则

312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为

公比的等比数列，所以n n a 2=. （2）由（1）知22

1

-=+n n S ，∴2

21

221)22)(22(22121

1---=--=+++++n n n n n n b ， ∴??

? ??---++??? ??---+???

??---=++2212212212212212212

14332n n n T 2

2121221221222--=---=

++n n .

18.（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故

2,3

3

2,32==

=FC EC PC ， 从而

6=FC PC ，6=EC AC

. 因为EC

AC FC PC =,

90=∠=∠PAC FCE , 由此知EF PC ⊥,PC 与平面BED 内两条相交直线BD 、EF 都垂直，所以⊥PC 平面BED

（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则

0,0=?=?，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设)

,,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=?=?，即0222=-r p 且

03

2

32=+-r bq p ，令

1=p ，则b q r 2,2-

==，所以)2,2,1(b

-=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=?，即02=-

b b ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，2

1

||||,cos =>==<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为

30.

19.（1）由题意知道：

6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，

所以由图表知道：6826.080.0100

80

)(>==

+≤<-σμσμX P 9544.094.010094

)22(<==

+≤<-σμσμX P 9974.098.0100

98

)33(<==+≤<-σμσμX P

所以该设备M 的性能为丙级别. （2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为50

31006=， 依题意)503,

2(~B Y ，故25

35032)(=?=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2

,1650

5

)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P

故25

3

165019816505216501881165014570)(==?+?+?

=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(2

2

=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.

（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<

1)1()6(22=-+-y x .

（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为

40

220

-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离

d =

=

因为BC OA ==

= 而2

22

,

2BC MC d ??=+ ???

所以()2

52555

m +=

+，

解得5=m 或15-=m .

故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .

因为t T A =+),0,(),4,2(，所以??

?+=-+=4

21212y y t

x x ……①

因为点Q P 、在圆M 上，所以25)7()6(2

22

2=-+-y x ，将①代入②，得

25)3()4(2121=-+--y t x .

于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([2

2

=-++-y t x 上，从而圆

25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以

55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围

是]2122,2122[+-.

21.（1）ax e x f x

2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a . （2）由（1）知2)(x e x f x -=，∴x e x f x 2)('-=，2)(''-=x

e x

f ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单

调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .

（3）因为1)0(=f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为

1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.

下证：当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f

设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=x

x e x g e x e x g ，

由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，

又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '

所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('

又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故

0,1

)2(>≥--+x x x

x e e x .

由（2）知，

1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1

)2(+≥--+x x

x e e x ， 所以x x x x e e x +≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x

成立，当1=x 时，等号成立.

22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,

0[π

θ∈，所以θρρcos 22=，]2

,0[π

θ∈，即

0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]2,0[∈x ，可得C 的参数方程为??

?=+=t

y t

x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.

（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴

31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为??? ?

?

+3sin ,3cos 1ππ，即

???

?

??23,23. 23.（1）∵0,0>>b a ，

∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f . （2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab

假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22

>+a a 及0>a ，得1>a

同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22

>+b b 不可能同时成立.