【高中教学案】2-2：第一章 1.5 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程

1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程

预习课本P38～44，思考并完成下列问题

(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？

(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？

[新知初探]

1．连续函数

如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．

2．曲边梯形的面积

(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．

(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图

②)；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．

3．求变速直线运动的位移(路程)

如果物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求

和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .

[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )

(2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间???

i －1n ，i n 上的值，只能用????i n 2近似代替．( ) (3)m i ＝i 2

，∑i ＝14

m i ＝30.( )

答案：(1)× (2)× (3)√

2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]

3．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：

9

[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝1

6

n (n ＋1)(2n ＋1)]．

[解] 令f (x )＝x 2＋1.

(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4

n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.

第i 个区间为???

2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )， 每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n

.

(2)近似代替、求和：取ξi ＝2i

n

(i ＝1,2，…，n )，

S n ＝∑i ＝1n

f ????2i n ·Δx ＝∑i ＝1

n ????????2i n 2＋1·2n

＝8n 3∑i ＝1

n i 2＋2＝8

n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2

＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2＝4

3????2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限：S ＝

S n ＝

???

?43??

??2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为14

3

.

求曲边梯形面积

(1)思想：以直代曲．

(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．

(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]

求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．

???

?提示：13＋23＋…＋n 3＝????12n (n ＋1)2 解：①分割．

如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n ，把区间[1,2]等分成n 个小区间?

???1，n ＋1n ，????n ＋1n ，n ＋2n ，

…，????

n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，

???

?n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n (i ＝1,2,3，…，n )．过各

分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .

②近似代替．

各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1

n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝????n ＋i －1n 3·

1n (i ＝1,2,3，…，n )．

③求和．

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，

即S ＝∑i ＝1n

ΔS i ≈∑i ＝1n

????

?

???n ＋i －1n 3 ·1n .

④取极限．

当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．

因为∑i ＝1n

????

?

???n ＋i －1n 3·1n

＝1n 4∑i ＝1

n

(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1

n

[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋1

4n 2(n ＋1)2]， 所以S ＝

∑i ＝1

n

????n ＋i －1n 3·

1

n ＝1＋32＋1＋14＝15

4

.

[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6

t 2，求汽车在t ＝1到

t ＝2这段时间内运动的路程s .

[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间????

n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1

n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．

故路程和s n ＝∑i ＝1n

s i .

(2)近似代替：ξi ＝

n ＋i －1

n (i ＝1,2，…，n )，

Δs i ≈v ????n ＋i －1n ·Δt ＝6·????n n ＋i －12·1n ＝6n

(n ＋i －1)2

≈

6n

(n ＋i －1)(n ＋i )

(i ＝1,2,3，…，n )．

(3)求和：s n ＝∑i ＝1

n

6n

(n ＋i －1)(n ＋i )

＝6n ???

?1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n

＝6n ????1n －12n .

(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ????1n －12n ＝3.

求变速直线运动路程的方法

求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．

[活学活用]

已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程．

解：(1)分割

在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间???

?0，5

n ，????5n ，10n ，…，????5(i －1)n ，5i n ，…，???

?5n －5n ，5，

其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为????

5(i －1)n ，5i n ， 其区间长度为5i n －5(i －1)n ＝5n

，

每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替

根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为

Δs i ＝??????6????5(i －1)n 2＋4·5n

＝750(i －1)2

n 3

＋20

n . (3)求和

每个小时间段内的路程之和为 S n ＝∑i ＝1n

?

???

750(i －1)2

n 3＋20n

＝750n

3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2

]＋20 ＝750n 3·1

6

(n －1)n (2n －1)＋20 ＝

125n 2

(2n 2

－3n ＋1)＋20.