08章01_填空题

填空题（共98 小题） 难度等级1的题目：

1.函数xy y x y x z 22244---+=的驻点为. 答：(0,0),(1,1),(1,1)--

难度等级：1；知识点：多元函数的驻点. 分析 偏导数等于零的点为函数的驻点.令

3

342204220z x x y x

z

y y x y

??=--=??????=--=??? 解此方程组即可得驻点(0,0),(1,1),(1,1)--.

2.设u e y x =-cos ，则2

2

u u x y ??????+= ? ???????

.

答：e

x

-2

难度等级：1；知识点：二元函数的偏导数.

分析因为cos ,sin x x u u e y e y x y --??=-=-??，所以2

2

2x u u e x y -??

????+= ? ???????

3.设f x y x y (,)=+22，则df = .

难度等级：1；知识点：函数的微分公式. 分析由微分公式f f df dx dy x y ??=

+??

及f

f

x

y

??==??

df =

4.若f x y y x x x y (,)sin()=++-2

，则(,)x f x x =. 答：3x

难度等级：1；知识点：二元函数的偏导数. 分

析

(

,)2s x f x y x x y x x

=+-+-，所以(,)2sin()cos()3x f x x x x x x x x x =+-+-=.

5.函数arcsin()x y 22+的定义域为. 答：x y 221+≤

难度等级：1；知识点：函数的概念.

分析因为221sin()1x y -≤+≤，220x y +≥，所以定义域为x y 221+≤. 6.设函数z z x y =(,)由方程x y z e

x y z ++=-++()

222所确定，则

z x

?=?. 答：-

++-++-++12122

22222xe ze

x y z x y z ()

()

难度等级：1；知识点：多元函数的偏导数. 分

析

方

程

x y z e x

y z ++=-++()

2

22两边

对

x

求偏导数得

222()1(22)x y z z z x z e x x -++??+=--??，所以2

2

2

222

()()1212x y z x y z z xe x ze

-++-++?+=-?+. 7.函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点(0,)4

π处沿y 轴负向的方向导数是.

答：0

难度等级：1；知识点：方向导数.

分析 y 轴负向为(0,1)l =-

，所以 0(0,0)(0,1)0f

f l l

?=??=?-=? 8.设z f x y =(,)，在上半平面y >0处处可微，且对任意

t >0

，都有

f tx ty f x y (,)(,)=，则

(0,1)

f y

?=?.

答：0

难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数. 分析 由于f tx ty f x y (,)(,)=对任意t

>0成立，有(0,)(0,)f ty f y =,两边对t 求导

得2(0,)0yf ty =，所以2(0,)0f ty =，令1t =得2(0,)0f y =，即

(0,)

0f y y

?=?，故(0,1)

0f y

?=?.

9.函数 z x xy y x y =+-+-+2246812的驻点是. 答：(1,2)-

难度等级：1；知识点：函数的极值.

分析 令24604280z

x y x

z x y y

??=++=??????=--=???,得驻点(1,2)-.

10.设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ??

?22，则(,)f kx ky =.

答：222

(ln

)y k x y xy x

++ 难度等级：1；知识点：多元函数的概念.

分析 将f x y x y xy y x (,)ln =++?? ??

?22中的,x y 分别换为,kx ky 即得

222(,)(ln )y

f kx ky k x y xy x

=++

11.函数z x y =

+ln()的定义域为.

答：1x y +≥

难度等级：1；知识点：多元函数的概念. 分析 由ln()0x y +≥得1x y +≥.

12.设u x y y

x =+2，则2u x y

?=??.

答：32

21y x -

- 难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 u x y y

x =+2对x 的偏导数为

221u y x y x ?=-?，所以2u x y

?=??3221y x --. 13.设函数z z x y =(,)由方程

x z z

y

=ln cos 所确定，则z x ?=?. 答：

zy xy z z

y

-2tan

难度等级：1；知识点：隐函数的偏导数. 分析 方程

x z z

y

=ln cos 两边对x 求偏导数得 2sin

(tan )cos x x x

z

z xz z z z y z z y y y y

--==-

解得

2tan z zy z

x xy z y

?=?- 14.设u y x =?? ???arctan ，则

u y

?=?. 答：

x

x y 22

+

难度等级：1；知识点：偏导数. 分析 直接求u 关于y 的偏导数得

u y ?=?x x y

22+ 15.设函数f x y x y x y xy (,),(,)=+=22

?，则[](,),(,)f f x y x y ?=.

答：2

22

2

()()x y xy ++

难度等级：1；知识点：函数的复合运算.

分析 按复合函数的定义将22

(,)f x y x y

=+中的,x y 分别用

f x y x y x y xy (,),(,)=+=22?代入得

[](,),(,)f f x y x y ?=2222()()x y xy ++

16.函数u z

x y =+arcsin

22

的定义域为.

答：{}

2

2

2

2

2

2

(,)(),0D x y x y z x y x y =-+≤≤++≠. 难度等级：1；知识点：函数的定义域. 分析 即求函数的自然定义域.由

得定义域 {}222222(,)(),0D x y x y z x y x y =-+≤≤++≠

22

22

1,0z x y x y

≤+≠+

17.设z x y y =-+sin()3，则

(2,1)

z

x ?=?.

答：3cos5

难度等级：1；知识点：偏导数. 分析 因为

3cos(3)z x y x ?=-?，所以(2,1)

z x ?=?3cos5. 18.曲线z xy

y ==??

?1

在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角为.

答：

4

π

难度等级：1；知识点：偏导数的几何意义. 分析 曲线z xy

y ==??

?1

在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角θ的正切为z xy =在

点(2,1)处关于x 的偏导数的值，即(2,1)(2,1)

tan 1z

y x θ?=

==?，所以4πθ=.

19.设u xy y x =+，则22u

x

??.

答：

23

y x 难度等级：1；知识点：函数的高阶偏导数.

分析 因为2u y y x x ?=-?，所以22u x

?=?23y x . 20.设u x y x y

x y

(,)=

+-，则du =. 答：

2

2()

()

ydx xdy x y -+- 难度等级：1；知识点：函数的微分. 分析 22

()()()()2()

()()x y d x y x y d x y ydx xdy du x y x y -+-+--+=

=--

21.设函数f x y xy

x y

(,)=

+，则f x y x y (,)+-.

答：22

2x y x

-

难度等级：1；知识点：函数的概念.

分析 f x y x y x y x y x y x y x y x

(,)()()()()+-=+-++-=

-22

2. 22.函数z x y x

=

+ln()

的定义域为. 答：{}

(,)0,0D x y x x y =>+> 难度等级：1；知识点：函数的定义域.

分析 为自然定义域，所以0,0x x y >+>，故定义域{}

(,)0,0D x y x x y =>+>. 23.函数y y x x x y

=

-+

--ln 12

2

的定义域为.

答：{

}22

(,)0,1

D x y y x x y =≥>+< 难度等级：1；知识点：函数的定义域.

分析 为自然定义域，所以定义域{

}

22

(,)0,1D x y y x x y =≥>+<.

24.设z x y x e y

=--322，则dz =.

答：2

2

3

(32)(2)y

x y x dx x y e dy -+- 难度等级：1；知识点：函数的微分公式. 分析 对z x y x e y

=--3

2

2

求微分得

223(32)(2)y x y dz z dx z dy x y x dx x y e dy =+=-+-

25.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点P (,,)123-，且

()4,()x y F P F P ==，()2z F P =-，则曲面F x y z (,,)=0在点P 处的切平面方程为.

答：43280x y z +-+=

难度等级：1；知识点：曲面的切平面.

分析 曲面F x y z (,,)=0的切平面方程为

000()()()0x y z F x x F y y F z z ?-+?-+?-=

所以在点P (,,)123-处的切平面方程为

4(1)3(2)2(3)0x y z -++--=

即 43280x y z +-+=

26.曲线x t y t z t ===

2

3213,,在点(,,)121

3

处的切线方程是. 答：

x y z -=-=-12221

3

难度等级：1；知识点：曲线的切线.

分析 切线的方向向量为2(2,2,)a t t =

，在点(,,)121

3

处1t =，所以(2,2,1)a =

，故曲

线的切线方程为

x y z -=-=-12221

3

27.设z e y e

x x y

=+-sin cos ，则

2z

x y

?=??. 答：e y e x x y cos sin +-

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为sin sin x y

z e y e x x -?=-?，所以2z x y

?=??e y e x x y cos sin +-. 28.若f x y y x x x y (,)sin()=++-2，则(,)y f x x =. 答：1x -

难度等级：1；知识点：偏导数.

分析 因为(,)1cos()y f x y x x y =--，所以(,)y f x x =1x -.

29.由方程cos cos cos 222

1x y z ++=所确定的函数z z x y =(,)的全微分dz =.

答：-

+sin sin sin 222xdx ydy

z

难度等级：1；知识点：隐函数的微分.

分析 在方程cos cos cos 2

2

2

1x y z ++=两边微分得

sin 2sin 2sin 20xdx ydy zdz ++=

所以 sin 2sin 2sin 2xdx ydy

dz z

+=-

30.设u x x y =

+22

，则在极坐标系下，

u

r

?=?. 答：0

难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.

分析 因为

cos u θ==，所以

0u

r

?=?. 或

者

222331(cos )(sin )(sin cos sin cos )0u u x u y y xy r x r y r r r r

θθθθθθθ?????=+=-=-=????? 31.设函数z f x y =(,)在点 (,)x y 00处可微，则点 (,)x y 00是函数z 的极值点的必要条件为.

答：0f ?=

难度等级：1；知识点：函数可微时极值点的必要条件.

分析 函数可微时，在极值点处的偏导数存在且为0，所以(,)(0,0)0x y f f f ?===

. 32.设u x

y =2，则2222u u x y

??+=??.

答：

46x y

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为2222324126,0,,u u u x u x

x y x y y y y ????===-=????，所以

2222460u u x x y y ??+=+=

??4

6x

y 33.若f x y ye y x x

(,)cos()=--2，则2(,)x f x x =.

答：--x e

x

2

难度等级：1；知识点：函数的偏导数.

分析 因为22

(,)cos()2sin()x x x f x y ye y x xye y x --=--+-，所以2(,)x f x x =

--x e x 2.

34.设u x y

y

x =

+2

，则u y ?=?. 答：-

+213

x y

x 难度等级：1；知识点：偏导数.

分析 u x y y x =

+2对y 求偏导数得u y ?=?-+21

3

x y

x . 35.设u xy x y =--ln()tanh()，则du =.

答：221111

cosh ()cosh ()dx dy x x y y x y ????-++

? ?--????

难度等级：1；知识点：多元函数的微分公式. 分析 x y du u dx u dy =+=221111

cosh ()cosh ()dx dy x x y y x y ????-++

? ?--????

36.设f x y x y x

y

(,)()arcsin =+-1，则)1,( x f x . 答：1

难度等级：1；知识点：偏导数.

分析 因为(,1)f x x =，所以(,1)1x f x =. 37.设u xy y x =+，则

u

x

?=?. 答：y y x

-

2 难度等级：1；知识点：偏导数. 分析 u xy y x =+

对x 求偏导数得

u x ?=?y y

x

-2. 38.设u xy y x =+，则22u

y

?=?.

答：0

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为1

u x y x ?=+?，所以220u y

?=?. 39.函数z x y x y =----234612

2

的驻点是. 答：(1,1)-

难度等级：1；知识点：二元函数的极值.

分析 驻点处函数的偏导数等于0，所以

440

660x y

z x z y =-=???

=--=?? 解出得驻点(1,1)-.

40.若f x y e y x x (,)cos()=--2，则2(,)x f x x =. 答：--e

x

难度等级：1；知识点：函数的偏导数. 分析 因为22(,)cos()2sin()x

x x f x y e

y x xe y x --=--+-，所以2(,)x f x x =--e x .

41.设函数f x y z x y z

(,,)=，则(,ln ,)f z x y =. 答：(ln )y

x z

难度等级：1；知识点：复合函数.

分析 将f x y z x y z

(,,)=中的,,x y z 分别用,ln ,z x y 替换得f z x y z x y

(,ln ,)(ln )=. 42.函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则

dy

dx

=. 答：

22

xy

e x

y - 难度等级：1；知识点：复合函数的导数.

分析 方程12

+=x y e y

两边微分得2

2y

xydx x dy e dy +=，所以

dy dx =22

xy e x y - 43.设u x y x x y (,)ln()=++22，则du =.

)dx

难度等级：1；知识点：多元函数的微分. 分析

)x y du u dx u dy dx =+=

44.设(,),(,)z xf x y f x y =具有二阶连续偏导数，

(0,1)

2f

y

?=?，则2(0,1)

z

x y ?=??.

答：2

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为(,)(,),(,)(,)x x xy y xy z xf x y f x y z f x y xf x

y =+=+，而(0,1)

2f

y

?=?，所以

2(0,1)

2z x y

?=??.

45.函数33222z x y x y xy =+---的驻点为. 答：44(0,0),(,)33

难度等级：1；知识点：函数的极值.

分析 在驻点处函数的偏导数等于0，令2

2

3220

3220

x y z x x y z y y x ?=--=??=--=??得驻点44(0,0),(,)33. 46.在求函数(,)f x y 在约束条件(,)x y a ?=下的极值的时候，拉格朗日函数(,,)L x y λ=. 答：(,)[(,)]f x y x y a λ?+-

难度等级：1；知识点：函数的约束极值.

分析 由拉格朗日乘数法得函数(,)f x y 在约束条件(,)x y a ?=下的极值的时候，拉格朗日函数(,,)L x y λ=(,)[(,)]f x y x y a λ?+-.

47.

21x y z ++=下的极小值等于.

难度等级：1；知识点：函数的约束极值. 分析

令(,,)f x y z =，由拉格朗日乘数法，在约束条件21x y z ++=下的

极小值点满足方程组

0200

λλλ?+=+=+= 解此方程组得111

,,663x y z =

==

=. 48.设u xy xy =+cosh()cos()，则du =. 答：[]sinh()sin()()xy xy ydx xdy -+ 难度等级：1；知识点：微分公式.

分

析

[

c ]

d u =+

49.设2x y

u y x =+，则22z x

?=?.

答：

32y x

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析因为

22

1u y

x y x ?=-?，所以22z x ?=?32y x . 50.设函数f x y e

x y y x x y

(,),(,)==

+?，则2(

,(,))y

f x y x

?=. 答：3y

x

e

难度等级：1；知识点：函数的复合运算. 分析 将(,)x y

f x y e

+=中的,x y 分别用2,y y x x 替换得232(,(,))y y y

x x x y f x y e e x

?+==.

51.函数z y

x

=-arctan

1的定义域为. 答：{}

(,)1D x y x =<

难度等级：1；知识点：函数的定义域. 分析 自然定义域，为{}

(,)1D x y x =<.

52.极限200

lim

cos sin y

x y x e y x

→→+=-. 答：1

难度等级：1；知识点：二元函数的极限.

分析 2cos sin y

x e y x

+-为初等函数，在点(0,0)处有定义，所以在点(0,0)处连续，故

200

lim 1cos sin y

x y x e y x

→→+=-. 53.函数f x y x y

y

x (,)cos =

-122

的间断点为. 答：直线y x =±及x =0.

难度等级：1；知识点：函数的间断点.

分析 函数可能的间断点为函数表达式中分母为0的点，即直线y x =±及x =0，且这些点均为间断点.

54.设4

4

2

2

4u x y x y =+-，则

2u

x y

?=??. 答：16xy -

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为32

48u x xy x ?=-?，所以2u x y

?=??16xy -. 55.设u x y x y =+-4

4

2

2

4，则22u

x

?=?.

答：12822x y -

难度等级：1；知识点：高阶偏导数.

分析 因为32

44u x xy x ?=-?，所以22u x

?=?12822x y -.

难度等级2的题目：

56.设f x y e g y cx (,)()=满足方程f f x y +=0，其中g y ()是可导函数，c 是常数，则

()g y =.

答：c e

cy

1-

难度等级：2；知识点：函数的偏导数. 分析 因为

(,)(),(,)()cx cx x y f x y ce g y f x y e g y '==，所以

(,)(,)(()())cx x y f x y f x y e cg y g y '+=+

故()()0cg y g y '+=，从而()g y =c e

cy

1-.

57.设u x x y =

+22

，则在极坐标下，

u

θ

?=?. 答：-sin θ

难度等级：2；知识点：复合函数的偏导数. 分析 因为

cos u θ=

=，所以

u

θ

?=?-sin θ.

或者

23233(sin )(cos )sin sin cos sin u u x u y y xy r r x y r r

θθθθθθθθθ?????=+=--=--=-?????

58.设u x y z x y z

(,,)=?? ?

?

?，则(1,2,3)du =.

答：331

ln 28168

dx dy dz -

- 难度等级：2；知识点：函数的微分公式. 分析 1121()()()ln z z z x y z x

xz x x x du u dx u dy u dz z dx dy dz y

y y y y y

--=++=-+ 所以 (1,2,3)du =

331

ln 28168

dx dy dz -- 59.曲线2311

x yz y ?=?=?在点1

(1,1,)3处的切线与z 轴正向所成的倾角为.

答：)2

3

arctan(

-π 难度等级：2；知识点：曲线的切线. 分析由于231x yz =

可变形为x =

，

x z ?=

?.在点1(1,1,)3处，32x z ?=-?，此即所求倾角的正切，所以倾角为)2

3

arctan(

-π. 60.设u xy y x =+，则2u

x y

???=.

答：112-

x

难度等级：2；知识点：高阶偏导数.

分析u xy y x =+，所以2u y y x x ?=-?，221

1u x y x

?=-??.

61.函数z z x y =(,)由方程12

355242

2x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z 的驻点是.

答：520(,)1111

-

难度等级：2；知识点：隐函数的偏导数、多元函数的极值.

分析先求函数的偏导数，再求驻点.方程12

355242

2x xy y x y e z z +--+++=两边求微分得

3()25520z xdx xdy ydx ydy dx dy e dz dz ++--+++=

所以 (53)(253)2

z x y dx y x dy

dz e --+--=

+

令

532530,022

z z z x y z y x x e y e ?--?--====?+?+ 得驻点坐标520,1111

x y =-

= 62.设u x y xy =+-arctan 1，则2u

x y

?=??.

答：0

难度等级：2；知识点：高阶偏导数.

分析 对x 求偏导数、再对y 求偏导数就可以了.

22221,0(1)()u y u x xy x y x y

?+?==?-++??， 63.设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t

=-1对应点处的法平面为S ，则点

(,,)-241到S 的距离d =.

答：2

难度等级：2；知识点：曲线的切线与法平面、点到平面的距离.

分析 先求S 的方程.法平面的法向量即切线的方向向量，为

2(2,6(1),3(1))(2,6,3)n =?-?-=-

切点为

(1,2,1-，所以法平面方程为2(1)6(2)3(1x y z +--+-=，

即263110x y z -++=，故点(,,)-241到S 的距离

2d =

=

=

64.设z e y e y x

x

=+-sin cos ，则2222z z

x y

??+=??.

答：0

难度等级：2；知识点：高阶偏导数.

分析 直接求z 关于,x y 的二阶偏导数然后相加.因为

2

2

22sin cos ,cos sin sin cos ,sin cos x x x x x x

x x z z

e y e y e y e y x y z z e y e y e y e y x y

----??=-=-????=+=--??

所以 22220z z

x y

??+=??

65.设函数z z x y =(,)由方程x y z ++=1所确定，则全微分dz =.

答：-+(

)z x dx z y

dy 难度等级：2；知识点：函数的微分公式、隐函数的偏导数. 分析 由方程(,,)

0F x y z =所确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数为

,y x

x y z z

F F z z F F =-

=-，微分为x y dz z dx z dy =+

，在此处(,,)1F x y z =，

所以)dz =-. 66.设函数z z x y =(,)由方程z x y y z =--?(,)所确定，其中?(,)u v 有一阶连续偏导数，则

z x

?=?. 答：

??1

2

1+

难度等级：2；知识点：隐函数的偏导数. 分析 方程z x y y z =--?(,)两边微分得

12()()dz dx dy dy dz ??=-+-

所以 112

22

11dz dx dy ?????+=

+++ 故

z x ?=???12

1+ 67.函数z y x

=arctan

在点(1,1)沿(1,1)a =

方向的方向导数是. 答：0

难度等级：2；知识点：方向导数.

分析 函数(,)z f x y =可微时沿方向的方向导数为

0f f a a

?=??? 所以在点(1,1)处沿(1,1)a =

方向的方向导数是

02222(1,1)11(,)(,)022

f y x f a a x y x y ?=??=-?=-=?++

68.设u x x y =

+22

，则2

2

x

y u u +=.

答：y x y 2

222

()

+ 难度等级：2；知识点：偏导数.

分析 直接求z 关于,x y 的偏导数，平方后相加.因为233,z y z xy

x r y r

??==-??，所以

4222

23

x

y

y x y u u r ++==y x y 2

222

()+ 69.曲面352222

x y z +-=在点(,,)11

3处的法线方程为. 答：

x y z -=-=--13153

1

难度等级：2；知识点：曲面的切平面与法线. 分析 曲面(,,)

0F x y z =的法向量为(,,)

x y z n F F F =

，在此处(,,)F x y z =223522x y z +--，所以(1,1,3)(1,1,3)(,,)(6,10,2)2(3,5,1)x y z n F F F x y ==-=-

，故法线方

程为

x y z -=-=--13153

1

. 70.曲线22221

z x y x ?=++?=?

在点处的切线对y 轴的斜率为.

答：

27

难度等级：2；知识点：隐函数的偏导数、偏导数的几何意义.

分析 曲线222

21

z x y x ?=++?=?在

点(1,7)

处的切线对y 轴的斜率为a

z=在点(1,2)处关于y的偏导数的值，而

z y

y z

?

=

?

，所以切线对y

轴的斜率(1,2)

(1,2)

z y

k

y z

?

===

?

71.若函数f x y x xy y ax by

(,)=+++++

22

236在点(,)

11

-处取得极值，则常数a=，b=.

答：0，4

难度等级：2；知识点：函数的极值点.

分析函数可偏导，所以在其极值点(,)

11

-处偏导数等于0，即

220

2640

f

x y a a

x

f

x y b b

y

?

?

=++==

??

?

??

?=++=-+=

?

??

解出得0

a=，4

b=.

72.函数z xy

=arcsin在点

1

(1,)

3

沿x轴正向的方向导数是.

答：

1

22

难度等级：2；知识点：方向导数.

分析函数(,)

z f x y

=可微时沿方向的方向导数为

f

f a

a

?

=??

?

所以在点

1

(1,)

3

处沿轴正向的方向导数是

1

(1,)

3

)(1,0)(1,0) f

f a

a

?

=??=?=?=?

73.设

2

1

sin(),0

(,)

0,0

x y xy

xy

f x y

xy

?

≠

?

=?

?=

?

，则(0,1)

x

f=.

答：1

难度等级：2；知识点：函数的偏导数.

a

x

分析

x ≠时，

2

1

(,

1)s i n

f x x x

=，所以2

200(,1)(0,1)sin (,1)lim lim 1x x x f x f x f x x x

→→-===.

74.设u x y z

=?? ??

?

1/，则

(1,1,1)

u

x ?=?.

答：1

难度等级：2；知识点：偏导数.

分析 u x y z

=?? ?

?

?

1/为幂指函数，求偏导数时可先换底，即1/1ln z

x z y

x u e

y ?

?==

??

?

，所以

1

(1,1,1)(1,1,1)

1()1z

u x x xz y

?==?

75.函数z y x =ln 在点(1,1)处沿x 轴反向的方向导数是. 答：0

难度等级：2；知识点：方向导数.

分析 函数(,)z f x y =可微时沿方向a

的方向导数为

0f f a a

?=??? 所以在点(1,1)处沿x 轴反向的方向导数是

ln 0

ln 1(1,1)

ln (,ln )(1,0)(0,0)(1,0)0x x f y y f a y x a x -?=??=?-=?-=? 76.设u x y z xyz xy xz yz =++----arctan

1，则(0,0,0)

u

x ?=?.

答：1

难度等级：2；知识点：偏导数. 分析

因

为

2

2

1(1)((1)1(

)

1u y z x y x y z x y z x x y

x x y

x z

y z

?----

=

?

++-?--

-+---

22

(1)(1)()()

(1)()

yz xy xz yz y z x y z xy xz yz x y z xyz -------++=

---+++-

所以

(0,0,0)

1

u

x ?=?

77.设z x cy =-sin()，则2yy

xx z c z -=.

答：0

难度等级：2；知识点：高阶偏导数. 分析 先求出,yy xx z z ，然后代入2yy xx z c z -即可.

因

为

2cos(),sin(),cos(),sin()x xx y yy z x cy z x cy z c x cy z c x cy =-=--=--=--

所以 20

yy

xx z c z -=

78.曲线230

20

234

x y z x y z +-=-+=??

?在点(,,)-111处的切线与平面x y z +-=2夹角的正弦sin ?=.

答：

13

难度等级：2；知识点：曲线的切线、直线与平面的夹角. 分析 曲线230

20

234

x y z x y z +-=-+=??

?在点(,,)-111处切线的方向向量为曲线在点(,,)-111处的切线与平面x y z +-=2夹角的正弦sin ?，切线的方向向量

23(1,1,1)[(2,3,1)(2,6,4)]6(1,1,1)a x y z -=-?-=--

所以切线与平面x y z +-=2夹角的正弦

1sin 3

?=

=

79.函数z x y

=在点（1，2）沿(1,1)a =

方向的方向导数是.

答：2

难度等级：2；知识点：方向导数.

分析 函数(,)z f x y =可微时沿方向a

的方向导数为

0f f a a

?=???