专题一-圆锥曲线几何性质的应用
专题一 圆锥曲线几何性质
一、椭圆
1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122
22>>=+b a b
y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a
c e =?2)(1a b e -=。10< 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 2 2:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2 2:= 焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数） 二、双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线 过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。 3. 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(22 22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2 222b y a x 。 4. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。 5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a c e 的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）。 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 2 2:=。 典型例题 例1. 根据下列条件，写出椭圆方程 （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）； （3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。 例2. 过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y=2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程. 圆锥曲线的几何性质及其解题应用 一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如： ①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+； ②Rt OFC ?中，2 2 2 a b c =+； ④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a . 例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ① PF PD ② QF BF ③ AO BO ④ AF BA ⑤ FO AO ⑥ OF FC 能作为椭圆的离心率的是 （填正确的序号）2① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则 bc PF b c = = =， 又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ???. ⑥ A A B B ③当PQ x ⊥轴时，2 2b PQ a =?，叫椭圆的通径. 例题2．已知双曲线22 214x y b -=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 ． 【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122 =易知其焦点坐标 为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5= b ． 【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间． 3、抛物线中一些线段的长度及其关系如： ① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =. ② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ? ④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质． 第一节焦点三角形 一、焦点三角形的周长 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则21F PF ?的周长恒为c a 22+； （2）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，l 过焦点1F 且与椭圆交于B A ,两点，则2ABF ?的周长恒为. 4a 例1，已知21,F F 分别为椭圆1:22 22=+b y a x E 的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点，且22,,BF AB AF 成等差数列，求E 的离心率.变式1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为2 2，过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ?的周长为16，求椭圆的方程.二、焦点三角形的面积 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，则21F MF ?的面积为)(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ；（2）已知21,F F 分别为双曲线1-22 22=b y a x 的左、右焦点，M 是双曲线上的动点，则21F MF ?的面积为).(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ 例2，已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为_______. 变式2，已知双曲线1:22=-y x C 的焦点为21,F F ，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则21PF PF ?=___________. 三、焦点三角形的角平分线 知识点：（1）在ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，则CD BD AC AB =；（2）已知点P 是椭圆122 22=+b y a x 上的动点，21,F F 为椭圆的两个焦点，21F PF ?的内切圆的半径为r ，则). (21c a r S F PF +=?例3，已知21,F F 为椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，点)3,2(A 在椭圆上，求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程. 变式3，已知21,F F 分别为双曲线127 9:2 2=-y x C 的左右焦点，A 为C 上一点，点M 的坐标为)0,2(-，AM 为21AF F ∠的角平分线，则._____2=AF 椭圆 必背的经典结论 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角 形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A B 是椭圆 2222 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义． 2．圆锥曲线的标准方程及其推导． 3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练 1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点， 左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D， QF⊥OA于F．给出下列比值： 其中为离心率的有_________________． 2．若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点，且 12 8 F F=，则m的 值为． 3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1，则 11 A FB ∠=____________． 4．经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________． 5．过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标 原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA u u u r u u u r 同向，则离心率e=_________． 6．椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若 2 ABF ?的内切圆周长为π， ()() 1122 A x,y, B x,y，则 12 y y -=____________． ☆典型例题 1．椭圆的定义 例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点， 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点． ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程； ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB 的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF 的中点为O，证明： 9 5 OC<． 2．中点弦问题 例3．直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点，点() 04 B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点，则直线l的方程是_________________． 3．椭圆的几何性质 例2．已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点，右准线l，离心率e． ⑴若P为椭圆上的一点，且 12 F PF ∠=θ，则 12 PF F S ? =_____________． ⑵若椭圆上存在一点P，使得 12 PF PF ⊥，则e的范围是_____________． ⑶若椭圆上存在一点P，使得 12 PF ePF =，则e的范围是_____________． ⑷若在l上存在一点P，使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F，则e的范围是___________． ⑸若P为椭圆上的一点，线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q，则e=________． ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=，则k=___． 4．最值问题 例4．已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上，(,(2,0) A B． ⑴若2 PA PB +取最小值，则点P的坐标为____________； ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ，且0 PM BM= u u u u r u u u u r g，则| |的最小值是； ⑶PA PB +的取值范围是________________________． 例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 两条准线间的距离为6．椭 圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C． ⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB λ = u u u r u u u r ；⑶求MBC ?面积S的最大值． ☆方法提炼 1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论． 2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”． 3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑． 4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算． 5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理． P H E F G 第 1 页 圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0 圆锥曲线的概念及性 质 第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为??? ? 62，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一 个 焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ () A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， 圆锥曲线的几何性质 一、选择题（' ' 6636?=） 1. .设22221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60 B ，75 C ，90 D ，120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q 两点，交l 于R 点，则（ ） A ，PFR QFR ∠>∠ B ，PFR QFR ∠=∠ C ，PFR QFR ∠<∠ D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ） A ，(,0][4,)-∞+∞ B ，(,0]-∞ C ，[4,)+∞ D ，[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任 意一点，若 2 12 PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A ，(1,)+∞ B ，(1,2] C ， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ） §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF 圆锥曲线的性质 、基础知识 （一）椭圆： 1定义和标准方程： （1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和 2 2 PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2） a b 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃?爲=1 a b 0 a b （1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b （4）通径：焦点弦长的最小值 ①焦点弦：椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=—— a 说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以 = (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率：e = c ，因为c a ，所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2 tan ；(其中n 1 证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ，最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%，所以2 =c y o ，由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义：平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点 第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质 考点一椭圆的标准方程和几何性质 1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(). A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,∪[4,+∞) 【解析】当0 【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. (法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(). A.B.C.D. 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b, ∴=, ∴e==- =-= -=.故选A. 【答案】A 考点二双曲线的标准方程和几何性质 5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程- - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(). A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2 4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2， 当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴． 又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形． 又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即2 4ABF C a = 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在 12AF F 中 ∵ 2 2 21212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= （3 ()()() 2 2 22 2 2 22 12002 2222 2 212 00 4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---= = =-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM x x x 圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2 ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是（ ）A ．(01)， B ．1(0]2 ， C ．(02 D ．1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=°，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．12 D ．1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ?= ，2 12AF AF c ?= ，则椭圆的离心率e = （ ） A ． 3 B ． 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ，为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点，若 120 PF PF ?= ， 121tan 2 PF F ∠= ，则此椭圆的的离心率为（ ） A ． 12 B ． 23 C ．1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为（ ） A ．3 B ． 253 或3 C ． D 8. 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 4 C 2 D 4 10. 设12F F ，分别是椭圆 222 2 1x y a b + =（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2 :a l x c = 上存在P （其 中c =），使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．0, 2? ?? B ．0, 3? ? ? C ．,12????? D ．,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||AB AF =，则椭圆的 离心率e =（ ） A ．2-+ B ． C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 13. A ．02? ? ? B ．102? ? ?? ?， C ．)11 ， D ．112 ???? ??， 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为 椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为 （ ） 224416. 在ABC △中，A B B C =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离 心率e = ． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为 半径作圆M ．若过点20a P c ?? ? ?? ，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ． 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________． 19. 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点，若12 21 2PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________． 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若 2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________． ,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x ,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e 证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例1．已知P 是椭圆22x y 14 +=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=?，求12FPF ?的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12 FPF ?中由余弦定理得 2221212PF PF 2PF PF cos60=+-?? ＝2 121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-?? ， 解之得：124PF PF 3?=，则12 FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重； （2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). 考点 利用向量求曲线方程 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题： 练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使???,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ． 解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法） 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0圆锥曲线的几何性质及其解题应用
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