2012年高三数学一轮复习资料第三章基本初等函数(Ⅱ)第4讲简单的三角恒等变换

第4讲简单的三角恒等变换

★知识梳理

1．升降幂公式:

1cos α+=2

2cos 2

;1cos α-=2

2sin

2．同角正余弦化积公式

22sin cos sin()a x b x a b x φ+=++，其中sin φ=

b a b

+ ；cos φ=

a a b

★重难点突破

1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。

2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.

3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。

（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式” 问题1: （07江苏）若1cos()5αβ+=

，3

cos()5

αβ-=，则tan tan αβ=

_____．点拨：已知条件中的角是,αβαβ+-，待求式中的角是,αβ，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。由 5

sin sin cos cos )cos(=-=+βαβαβα

sin sin cos cos )cos(=+=-βαβαβα

求出???

????

==51

sin sin 5

2cos cos βαβα 21cos cos sin sin tan tan ==

∴βαβαβα (2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。问题2：已知5tan cot 2αα+=

，ππ42α??

∈ ???

，．求cos 2α和πsin(2)4α+的值．点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。

先将切化弦，再寻找角之间的关系。由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=则254,sin 2.sin 25

αα==

因为(

,),42ππ

α∈所以2(,),2

απ∈ 23

cos 21sin 2,5

αα=--=

sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+ 42322

.525210

=?-?=

★热点考点题型探析

考点1: 三角求值题的处理

题型1.给角求值问题

[例1] （山东省聊城一中2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试）

不查表求值2cos10sin 20cos 20?-?

= ．

【解题思路】要注意到103020?=?-?,然后用公式展开.

【解析】原式 =

2cos(3020)sin 203cos 203cos 20cos 20?-?-??

==??

．

【名师指引】给角求值问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注意

公式的顺用、逆用和变形用.

【新题导练】 1. (tan5°－cot5°)·

20cos 120sin

解：原式=210tan 10cot 2=??

2．(08海南省)0

3sin 702cos 10--=（）

C. 2

【解析】

22223sin 703cos 203(2cos 201)

22cos 102cos 102cos 10----===---

，选C 。答案：C

题型2给式求值

[例2] (惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知02

cos 22sin =-x

x ．

（1）求x tan 的值；

（2）求

x x sin )4

cos(22cos ?+π

的值．

【解题思路】第(1)问注意到22

x =?,第(2)问对三角式化为x 的表达式.

解析：（1）由02cos 22sin

=-x x , 22

tan =?x

，

3421222

tan

12tan

2tan 22-=-?=-=

∴x x

x ．（2）原式＝

x x x x x sin )sin 2

2cos 22(

2sin cos 22--x

x x x x x x sin )sin (cos )

sin )(cos sin (cos -+-=

x x x sin sin cos +=

1cot +=x 31

()144

=-+=．

【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.

例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)

设向量(cos ,sin ),(cos

,sin )a b ααββ→→==，0,αβπ<<<且若45a b →→

?=，4tan 3

β=，求tan α的值。

【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:

cos cos sin sin 5

4cos()5

34tan()tan 743tan tan[()]341tan()tan 241()43

a b αβαβαβαβππαβαβαββαββααββαββ→

→

?=+=∴-=

<<<∴-<-<∴∴-

-+∴=-+===----? 又03

sin(-)=-53

tan(-)=-44

又tan =

【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三

角变换

【新题导练】

1. 已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x . (Ⅰ)求f (

)的值； (Ⅱ)设α∈(0，

3π)，f (2

)＝5

1，求cos2α的值.

解析：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(4π)=sin 2π+cos 2

=1 （Ⅱ）∵f(

α)=sin α+cos α=51,∴1+sin2α=251, sin2α=2524

∴cos2α=25

∵α∈（0，43π）∴2α∈（π，23π） ∴cos2α<0.

故cos2α=25

2. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π

2π2

，），且a ⊥b ．求tan α的值；

解：（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，

故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2

α＝0．

由于cos α≠0，∴6tan 2

α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－

43，或tan α＝12

． ∵α∈（3π

2π2，）

，tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43

．题型3.给式求角

例4．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量(3,1)a =- ，(sin 2,b x =

cos2)x ，函数()f x a b =?

，若()0f x =且0x π<<，求x 的值；

【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。

解析：∵()f x a b =?

＝3sin 2cos 2x x --

由()0f x =得3sin 2cos20x x -=即3tan 23

x =

∵0,x π<< 022x π∴<< ∴2,6

x π

=或72,6

x π=

∴12

x π

或

712

π - 【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例5．(2007·四川 )已知0,14

)cos(,71cos 且=β-α=

α<β<α<2π,

(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.

【解题思路】由同角关系求出tan α再求tan 2α；又()βααβ=--结合角β的范围定角。

[解析]（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得2

143sin 1cos 177αα??=-=-= ???

∴sin 437tan 43cos 71ααα=

=?=，于是()

222tan 24383tan 21tan 47

143ααα?===-

-- （Ⅱ）由02

αβ<<<

，得02

αβ<-<

又∵()13

cos 14αβ-=，∴()()2

21333sin 1cos 11414αβαβ??-=--=-= ???

由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--????

()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113433317147142

=?+?=,所以3πβ=

【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

【新题导练】

3．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）.若)0,(πα-∈，且BC AC =，求角α的大小；

解析：（Ⅰ）由已知得：2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=

+-αααα

则ααcos sin = 因为 )0,(πα-∈ 4

3π

α-=∴

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c

B b

+=，求角A ；解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=?+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C

B A B

， ∴

sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=

，∴1cos 2

A =．∵0πA <<，∴π

3A =．考点2: 三角式的化简与证明

题型1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值. 例1. 化简

2cos 12tan()sin ()

απ

αα--+

【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次

数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式. [解析]原式=

222cos 1

2sin()

4cos ()

4cos()4

απ

απαπα--?--=

22cos 1

2sin()cos()44αππ

αα--?-

22cos 1cos 21cos 2cos 2αα

αα

-==

【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项.

例2:证明tan 3x 2 －tan x 2 ＝2sin x

cos x ＋cos2x

【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：3x 2 ＋x 2 ＝2x ，3x 2 －x

＝x

3x 2 －x 2 ＝x ∴sin x ＝sin 3x 2 cos x 2 －cos 3x 2 sin x

①

又cos x ＋cos2x ＝2cos 3x 2 cos x

②

①÷②即得：

2sin x cos x ＋cos2x ＝sin 3x 2 cos 3x 2 －sin x 2

cos x 2

＝tan 3x 2 －tan x

【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.

【新题导练】

5．22sin 2cos 1cos 2cos 2αα

αα

?+=（）

A 、tan α

B 、tan 2α

C 、1

D 、

B ［解析］

2222222sin 2cos 22sin cos cos 2tan tan 21cos 2cos 212cos 1cos sin 1tan αααααα

ααααααα

??=?==++--- 6．求证: 22

4tan 2(1tan 2)

2sin 23sin4sin8(1+tan 2)

αααααα-+-.=2sin 430α-?（）证明:左边=2

2sin 23sin4-

sin 4cos 4sin8ααααα

+=2(2sin 21)3sin 4αα-+ =3sin 4cos4αα- =31

sin 4cos 422

αα-）=2sin 430α-?（）=右边

[方法技巧] 利用万能公式得出221tan 21+tan 2αα-=cos 4α，2

2tan 21+tan 2α

=sin4α可简化过程.

★抢分频道

基础巩固训练

1已知(,0)2

x π

∈-，4

cos 5

x =

，则=x 2tan （） A

247 B 247- C 7

24 D 724-

解析：D (,0)2x π

∈-

，24332tan 24

cos ,sin ,tan ,tan 25541tan 7

x x x x x x ==-=-==--

2.( 汕头金山中学2008～2009学年度上学期高三期末考试)

已知(,)2π

απ∈--

，且5

cos -=α，则sin 2α等于（） A .725

B .2425

C .725-

D .2425-

解析：由54cos -=α且(,)2παπ∈--知3sin 5α=-故sin 22sin cos ααα==24

选B

3．（广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考）已知53sin =α，则??

??+απ2sin 的值为（）

A ．54±

B ．54

- C ．54 D ． 53-

解析：2sin cos 1sin 2πααα??

+==±-

???

=54±选A

4．设0

sin14cos14a =+，0

sin16cos16b =+，62

c =

，则,,a b c 大小关系（） A a b c << B b a c <<

C c b a <<

D a c b <<

π45 C. π47 D. π45或π4

7 解析： D 02sin59a =

，02sin 61b =，02sin 60c =

5．求值：0

tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________

解析:3 .00

tan 20tan 40tan 60tan(2040)31tan 20tan 40+=+=

=- 0000

33tan 20tan 40tan 20tan 40-=+

5. 设向量(cos(),sin())a αβαβ=++

，(cos(),sin())b αβαβ=-- ，且43(,)55

a b += ．

（1）求tan α；

（2）求

2cos 3sin 1

2sin()

απ

α--+．

解：（1）a b +

(cos cos sin sin cos cos sin sin ,sin cos cos sin sin cos cos sin )αβαβαβαβαβαβαβαβ=-++++-

(2cos cos ,2sin sin )(,)55

αβαβ==

∴43

2cos cos ,2sin sin 55αβαβ==

∴3

tan 4

α=

（2）

2cos 3sin 1

cos 3sin 13tan 5

cos sin 1tan 7

2sin()

ααααπ

αααα----=

==-+++．

6. (广东省四校联合体08年第一次联考)设函数()f x a b =?

，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈ ，若函数()13,,,;33f x x x ππ??

=-∈-????

且求

解：（1）)6

2sin(212sin 32cos 12sin 3cos 22

+=++=+=?x x x x x b a

2]6

5,3[6

3,3[3

2sin(31)6

2sin(21π

ππ

∴-

∈+

∴-

∈-=+-=+

+∴x x x x x x 得即

综合拔高训练

7. （中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试）

已知向量(cos ,sin )= a αα, (cos ,sin )= b ββ, 25

-= a b .

(Ⅰ) 求cos()αβ-的值;

(Ⅱ) 若02πα<<

, 02π

β-

<<, 且5

sin 13β=-, 求sin α

解:（Ⅰ）(cos ,sin )= a αα, (cos ,sin )=

b ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--

αβαβa b .

-= a b , ()()

cos cos sin sin 5

αβαβ∴-+-=

, 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5

αβ∴-=. （Ⅱ）0,0,02

αβαβπ<<

<<∴<-< ,

()3cos 5αβ-= , ()4

sin .5αβ∴-=

5sin 13β=- , 12

cos 13

β∴=,

()sin sin ∴=-+????ααββ

()()sin cos cos sin =-+-αββαββ 412353351351365

??=?+?-= ???.

8. 已知 ),2

,4(,4

1)24

sin(

)24

sin(

ππ

∈=

-?+a a a

求1cot tan sin 22

--+a a a 的值. 解: 由)24

sin(

)24

sin(a a -?+π

= )24

cos(

)24

sin(

a a +?+π

,414cos 21)42sin(21==+a a π得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ,所以12

5π=a . 于是α

αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+-=-+-=--+

==)65cot 265(cos ππ+-=32

5)3223(=--- 9. 已知向量a →＝(cosx,sinx),b →＝(

2，

2)，若a →·b →＝85，且π

＜x ＜

2,x

x x tan 1)tan 1(2sin -+求的值. 解：54

)4cos(,58sin 2cos 2,58b a =-=+∴=

?→

→πx x x 即 ∵4

3)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x 3

)4cot()4tan(-=--=+ππx x

1)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x

∴

.75

)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-?=+?=-+πx x x x x

高三数学基本初等函数单元测试题

高三数学基本初等函数单元测试题 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

时杨中学2009届高三数学单元检测卷（2）基本初等函数时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 若{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==+，则A B ?=_____________ 2. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为_______________ 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x ______________ 4. 函数2 12x x y -+-=的单调递增区间是_________________ 5. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. （至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是____________ 6. 函数12y x =-，[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2 12,1, ()1,1,1x x f x x x ?--≤?=?>?+? 则[](1)f f = . 8. 函数()2 2231m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 . 二、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤． 9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；(3) 求函数()f x 的值域.

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版

《基本初等函数》检测题一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是（） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）

A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．函数()lg(101)2 x x f x =+-是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是（） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?，， ,则1[()]3 f f = ． 13．若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(