【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,文科)一轮总复习课时规范练50 合情推理与演绎推理]

课时规范练50合情推理与演绎推理

一、选择题

1.下列推理过程是演绎推理的是()

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数都超过50人

C.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质

D.在数列{a n}中,a1=1,a n=(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式

答案:A

解析:C是类比推理,B与D均为归纳推理,而合情推理包括类比推理和归纳推理,故B,C,D都不是演绎推理.而A是由一般到特殊的推理形式,故A是演绎推理.

2.将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为()

1

357

911131517

19212325272931

………

A.809

B.852

C.786

D.893

答案:A

解析:前20行共有正奇数1+3+5+…+39=400(个),则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405-1=809.

3.定义一种运算“”:对于正整数n满足以下运算性质:

(1)11=1,(2)(n+1)1=n1+1,则n1=()

A.n

B.n+1

C.n-1

D.n2

答案:A

解析:由(n+1)1=n1+1,

得n1=(n-1)1+1=(n-2)1+2=…=11+(n-1).

又∵11=1,∴n1=n.

4.观察下列各式:

1=12,

2+3+4=32,

3+4+5+6+7=52,

4+5+6+7+8+9+10=72,

…

可以得出的一般结论是()

A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2

B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2

D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2

答案:B

解析:可以发现:第一个式子的第一个数是1,第二个式子的第一个数是2……故第n个式子的第一个数是n;第一个式子中有1个数相加,第二个式子中有3个数相加……故第n个式子中有2n-1个数相加;第一个式子的结果是1的平方,第二个式子的结果是3的平方……第n个式子的结果应该是2n-1的平方,故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

5.观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为

8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()

A.76

B.80

C.86

D.92

答案:B

解析:由已知条件得|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.

6.已知x>0,由不等式x+≥2=2,x+≥3=3,…,我们可以得出推广结论:x+≥n+1(n∈N*),则a=()

A.2n

B.n2

C.3n

D.n n

答案:D

解析:再续写一个不等式:

x+≥4=4,

由此可得a=n n.

二、填空题

7.设n为正整数,f(n)=1++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结论,可推测一般的结论为.

答案:f(2n)≥

解析:由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为,即可得一般的结论为f(2n)≥. 8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四种图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(6)=.

答案:61

解析:根据所给图形的规律,f(1)=1,f(n+1)-f(n)=4n,n∈N*,由累加法可得f(n)=2n2-2n+1,所以f(6)=61. 9.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它们有一定的规律性.第30个三角形数与第28个三角形数的差为.

答案:59

解析:第n个三角形数满足的规律为a n=a n-1+n,从而有a30=a29+30=a28+29+30=a28+59,所以两数差为59.

10.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k

项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得

1×2=(1×2×3-0×1×2),

2×3=(2×3×4-1×2×3),

…

n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].

相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).

类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)·(n+2)”,其结果为.

答案:n(n+1)(n+2)(n+3)

解析:1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),…,n(n+1)·(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)].

用累加的方法即得结果.

11.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则

(1)4位回文数有个;

(2)2n+1(n∈N*)位回文数有个.

答案:(1)90(2)9×10n

三、解答题

12.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,求“黄金双曲线”的离心率e.

解:在“黄金双曲线”中,B(0,b),F(-c,0),A(a,0).

∵,∴·=0.∴b2=ac.

而b2=c2-a2,∴c2-a2=ac.

在等号两边同除以a2得e2-e-1=0,

又e>1,∴解得e=.

13.已知命题:“若数列{a n}是等比数列,且a n>0,则数列b n=(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.

解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n}是等差数列, 则数列b n=也是等差数列.

证明如下:

设等差数列{a n}的公差为d,则b n==a1+(n-1),

所以数列{b n}是以a1为首项,为公差的等差数列.

14.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1(a>0,b>0)写出具有类似特性的性质,并加以证明.

解:类似的性质为:若M,N是双曲线=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.

证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).

因为点M(m,n)在已知双曲线上,

所以n2=m2-b2.

同理y2=x2-b2.

则k PM·k PN=··(定值).

15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;

⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

解法一:(1)选择②式,计算如下:

sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-.

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=sin2α+(cos 30°cosα+sin 30°sin α)2-sinα(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α

=sin2α+cos2α=.

解法二:(1)同解法一.

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=-sinα(cos 30°cos α+sin 30°sinα)

=cos2α+(cos 60°cos 2α+sin 60°sin2α)-sinαcosα-sin2α

=cos2α+cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)

=1-cos2α-cos2α=.

四、选做题

1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()

A.28

B.76

C.123

D.199

答案:C

解析:记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则

f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以

a10+b10=123.

2.在圆中有结论:如图所示,“AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过A,B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB是椭圆的长轴,F1,F2为椭圆的焦点,直线AC,BD是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有.”

答案:PF1·PF2=PC·PD

解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.

3.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由.

图①

解:如图①所示,由射影定理知

AD2=BD·DC,

AB2=BD·BC,

AC2=BC·DC,

∴.

又BC2=AB2+AC2,

∴.

∴.

类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想:

四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,

AE⊥平面BCD,

则.

图②

如图②,连接BE并延长交CD于F,

连接AF.

∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,

∴AB⊥平面ACD.

而AF?平面ACD,

∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中,AE⊥BF,

∴.

在Rt△ACD中,AF⊥CD,

∴.

∴,

故猜想正确.