请用傅里叶变换法计算圆孔的夫琅和费衍射场分布

3.请用傅里叶变换法计算圆孔的夫琅和费衍射场分布，并与1进行比

较。

在夫琅禾费圆孔衍射傅里叶分析装置图中，设衍射圆孔所在平面坐标为（x,y ），接收屏平面坐标为(),ξη，衍射屏上的圆孔是一个具有圆对称性函数，令单色光振幅为1，则

()22=exp 2r x y U circ i x y dxdy a πξη∞

∞-∞-∞?

?

+

?-+????

??

?

??（） （1） 在（x,y ）和(),ξη平面上分别取极坐标(),ρ?和(),r θ进行坐标代换：

2222

cos ,sin ,cos ,sin ,,

x y x y

r r r ρ?ρ?ρξθηθξη?===+??===+?? （2）

得到衍射圆孔的透过率函数为： 22

1,0,a x y circ circ a a a ρρρ??≤+???

?==? ? ?>????

?

（3）

式中a 为圆孔半径，将（2）代入（1）得到 ()20

0exp 2cos r U circ d i r d a

πρρρπρθ?θ∞

=

??

--?? ?????

?

?（） （4） 又因为零阶贝塞尔函数的积分表式式为()()200

1

exp -cos 2a ia d J π

θ?θπ

=

-?????

（5）

将（5）代入（4），得到 ()00

2r U circ J r d a ρρπρρ∞=??

???

?（） （6） 上式即为傅里叶-贝塞尔变换。

再令'a

ρρ=， 得到

()()1

200

2'2''

r a U circ J ra d πρπρρ=?

（） （7）

再令'

''2ρπρar =，则

()()()

2212

2

002

222''''1

''''''''2222ra

ar

r a J ra d U J J d a ar ar r ra

ππππρρρρρρπππππ===?

?

（） （8）

这样通过傅里叶变换分析法推导出夫琅禾费圆孔衍射接受屏上的光强强度分布为

()()()()[]212

222/22ra ra J a r U I πππ== （9）

程序：

p=500; %设置接收屏的大小 d=20; %设置圆孔的直径

[x,y]=meshgrid(-p:p,-p:p);%设置X,Y 坐标轴都为[-500，500]的矩阵， for i=1:size(x,1) %设置循环数 for j=1:size(y,1)%设置循环数

if x(i,j).^2+y(i,j).^2<=(d/2)^2%在半径为10内的圆 A(i,j)=1;%在圆内A=1 else

A(i,j)=0;%在圆外A=0 end end end

figure(1)

imshow(A,[]) %画图，值等于1的亮，值等于0的暗 afft=fft2(A);%进行二维傅里叶变换转换 aabs=abs(afft);%求afft 的绝对值

aabss=fftshift(aabs);% 正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称 figure(2)

imshow(aabss,[])%画图

colormap(gray);% 输出一个灰色系的曲面图 figure(3)

[i,j]=size(aabss);%将aabss 矩阵的大小赋值给I,j c=(i+1)/2;

B=aabss(c,:);%将X 坐标固定，只变化Y 坐标，从而导致abbss 的变化 y=-p:p;%设置y 的变化范围 plot(y,B)%画图 figure(4)

mesh(x,y,aabss)%画出三维图

当孔的半径为10

当孔的半径为5

当孔的半径为20

总结：用夫琅禾费衍射积分公式求得的光强分布为()2

2

102

2p p p J m A I A m I ??===????

，

其中s i n ()a

m πθλ

=

。而利用傅里叶分析法求得的傅里叶频谱函数式为 ()()()()[]

2

1

2

22

2/22ra ra J a

r U I πππ==

两式表面形式不同，实际是相同的。由于空间频率和衍射屏上的坐标有关系式 ()()/,/u f f ξλνηλ== 同时波数2/k πλ=，r

f

θ=

，那么 ()()()2//2/ka a r f ar f θπλπλ=?= (10) 而 2

2

2222222a ar ar a u v a f f f f ξηπππππξηλλλλ????=+=+=+=

? ?????

（11） 因为（10）（11）相等，所以两种方法求得的衍射场光强分布度相同。