《数学分析》第二章 极限与连续

第二章 极限与连续

一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以

及有界闭集上连续函数的性质.

（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性

质以及一致连续性.

三、本章的基本知识要点

本章符号说明：:? 每一个或任给的；:? 至少有一个或存在?：充分必要条件.

（一）数列极限

1. 数列极限定义

lim 0,0,n n a a N ε→∞

=??>?>当n N >时，有.n a a ε-<

注：定义中的N 可不取整数，n a a ε-<可以是.n a a ε-≤

定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. 数列极限的等价定义:(1) 0,0,N ε?>?> 当n N >时有,n a a k ε-< 其中k 为某个正数. (2) 0,0,c N ε?< 当n N >时有,n a a k ε-<其中c 与k 为某个正数. 2. 收敛数列的性质

(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限. (2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.

(3) 保号性定理：若lim n n a a →∞

=,则对任意(),r a r a <>或 ,N n N ??>, 有n a r > (或n a r <).

(4) 保不等式性定理：若lim ,lim n n n n a b →∞

→∞

都存在，且,n n N n N a b ??>≤有，则lim lim .n n n n a b →∞

→∞

≤

(5) 迫敛性定理：设lim lim .n n n n a b a →∞

→∞

== 数列{}n c 满足：,N n N ??>有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim .n n c a →∞

=

(6) 四则运算法则：

lim ,lim ,i)lim();

ii)lim ;

iii)lim

,0,0.n n n n n n n n n n n n n n

a a

b b a b a b a b a b a a

b b b b →∞

→∞

→∞

→∞

→∞==±=±?=?=≠≠设则

其中(7) 与子列的关系：数列{}n a 收敛?数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛.

3. 数列极限存在的条件1.递增数列：121n n a a a a +≤≤≤≤ ；2.递减数列：121n n a a a a +≥≥≥≥ .

(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,,,,||.n m N n m N a a εε?>???>-<

（二）函数极限

1. 函数极限和非正常极限概念 函数极限定义(通过对比加以理解)：

(1) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→+∞

=??>?>>-<当时恒有

(2) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→-∞

=??>?><--<当时恒有

(3) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→∞

=??>?>>-<当时恒有

(4) 0

0lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε→=??>?><-<-<当时恒有

(5) 0

0lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε-

→=??>?>-<-<-<当时恒有 (6) 0

0lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε+

→=??>?><-<-<当时恒有 上述左极限0

lim ()x x f x -→和右极限0

lim ()x x f x +

→也可以写成0(0)f x -和0(0)f x +. 定理：0

00lim ()(0)(0).x x f x A f x f x A →=?-=+=

非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：

(1) 0

lim ()x x f x →=-∞00,0,0||,().M x x f x M δδ??>?><-<<-当时恒有

(2) lim ()x f x →∞

=+∞0,0,||,().M k x k f x M ??>?>>>当时恒有

2. 函数极限的基本性质

下面只以0

lim ()x x f x →为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.

(1) 唯一性定理：若0

lim ()x x f x →存在,则极限唯一.

(2) 局部有界性定理：若0

lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 的某个空心邻域0

0()U x 内有界.

(3) 局部保号性定理：若0

lim (),x x f x A →=则r A ?<(或r A >),0,δ?>当0

0(,)x U x δ∈时，有()f x r >(或()f x r <).

(4)保不等性定理:设0

lim ()x x f x →与0

lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)U x δ内有()(),f x g x ≤则0

lim ()lim ().

x x x x f x g x →→≤

(5) 迫敛性定理：设0

lim ()lim (), x x x x f x g x A →→==且在某邻域00(;)U x δ内有()() (),f x h x g x ≤≤ 则0

lim ().x x h x A →=

(6) 四则运算法则：

lim (),lim (),(1)lim(()());

(2)lim ()();

()(3)

lim

,0.()x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x A

B g x B

→→→→→==±=±?=?=≠设则

其中

3.函数极限存在的条件

(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()f x 在00(;)U x δ内有定义. 0

lim ()x x f x →存在?任意含于邻域00(;)U x δ且以0x 为

极限的数列{},n x 极限lim ()n n f x →∞

存在且相等.

(2) 柯西准则：设函数()f x 在邻域00(;

')U x δ内有定义. 0

lim ()x x f x →存在?0,ε?>?正数

('),δδ<00

',''(;),x x U

x δ?∈有|(')('')|.f x f x ε-<

4. 两个重要极限

(1) 0sin lim

1.x x

x

→=

(2) 1lim(1).x

x e x

→∞+=

由归结原则得1lim(1).

n

n e n

→∞+=

5. 无穷小量与无穷大量(1) 无穷小量定义：

i) 设函数()f x 在某邻域00(;)U x δ内有定义. 若0

lim ()0x x f x →=， 则称()f x 为当0x x →时的无穷小量.

ii) 设函数()g x 在某邻域00(;)U x δ内有界，则称()g x 为当0x x →时的有界量.

由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．

(2) 定理：0

lim ()()(),x x f x A f x A x α→=?=+其中()x α是当0x x →时的无穷小.

(3) 无穷小量阶的比较

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢． 若无穷小量f 与g 满足()

()

lim

0x x f x g x →=，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，g 为f 的低阶无穷小量，记作()()()f x g x ο=（0x x →）．特别，f 为当0x x →时的无穷小量，记作()()1f x ο=（0x x →）．

若存在正数K 和L ，使得在某邻域()0

0U

x 上有()

()

f x K L

g x ≤

≤，则称无穷小量f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当()

0lim 0()

x x f x c g x →=≠时，f 与g 必为同阶无穷小量．

若无穷小量f 与g 满足

()()

f x L

g x ≤，()00x U x ∈，

则记作()()()0( ).f x O g x x x =→ 特别，若f 在某()0

0U x 内有界，则记为()()1f x O =（0x x →）．甚至当()()()0( )f x o g x x x =→ 时，也有()()()

f x O

g x =（0x x →）．

若无穷小量f 与g 满足()

lim

1()

x x f x g x →=，则称f 与g 为当0x x → 时的等价无穷小量，记作()()~f x g x （0x x →）．

应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x → 时，1sin x x

和2

x 都是无穷小量，但它们的比

21

sin

x x x =11sin x x 或 21sin x x x =1sin x x

当0x → 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用．

定理： 设函数f ，g ，h 在邻域()00U x 内有定义，且有()()~f x g x （0x x →）． ⅰ) 若()()0

lim x x f x h x A →=，则()()0

lim ;x x g x h x A →=

ⅱ) 若()()0

lim

x x h x B f x →=，则 ()

()

0lim .x x h x B g x →=

(4) 无穷大量

定义：对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞、+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量．

定理：ⅰ)设f 在()00U x 内有定义且不等于0．若f 为当0x x →时的无穷小量，则1

f

为当0x x →时的无穷大量． ⅱ)若g 为当0x x →时的无穷大量，则

1

g

为当0x x →时的无穷小量． 由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．

（三）一元函数的连续性

1. 函数在点0x 连续的定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若()()0

0lim ,x x f x f x →= 则称函数()f x 在0x 点

连续.

若记()()00,x x x y f x f x ?=-?=- ，则()()0

0lim x x f x f x →= 的等价叙述为0

lim 0x y ?→?=，于是函数()f x 在0x 点

连续的定义又可以写成:

定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若0

lim 0x y ?→?=,则称()f x 在0x 点连续.

改用εσ-语言叙述，则()f x 在0x 点连续可以定义为：

定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若对0ε?>，0δ?>使得当0x x δ-<时，都有

()()0f x f x ε-<， 则称()f x 在0x 点连续.

2. 函数在点0x 左、右连续的定义

相应于在0x 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：

定义: 设函数()f x 在0x 的某左（右）邻域内有定义. 若()()0

0lim x x f x f x -→=（或()()0

0lim x x f x f x +→=）, 则称()

f x 在0x 左（或右）连续.

定理: 函数()f x 在0x 点连续?()f x 在0x 点既左连续又右连续. 与上述定理等价的否定叙述：

定理: 函数()f x 在0x 点不连续?()f x 在0x 点或不左连续或不右连续. 3. 函数的间断点（不连续点）及其分类

定义：设函数f 在某领域()00U x 内有定义. 若f 在点0x 无定义，或在点0x 有定义但不连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.

由连续的定义知，函数()f x 在0x 点不连续必出现如下3种情形之一:

i ）()0

lim x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但()()0

0lim x x f x A f x →=≠；

ii ） 左、右极限都存在，但不相等； iii ） 左、右极限至少一个不存在. 据此，函数()f x 的间断点可作如下分类： i ） 可去间断点

若()0

lim x x f x A →=（存在），而f 在点0x 无定义，或有定义但()()0

0lim x x f x A f x →=≠，则称0x 为可去间断点（或可

去不连续点）.

ii ）

跳跃间断点

若0)(x x f 在点的左、右极限都存在，但不相等（即0(0)f x +与0(0)f x - 均存在，但00(0)(0)f x f x +≠-），则称0x 为()f x 的跳跃间断点.

注：可去间断点与跳跃间断点统称)(x f 的第一类间断点. iii ） 第二类间断点

若0(0)f x +与0(0)f x -至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点.

定义: 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续，则称)(x f 为I 上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.

定义: 如果)(x f 在区间[],a b 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数)(x f 在区间[],a b 上按段连续. 4. 连续函数的性质

局部有界性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界.

局部保号性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，且()0f x α>(或()0f x β<)，则对'

αα?<(或'ββ>)，?某邻域

()0,U x 当()0x U x ∈时，有()'f x α>(或()'f x β<).

四则运算性质： 若函数()(),f x g x 在区间I 上有定义，且都在0x I ∈连续，则()()()()()(),,f x g x f x g x f x g x ±（()00g x ≠）在0x 点连续.

复合函数连续性定理: 若函数()f x 在0x 点连续，()g u 在0u 点连续，()00u f x =，则复合函数()()

g f x 在0x 点连续.

定义：设()f x 为定义在数集D 上的函数. 若?0x D ∈，使得对?x D ∈都有()()0f x f x ≥(或()()0f x f x ≤)，则称在D 上有最大值（或最小值），称0x 为f 在D 上的最大值点（或最小值点），并称()0f x 为f 在D 上的最大值（或最小值）.

闭区间上连续函数的基本性质:

最大最小值定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值. 有界性推论：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界.

介值性定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<）,则在开区间(),a b 内至少存在一点0x ，使得()0.f x μ=

根的存在定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈ 使得

()00,f x =即()0f x =在(),a b 内至少有一个实根.

反函数的连续性定理: 若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上严格递增（递减），则其反函数()1f y -在相应的定义域

()(),f a f b ????（或()(),f b f a ????）上递增（递减）且连续.

5. 一致连续性

一致连续性定义：设函数()f x 在区间I 上有定义. 若0,ε?>()0δδε?=>， 当12,x x I ∈且12x x δ-<时，有

()()12,f x f x ε-< 则称()f x 在区间I 上一致连续.

注意：这里的δ只与0ε>有关，与(1,2)i x i =的位置无关.

区间I 上的连续函数()f x ?1,x I ?∈0,ε?>()1'',0,x δδε?=> 当2x I ∈且12'x x δ-<时，有

()()12.f x f x ε-< 这就是说，连续函数里的'δ与预先取定的点1x 的位置有关，区间I 上的无穷多个点，对应无穷多个

'δ，这无穷多个'δ的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个'δ的下确界为零，则不存在对I 上所有点都适合

的公共()0δδε=>，这时()f x 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个'δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共()0δδε=>，如我们可取inf{'},δδ=则对I 上任意两点12,x x I ∈，当12x x δ-<时，便有

()()12.f x f x ε-< 这种情况，()f x 在I 上连续就成为一致连续.

一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.

因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.

（四）多元函数的极限与连续

1．点列与二元函数的极限 (1) 点列极限与二重极限

设{}n x 是X 轴上的一个点列，{}n y 是Y 轴上的一个点列，则以n x ，n y 为坐标的所有点

(){},n

n

x y 组成平面上的一个

点列记作{}n P .又设0P

是平面上的一点，坐标是()00,x y .若0,ε?>?正整数N ，当n N >时，有

()0,n P P ρε=<，就称{}n P 收敛于0P ，记作0lim .n n P

P →∞

=

点列收敛的柯西准则：平面点列{}n P 收敛?0,0,N ε?>?>当N n >时，对一切正整数k ，都有(),.n n k P P ρε+< 定义： 设f 为定义在2

D R ?上的二元函数，0P 为的D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若0,ε?>?0,δ> 使得当()D P U P o δ;0∈时，都有(),ε<-A P f 则称f 在D 上当0P P →时以A 为极限，记作()0

lim .P P P D

f P A →∈=

在对D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作()0

lim .P P f P A →= 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，

()0

lim P P f P A →=也常写作

()00(,)(,)

lim

,.x y x y f x y A →=

定理：()0lim P P P D

f P A →∈=?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是

E 的聚点,就有()0lim P P P E

f P A →∈=. 推论：i) 设1E D ?,0P 是1E 的聚点. 若极限()0

1

lim P P P E f P →∈不存在,则极限()0lim P P P D

f P →∈也不存在.

ii) 设12,E E D ?, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限()0

1

1lim P P P E f P A →∈=, ()02

2lim P P P E f P A →∈=, 但12A A ≠, 则极限

()0lim P P P D

f P →∈不存在.

iii) 极限()0

lim P P P D

f P →∈存在?对D 内任一点列{}n P , 0n P P →但0n P P ≠,数列(){}

n f P 收敛.

定义: 设D 为二元函数f 的定义域，),(000y x P 是D 的一个聚点. 若对0,M ?>总存在0P 的一个δ邻域()00;U P δ，

使得当()()0

0,;P x y U

P D δ∈ 时,都有()f P M >，则称f 在D 上当0P P →时，存在非正常极限+∞，记作

()()

()00,,lim

,.x y x y f x y →=+∞ 类似定义

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →=-∞和

()()

()00,,lim

,.x y x y f x y →=∞

(2) 累次极限 在前面研究的极限

),(lim

)

,(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于00,,x y 这种极限也称为二重极限. 这

一段考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．

定义：设,,x y E E R ? 0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y D E E =?上有定义. 若对每一个

0,y y E y y ≠∈，存在极限),,(lim 0

y x f x

E x x x ∈→由于此极限一般与y 有关，因此记作

()),,(lim 0y x f y x

E x x x ∈→=?

而且进一步存在极限

(),lim 0y L y

E y y y ?∈→=

则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作 ),(lim lim 00y x f L x

y E x x x E y y y ∈→∈→=

或简记作

).,(lim lim 0

0y x f L x x y y →→=

类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限

).,(lim lim 0

0y x f K x x y y →→=

注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:

设y x y x y x y x f +++-=2

2),(，它关于原点的两个累次极限分别为

.1)1(lim lim lim lim 0202200-=-=-=+++-→→→→y y

y

y y x y x y x y y x y

与

.1)1(lim lim lim lim 0202200=+=-=+++-→→→→x x

x

x y x y x y x x x y x

ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数1

(,)sin f x y x y

=在点(0,0)的情形. iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）.

iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）.

综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系： 定理：若二重极限

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →和累次极限()00

lim lim ,x x y y f x y →→ (或另一次序)都存在, 则二者必相等.

推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在. 3. 二元函数的连续性 (1) 连续性概念

定义： 设f 为定义在点集2

R D ?上的二元函数. 0P D ∈（它或者是

D 的聚点，或者是D 的孤立点）. 若0,0,εδ?>?>只要()，；D P U P δ0∈就有()()ε<-0P f P f ，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 在不至于误解的情

况下，也称f 在点0P 连续.

设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=?-=?∈则称

()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=?=?()()0000,,y x f y y x x f -?+?+=

为函数f 在点0P 的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当

0lim

),()

0,0(),(=?∈→??z D

y x y x 时，f 在点0P 连续.

如果在全增量中取0=?x 或0=?y ，则相应的函数增量称为偏增量，记作 ()00,y x f x ?()()0000,,y x f y x x f -?+=， ()00,y x f y ?()().,,0000y x f y y x f -?+= 一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.

若一个偏增量的极限为零，例如()000

lim ,0,x x f x y ?→?=它表示在f 的两个自变量中，当固定0y y =时，()0,y x f 作为x

的一元函数0x 在连续. 同理，若().0,lim 000

=?→?y x f y y 则表示一元函数()y x f ,0在0y 连续.

容易证明，当f 在其定义域的内点()00,y x 连续时，()0,y x f 在0x 和()y x f ,0在0y 都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.

(2) 连续函数的性质

局部保号性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，并且存在实数A (或B )使得0()f P A >(或0()f P B <)，则存在0P 的邻域0(;)U P δ，当0(;)P U P

δ∈时有()f P A >(或()f P B <). 局部有界性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，则f 在0P 的某个邻域0(;)U P δ上有界. 四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数.

复合函数的连续性定理：设函数()y x u ,?=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ?=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φ?=在点0P 也连续．

(3) 二元初等函数及其连续性

与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.

一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.

4. 有界闭区域上连续函数的性质

(1) 有界性与最值性定理： 若函数f 在有界闭域2

R D ?上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值. (2) 一致连续性： 若函数f 在有界闭域2

R D ?上连续，则f 在D 上一致连续， 即0,0,εδ?>?>使得,,P Q D ?∈只要(),,P Q ρδ<就有()()ε<-Q f P f .

(3) 介值性与零点定理：设函数f 在区域2R D ?连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足

不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，存在点D P ∈0，使得()μ=0P f .

四、基本例题解题点击

【例1】按N ε-定义证明!

lim

0.n

n n n →∞=

【提示】在用N ε-定义证明极限时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的N 即可． 【证明】0,ε?> 1

,N ε

?=

当n N >时，有

!110.n n n n N

ε-≤<= 因此 !

lim 0.n

n n n →∞= ■

【例2】求极限111lim(

).1223(1)

n n n →∞

++??+

【提示】

111

.(1)1n n n n =-++

【解】111lim(

)1223(1)

n n n →∞

++??+ 11111

lim[(1)()()]2231

n n n →∞=-+-++-+ 1

lim(1) 1.1

n n →∞=-=+ ■

【例3

】求极限n →∞

【提示】用极限的迫敛性定理. 【解

1,<

+<

=

且1,lim11,n n n →∞

===

由极限的迫敛性定理，得

1.n →∞

+

= ■

【例4】应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛，其中2sin1sin 2sin .222

n n n

a =+++ 【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】0ε?>，2

1

log ,N ε

?=,n m N ?>> 有

()()12sin 1sin 2sin 222

n m m m n

m m n

a a ++++-=+++

1211

11

1

1121222212

n m m m n m -+++-

≤+++=?-

11111.122212

m m N ε+

故由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛. ■

【例5】计算.n n

π

【提示

】定义函数(),f x n

π

= 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.

【解】

记函数(),f x x

π

=

则有

sin

lim lim)0.

x x

x

x

x

π

π

π

→+∞

==

故由归结原则得

l i s i n0.

n n

π

=■

【例6】设()

1

011

1

011

m m

m m

n n

n n

a x a x a x a

f x

b x b x b x b

-

-

-

-

++++

=

++++

,

00

0,0,

a b m n

≠≠≤，求()

lim

x

f x

→+∞

.

【提示】极限的四则运算法则和12

lim lim lim0.

n

x x x

x x x

---

→+∞→+∞→+∞

====

【解】因()

1

01

11

011

lim lim

m n m n n

m

n n

x x

n n

a x a x a x

f x

b b x b x b x

----

---

→+∞→+∞

-

+++

=

++++

,

12

lim lim lim0,

n

x x x

x x x

---

→+∞→+∞→+∞

====

当m n

≤时,12

lim lim lim0;

m n m n n

x x x

x x x

-----

→+∞→+∞→+∞

====

当m n

=时，lim1

m n

x

x-

→+∞

=；

当m n

<时，lim0.

m n

x

x-

→+∞

=

故由极限的四则运算法则，有()

,;

lim

0,.

x

a

m n

b

f x

m n

→+∞

?

=

?

=?

?<

?

■

【例7】设()()

0,lim

x x

f x f x A

→

>=.证明

lim

x x

→

=其中2

n≥为整数.

【提示】当0

A=时，直接利用函数极限定义证明.当0

A>

分子有理化，然后利用放缩法证明. 【证明】因为()0

f x>，故()

lim0

x x

f x A

→

=≥.

若0

A=，由()

lim

x x

f x A

→

=，则0,0,

εδ

?>?>当

0x xδ

<-<时，有()().

f x A f x

ε

-=<所以，

=

即

lim0

x x

→

==

若0

A>，由()

lim

x x

f x A

→

=，则0,0,

εδ

?>?>当

0x xδ

<-<时，有().

f x Aε

-<从而有

=

(

)

.

f x A

<-<

故

lim

x x

→

=■

【例8

】求极限0x →

【提示】利用重要极限0sin lim

1x x

x

→=及函数极限的运算法则.

【解】 当11x -<<

2

.2

x ==

故22002lim lim 1cos 2sin 2x x x x x →→=-?

? ?

?

?2

2

2220sin 2

2lim[]11sin 22x x x x x →??

???=?=?=?? ??

? ■

【例9】证明：若

f 在点0x 连续，则f 与2f 也在0x 连续. 又问：若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？

【提示】要证2f 连续，证2f f f =?即可，要证f

连续，证f =f 或2f 连续不一定有f 连续.

【证明】由()f x 在0x x =连续，得()()0

0lim x x f x f x →=，从而

()()()()0

2

20lim lim

lim ,x x x x x x

f

x f x f x f x →→→=?=

再由例7的结论知 ()

()0

0lim lim

,x x x x f x f x →→==

故f 与2f 也在0x x =连续.

构造函数1(0)

(),1(0)

x f x x ≥?=?

-

连续，故()f x 在R 上不连续. 因此，由f 或2f 在I 上连续不能断定

f 在I 上连续. ■

【例10】 设f 在[],a b 上连续，[]12,,,n x x x a b ∈ .证明：存在[],a b ξ∈，使得

()()()()121

n f f x f x f x n

ξ=

++???? . 【提示】f 在[],a b 上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理.

【证明】设()()()(){}

12max ,,,,i n f x f x f x f x = ()()()(){}

12min ,,.j n f x f x f x f x = 不失一般性，设.i j x x < （1）若()()

,i j f x f x =则()()()12n f x f x f x === ，此时有

()()()()121

,k n f x f x f x f x n

=

+++???? 1,2,,.k n = 取k x ξ=即可. （2）若()()

i j f x f x ≠，则

()

()()()()121

.j n i f x f x f x f x f x n

<

+++

()()()()121

.n f f x f x f x n ξ=

+++???

? 由此本题得证. ■

五、扩展例题解题点击

【例1】 设1,m a a 为m 个正数. 证明：

{}12max ,,.m n a a a =

【提示】运用迫敛性定理和1(0).n m =>

【证明】设{}12max ,,,m a a a A = 则有A ≤

≤

因lim ,lim ,n n A A A →∞

→∞

==故由极限的迫敛性定理，得

{}12max ,,.m n a a a = 【延伸】：设<<1,2,...)i a M n =0(. 试证明：

{}sup .n n n

a

【提示】：与前面方法类似（运用 1.n =） ■

【例2】设数列{}n a 满足：存在正数M ,对一切n 有

21321.n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤

证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛.

【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.

【证明】由,n A M ≤且11n n n n A A a a +--=-≥0,知{}n A 为单调有界数列. 由单调有界原理知{}n A 收敛.

因

{}

n A 收敛，故由柯西收敛准则知，0,0,N ε?>?>当n m N ≥>时有.n m A A ε-< 而

()()()1121n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-

1121n n n n m m a a a a a a ---+≤-+-++- .n m A A ε=-<

由柯西收敛准则知{}n a 收敛，故{}n a 与{}n A 都收敛. ■

【例3】设 1.a > 证明：lim 0.a

n n n a

→∞=

【提示】令a b =+1,利用二项式定理把分母n

a 展开，利用放缩法和基本例题中的例6.

【证明】令[]a 表示a 的整数部分，b a =-1,显然>b 0. 故

[][]()

1

1

0.1a a a n

n n n n n a a b ++<≤=+ 当[]2n a >+时，()[][]22

1.n

a a n

b

c b +++>

因此，[

]()

[][][]1

1

22

<

.1a a n

a a n

n n c b

b ++++<

+0

因[

][][]1

22lim 0,a a a n n

n c b

+++→∞

= 故由迫敛性定理知，当1a >时，lim 0.a

n n n a

→∞= ■

【例4】计算10

lim .x

x x +

→ （上海大学2001年考研试题） 【提示】先用数列1n ??????

代替x ，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理.

【解】在区间()0,1内，1

0,x

x x << 而0

lim 0,x x +

→= 故由迫敛性定理知，10

lim 0.x

x x +

→= ■

【例5】已知323lim 0.1x x x ax bx c x →+∞

??

++---= ?+??

求,a b 与c 的值.

【提示】此题中2

ax bx c ++实际上就是33

1

x x x +++的整式部分.

【解】因323lim 0,1x x x ax bx c x →+∞

??

++---= ?+??

故 ()()()()()3233223lim 113lim 0213lim 031x x x x x ax bx c x x x c ax b x x x x x b c a x x x x →+∞→+∞→+∞???++?--= ?+????

??++?

---= ?? ?+???

?

??++?---= ? ??+???

由(3)与极限四则运算法则，得：

()

323lim 1.1x x x a x x →+∞++==+

把1a =代入(2)，得：

()()3333lim lim 1.11x x x x x x b ax x x x x x →+∞→+∞????

++++=-=-=- ? ? ? ?++????

同理，把1,1a b ==-代入(1)，得c =2. ■

【例6】设lim n n a A →∞

=（或∞+或∞-），则

()121

lim

n n a a a A n

→∞+++= （或∞+或∞-）. 问：反之是否成立？

【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.

【证明】由极限定义知，1>0,,N N ε+??∈当1n N >时，有,n a A ε-<

故当1n N >时，有

1212

n n a a a a a a nA

A n n

++++++--= 112N a A a A a A

n

-+-++-≤

1112N N n a A a A a A

n

++-+-++-+

1121

.N a A a A a A

n N n

n

ε-+-++--≤

+

? 记112N a A a A a A b -+-++-= ，因lim 0,n b

n

→∞= 故2N N +?∈, 当2n N >时有

.b

n

ε< 取{}12max ,N N N =, 当n N >时，

121

2.n a a a n N b A n n n

εεεε+++--≤+?<+=

因此 ()121

lim

.n n a a a A n

→∞+++= ∞+或∞-的情形可类似进行证明.

反之，若()121lim n n a a a A n →∞+++= ，则不能得出lim n n a A →∞=. 例如，取(1),n n a =- 则()121lim 0,n n a a a n

→∞+++= 而lim n n a →∞不存在; 取2121,n a n -≡- 20,n a = 则()121

lim ,n n a a a n

→∞+++=+∞ 而lim n n a →∞不存在；∞-的情形类似. ■

【例7】设函数f 定义在(),a +∞上，f 在每一个有限区间内有界，并满足

()()lim 1,x f x f x A →+∞

+-= 则()

lim

.x f x A x

→+∞

= 【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.

【证明】由题设()()lim 1,x f x f x A →+∞

+-= 则00,,x a ε?>?> 使得当0x x ≥时，有

()()()1.1f x f x A ε+--<

?0,x x > 记[]00,,m x x k x x m =-=-- 则1,k ≤<0 于是0,x x m k =++因而有

()()()()000f x f x f x k f x k x k m A A A x x m x x -++??+-=-+- ??? ()()()()0002f x f x k f x k x k m A A x m x x -++??+≤-++ ???

. 由(1)式可得

()()0f x f x k m A x m -+??- ???

()()()0

01

11m

i f x

k i f x k i mA m

=≤++-++--∑

()()()00111

1.3m i f x k i f x k i A m m m

εε==++-++--

→+∞

+=及0lim 0x x k

A x →+∞+=，

于是1,x a ?> 使得当1x x >时，有

()()00;.4f x k x k

A x x

εε++<< 取{}01max ,,X x x = 于是当x X >时，由(2)、(3)与(4)便有

()

3.f x A x

εεεε-≤++= 故 ()

lim .x f x A x

→+∞

= ■

【例8】设f 为区间I 上的单调函数，证明：若0x I ∈为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点. 【提示】利用确界与极限关系，证明f 在0x 的左右极限均存在. 【证明】若f 为区间I 上的单调增函数，取()0

0U ,x I ? 且满足()0012U ,,,x x x x I ?∈?∈使得12,x x x <<则f 在()

00U x 上为有界函数. 由()()

()0

00U 0inf ,x x f x f x +∈+= ()()

()000U 0sup ,x x f x f x -∈-= 知道f 在0x 左、右极限均存在. 因此，0x 若为

f 的间断点，则0x 必为f 的第一类间断点. 若f 为区间I 上的单调减函数，则令()(),

g x f x =-则()g x 为I 上的单调增

函数，从而

()()()

(){}()

()0

00000U U 00inf sup ,x x x x f x g x f x f x ++∈∈+=-+=--= ()()()

(){}()

()000000U U 00sup

inf

.x x x x f x g x f x f x --

∈∈-=--=--=

因此，结论也成立. ■

【例9】设函数f 为区间I 上满足利谱希茨条件（Lipschitz ），即存在常数0,L >使得对于 I 上的任意两点'x 与''

x 都有

()()''''''.f x f x L x x -≤- 证明：f 在I 上一致连续.

【证明】0,ε?> 取0,δε=> 则''',,x x I ?∈ 且'''

,x x δ-< 有

()()''''''.f x f x L x x L ε-≤-<

故f 在I 上一致连续. ■

【例10】设{}n a 是有界数列，且12,n n n a a b ++= 若lim n n b →∞

存在，则lim n n a →∞

也存在（北京大学2009年考研试题）.

【证明】因{}n a 有界，故,M ? 使得,n ? 有.n a M ≤

因lim n n b →∞

存在（令其值为b ），故0,,N ε?>? 当n N >时，有

,n b b ε-< 即.n b b b εε<<+-

因12,n n n a a b ++= 故有12.n n b a a b εε+<+<+- 下面用反证法证明1

1

.33

n b a b εε<<-2+2 反设1

,3

n a b ε≥

+2 由12n n a a b ε++<+得 1123n b a b εε+??

+<+ ???

+2，即113.3n a b ε+<-

因()2112,,n n n a a b b b εε++++=∈+- 故有

2123,3n b a b εε+??

-+> ???

-即215.3n a b ε+>+

依此类推，于是得

()221

21.3

k n k a b ε+>+-

因此，当k 充分大时，有2.n k a M +>（例如当21

log 12M b k ε?+?+ ???

>时）

这与{}n a 为有界数列矛盾. 于是1.3n a b ε<

+2 同理可证1

.3

n a b ε>-2 因此，0,,N ε?>?当n N >时有1

.3

n a b ε-<2 故{}n a 收敛. ■

六、本章训练题提示点评 【训练题1】证明函数()1

cos

x

f x e x

=在()01，内非一致连续.（云南大学2004年考研试题） 【提示】利用非一致连续的定义证明. 【证明】01211

10,0,,,222

x x k k εδπππ?=>?>?=

=+当正整数k 充分大时有12||x x δ-<（例如当12k δπ>

时），故有 121012

11cos

cos 1.x x x e e e x x ε-=≥= 因此，命题成立. ■

【训练题2】已知()112,x

x x x

n

a a a f x n ??

+++=

???

其中123,,,n a a a a 为n 个正数.

求（1）()0

lim x f x →；（2）()lim x f x →+∞

与 ()lim .x f x →-∞

（2004年云南大学考研试题）

【解】（1）因12112200ln ln ln lim lim x x x x x x

n n n

x x a a a n a a a a a a nx n

→→+++-+++= （洛比达法则）

()12ln .n a a a n

=

故()12121200lim lim 1x x x

n n a a a n

n

n x

x x x a a a n n x x a a a n f x n +++-+++-→→????+++-??=+ ?????????

(

)

1212120ln lim

lim x x x

x x x n n n x a a a a a a n

a a a n nx

nx

n

x e

e

e

→+++-+++-→====

（2）由（1）知x =0是()f x 的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，

()()

()()

lim ln lim ln lim ,lim ,x x f x f x x x f x e f x e →+∞

→-∞

→+∞

→-∞

==

而 ()121

lim ln lim ln

,x x x

n x x a a a f x x n →+∞→+∞+++=? ()121

lim ln lim ln

.x x x

n x x a a a f x x n

→-∞→-∞+++=? 1 若{}max 1,i i

a =则当0x >时，12.x x x n a a a n <+++≤ 1

故()lim ln 0,x f x →+∞

= 即()lim 1.x f x →+∞

=

2 若{}min 1,i i

a = 则当0x <时，12.x x x n a a a n <+++≤ 1

故()lim ln 0,x f x →-∞

= 即()lim 1.x f x →-∞

=

3 若{}max 1,i i a ≠则12ln x x x

n

a a a n +++ 为x →+∞时的无穷大量.

故由洛比达法则得，

12112212ln ln ln 1

lim ln lim x x x x x x

n n n x x x x x n

a a a a a a a a a x n a a a →+∞→+∞++++++?=+++ {}()

ln max .i i

a =

因此，(){}lim max .i x i

f x a →+∞

=

4 若{}min 1,i i a ≠则12ln x x x

n

a a a n +++ 为x →-∞时的无穷大量.

故由洛比达法则得，

12112212ln ln ln 1

lim ln lim x x x x x x n n n x x x x x n

a a a a a a a a a x n a a a →-∞→-∞++++++?=+++ {}()

ln min .i i

a =

因此，(){}lim min .i x i

f x a →-∞

=

综合,2,3,4 1知，(){}(){}lim max ,lim min .i i x x i

i

f x a f x a →+∞

→-∞

== ■

【训练题3】设()2122lim 1

n n n x ax bx

f x x -→∞++=+是连续函数，求a ,b 的值.(福建师范大学2006年考研试题)

【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.

【解】当1x >时，()23

2211lim

;1n n n a b

x x f x x x x

--→∞

+

+

==+

当1x <时，()2122lim 1

n n n x ax bx

f x x -→∞++=+2;ax bx =+ 当1x =-时，()()1

11;2

f a b -=-+- 当1x =时，()()1

11.2

f a b =

++ 因()f x 在1x =处连续，故()()

()111,f f f -+

==

即 ()1

11;2

a b a b +==

++ 因()f x 在1x =-处连续，故(

)()

()111,f f f -+

-=-=-

即()1

11.2

a b a b -=-=-+- 解方程组可得 0a =, 1.b = ■

【训练题4】求α和,β使得当x→+∞

等价于无穷小量.

xβ

α（上海大学2002年考

研试题）.

【解】

lim lim

x t+

→+∞→

=

2

lim

t

tβ

α

+

→-

=

在右领域()()

0;1

Uδδ

+

<内，

()2

1

1,

2

t t

ο

=++

()2

1

1.

2

t t

ο

=-+

当

1

1,

2

αβ

==-

时，lim 1.

x xβ

α

→+∞

=

即当x→+∞

等价于无穷小量

1

2.

x-■

【训练题5】设()

f x在(),a b上连续，且f是一对一（即()

12

,,

x x a b

?∈且

12

x x

≠时，有()()

12

f x f x

≠），证明：()

f x 在(),a b上严格单调.

【证明】反证法. 反设()

f x在(),a b上非严格单调，

即()

123

,,,

x x x a b

?∈且

123

,

x x x

<<有()()()()

1232

,.

f x f x f x f x

<<

或()()()()

1232

,.

f x f x f x f x

>>（因f是一对一，故不能取等号）

若()()()()

1232

,

f x f x f x f x

<<成立，

取

()()()

{}

213

max,

,

2

f x f x f x

M

+

=

显然()2

M f x

<且()()

13

,.

M f x M f x

>>

在[]

12

,x x上()

f x连续，由介值性定理知，

()

412

,,

x x x

?∈使得()4,

f x M

=

同理()

523

,,

x x x

?∈使得()5.

f x M

=

于是()()

45

,

f x f x

=这与f在(),a b上一对一矛盾.

因此，当

123

x x x

<<时，()()

12

f x f x

<与()()

32

f x f x

<不能同时成立.