第八届启智杯集训(九)

【备注】

一、考察的思维品质

考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。 二、考察的思维能力

1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。

2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。

安康！

”。你知道怎样分吗？

【参考答案】

2．如右图，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。（答案画在右侧方框中）

【参考答案】

3. 请把一张正方形纸片,用剪刀分别分割成9个正方形和11个正方形. 请在右图中画出裁剪方式.

4.将图，剪两刀，然后拼成一个正方形。

【参考答案】

5. 在下面图形中，写有“数”“学”“报”三个字。请你将这个图形剪成形状、大小都相同的三个图形，并且每个图形中各含有“数”“学”“报”这三个字中的一个字。

【参考答案】

6. 下图是正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A 、B 、C 、D 中的（ ）。

【参考答案】C

7.如图所示，长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 拼成，已知长方形ABCD 的面积为180平方厘米，试确定正方形EFGH 的面积等于多少平方厘米？

启

智

杯

＝

12CN ＝1

2

CB ，DA ＝DE ＝CB ＝CN ，所以CM ＝MB ＝CE ＝EN ＝ND.将长方形ABCD 的长边3等分，短边2等分，如图所示，连接对应的等分点，分成网络图形，数一数，长方形ABCD 恰好等于12个正方形EFGH 的面积，由于长方形ABCD 的面积为180平方厘米，所以正方形EFGH 的面积等于18平方厘米。

8. 如下图两个正方形的边长分别是a 和b (

a b >)，将边长为a 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．

（1） （2） （3）

【参考答案】拼成大正方形的面积应是a a b b ?+?，设边长c ，则有等式c c a a b b ?=?+?，

又因为将边长为a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN 为大正方形边长，如图（1），一定有MN MN a a b b ?=?+?，而MH a =，则：NH b =，

所以2AN CM BH a b ===

-÷（），由此可以确定MN ，然后将MN 绕中心O 旋转90 到EF 位置，即可把正方形切成符合要求的4块。如图（2）与图（3），这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为b 的小正方形．这是因为：

（1）中心四边形的角即边长为a 的正方形的四个角，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形。

（2）中心正方形的边长[2]2a a b a b a a b b =-

-÷--÷=--=（）（）（）． 因此，中间部分是边长为b 的正方形。

9.如图所示，这个图形是由2014个同样大小的小正方形组成的。小正方形的边长是1厘米。那么整个图形的周长是多少厘米？ 【参考答案】仔细观察图形，除最左边与最右边的两个小正方形各有3条边在外面，其余2012个小正方形都只有2条边在外面，因此

a b

b O N M

F E

D

C B A b

ⅣⅢⅡⅠ

ⅣⅢ

ⅡⅠO

10.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．

【参考答案】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．

11.求11111111

1248163264128256

+++++++++ …的值。

【参考答案】猜想结论为2.

12. 一排有50个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在哪里，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少个人？

【参考答案】2，5，8，11，14，…，50，位置上已经坐了人，后来的人无论他坐在哪，都有一个人与他相邻。共有17人。

13.把36拆成几个自然数的和，如何拆，所得的乘积最大？

【参考答案】36=3+3+3+……+3，共分拆成12个3的和，此时，12个3相乘积最大。

14.桌面上放有2013枚正面朝上的硬币，第1次翻动其中的1枚，第2次翻动其中的2枚，第3次翻动其中的3枚……第2013次翻动全部的2013枚硬币。问过2013次翻动后，能否使这2013枚硬币全部正面朝下？

【参考答案】第1次与2012次合起来共翻动2013枚硬币，可将所有硬币各翻动一次。同理，第2次与2011次、第3次与2010次……第1006次与第1007次都可以将所有硬币各翻动一次。再加上最后一次翻动，每枚硬币都被翻动了（2013＋1）÷2＝1007（次），即每枚硬币都被翻动了奇数次，所以所有硬币正面朝下。

15. 有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m ＋1，m ＋2011和m ＋2012，那么这三个自然数分别是多少？

根据后三个式子得：2（A ＋B ＋C ）＝3m ＋4024，

2×2015＝3m ＋4024，解得：m ＝2，

所以，A ＋B ＝3，A ＋C ＝2013，B ＋C ＝2014； 那么，A ＝(2013＋3－2014)÷2＝1，B ＝2，C ＝2012.

16. 计算：+?+?+?867645423222 (2016)

201420152014201220132

2?+?+ 【参考答案】原式＝（1＋421?）＋（1＋6

41?）＋（1＋861?）＋…＋（1＋201420121

?）

＋（1＋201620141?）＝1007＋（21－20161）×2

1＝100740321007

17.李乐和王欢在跳蚤市场上卖掉了各自相同数量的游戏卡，而每张游戏卡的单价和总数量正好相等。后来他们又买回来了一套儿童读物，每本10元，剩余的零钱刚好买了一枝水笔，他们平分了这套儿童读物，结果李乐比王欢多分了一本，而王欢得到了那枝水笔。为了公平，李乐应该补给王欢多少元钱？

【参考答案】由题意可知，他们卖出的游戏卡所得的钱数是一个完全平方数，而买回来儿童读物的本数为奇数。设每张游戏卡的单价和游戏卡的总数为a ，儿童读物的本数为b ，水笔的单价为c ，则

a ×a ＝10×

b ＋c(

c ＜10＜a ），b 为奇数。 11×11＝121＝10×12＋1（×）； 12×12＝144＝10×14＋4（×）； 13×13＝169＝10×16＋9（×）； 14×14＝196＝10×19＋6（√）； 15×15＝225＝10×22＋5（×）； 16×16＝256＝10×25＋6（√）； …

24×24＝576＝10×57＋6（√）； …

26×26＝676＝10×67＋6（√）

经检验，个位为6的完全平方数才能满足题意，所以每枝水笔为6元钱。李乐应该给王欢（10－6）÷2＝2（元）。

18.从1，2，3，…，99，100中任选若干个数，使得若干个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（三角形三边长互不相等）。问最少选出多少个数就可以满足条件？

【参考答案】要使选出的数任意三个数都不能构成不等边三角形的边长，可让选入的较大数正好等于较小数的两个数的和，于是就依次得到1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。这恰好得到了“斐波那契数列”，其中任何三个数为边长均不可能构成三角形，因此从1至100中，最多可以选出这10个数，任意三个数均不能。这10个数加入剩下数中的任意一个数，在其中便一定可找到三个数能够组成三角形，所以最少选11个数可以满足条件。