陕西省城固县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

高二第二学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）

A．（，）B．（，﹣）C．（0，1） D．（0，﹣1）

2．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（） A．3 B．6 C．8 D．10

3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5

4.等比数列{}

n

a中，

45

2,5

a a

==，则数列{lg}

n

a的前8项和等于（）

A．6 B．5 C．4 D．3

5．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y轴的距离为( )

A.

3

4

B．1

C.

5

4

D.

7

4

6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )

A．8 B.

8

3

C．4 D.

4

3

7．下列求导运算正确的是( )

A.? ??

??x ＋1x ′＝1＋1x

2

B ．(log 2x )′＝

1

x ln 2

C ．(3x )′＝3x

log 3e

D ．(x 2

cos x )′＝－2sin x

8．在△ABC 中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC 为锐角三角形，且三边长分别为2，

3，x ，则x 的取值范围是．其中正确命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．已知()1,3a =- ，()1,b t = ，若()

2a b a -⊥

，则b =

A .5 B.2 C.10 D.5

10．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－1

2n

，则a k ＋1＝( )

A ．a k ＋12k ＋1

B ．a k ＋12k ＋2－1

2k ＋4

C ．a k ＋12k ＋2

D ．a k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

11．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

12．设定义在(0,)+∞上的单调函数()f x 对任意的(0,)x ∈+∞都有3(()log )4f f x x -=，则不等式2

(2)4f a a +>的解集为（ ）

A ．{}|31a a a <->或

B ．{}|1a a >

C ．{}|31a x -<<

D ．{}|3a a <-

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．2016

12??

-+ ???

= ．

14．计算：

cos 2xdx= ．

15．在平面直角坐标系中，不等式组????

?

x ≥1y ≤2

x －y ≤0

表示的平面区域的外接圆的方程为

________． 16．观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n 个等式为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分

17．(12分)已知函数f (x )＝4cos x 2sin(x ＋π

6

)－1.

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间[－π6，π

4

]上的最大值和最小值．

18．(12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠

ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.

(1)求证：BD ⊥平面PAC ；

(2)求平面PBD 与平面BDA 的夹角．

19．(12分)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 23n a

}的前n 项和．

20．(12分)已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >o )的离心率为2

2

，其中左焦点F (－2,0)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2

＋y 2

＝1上 ，求m 的值．

21.(10分)证明：（1+α）n

≥1+n α（其中α>—1，n 是正整数）. 22.（12分）设函数()ln f x a x =，2

1()2

g x x =

． （I ）若0>a ，求)()()(x g x f x h -=的单调区间；

（II ）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求(,1)m m Z m ∈≤的值；

（III ）记()g x '为()g x 的导函数，若不等式()2()(3)()f x g x a x g x '+<+-在

[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围.

答案 选择：1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.D 10.D 11.D 12.A 12．A

【解析】试题分析：根据3(()log )4f f x x -=可假设4)(=b f ，则有对任意的(0,)x ∈+∞，

b x x f =-3log )(恒成立，再将4)(,==b f b x 代入前式，可得4log 3=+b b ，可求得

3=b ，则x x f 3log 3)(+=，4)3(=f ，可见)(x 为单调增函数，所以2(2)4f a a +>的

解集应该为不等式223a a +>的解，为{}|31a a a <->或，故本题的正确选项为A.

填空：13.1 14.

2

π

15.（x-32）2+(y- 32)2= 12

16. n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-1)2

17.解：(1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π

6)－1

＝4cos x (

32sin x ＋1

2

cos x )－1 ＝3sin2x ＋2cos 2

x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π

6

)，

所以f (x )的最小正周期为π.

(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π

3.

于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π

6时，f (x )取得最大值2；

当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π

6时，f (x )取得最小值－1.

18．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以

AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，

∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD

＝(－23，2,0)，

∴BD 2AP ＝0，BD 2AC

＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .

又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .

(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则n 2BD ＝0，n 2BP

＝0.

由(1)知，BP

＝(－23，0,3)，

∴??

?

－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，

整理得?

???

?

y ＝3x ，z ＝23

3x .

令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，

∴cos 〈m ，n 〉＝m 2n |m ||n |＝1

2

.

∴平面PBD 与平面BDA 的夹角为60° 19．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)．

由条件可知：(2＋3d )2

＝(2＋d )2(2＋7d )，解得d ＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N ＋)．

(2)由(1)知a n 23a n ＝2n 332n

，设数列{a n 23a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝2332

＋4334

＋6336＋…＋2n 332n ， 32

S n ＝2334

＋4336

＋…＋(2n －2)332n

＋2n 332n ＋2

，

故－8S n ＝2(32

＋34

＋36

＋ (32)

)－2n 332n ＋2

，

所以S n ＝

8n －1 39

n ＋1

＋932

.

所以数列{a n 23a n }的前n 项和S n ＝

8n －1 39

n ＋1

＋932

.

20．解：(1)由题意，得?????

c a ＝22

，c ＝2，

a 2

＝b 2

＋c 2

.

解得??

?

a ＝22，

b ＝2.

∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，

由?????

x 28＋y 2

4＝1，y ＝x ＋m .

消去y 得，3x 2

＋4mx ＋2m 2

－8＝0，

∴Δ＝96－8m 2

>0，∴－23

x 1＋x 2

2＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m

3

.

∵点M (x 0，y 0)在圆x 2

＋y 2

＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±35

5

.

22．（1）（4分）221ln )(x x a x h -=，所以2'

()(0)a a x h x x x x x

-=-=

> 因为0>a 所以a x <

<0，则)(x f 的增区间为),0(a ，减区间为),(+∞a

（2）（4分）当1a =，()ln f x x =．

由121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立，得111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立， 设2

()ln (0)2

m t x x x x x =

->． 由题意知 120x x >>，故当(0,)x ∈+∞时函数()t x 单调递增， ∴()ln 10t x mx x '=--≥ 恒成立，即ln 1

x m x

+≥恒成立， 因此，记 ln 1x y x +=

，得2

ln ()x

y x x

-'=， ∵函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

∴函数()h x 在1x =时取得极大值，并且这个极大值就是函数()h x 的最大值．由此可得

max ()(1)1h x h ==，故1m ≥，结合已知条件m Z ∈，1m ≤，可得1m =．

（3）（4分）不等式()2()(3)()f x g x a x g x '+<+-，即为2

1ln 2(3)2

a x x a x x +≤+-， 化简得：2

1(ln )2

a x x x x -≥

-， 由[1,]x e ∈知ln 0x x -> ，因而212ln x x a x x -≥-，设212ln x x y x x

-=-， 由22

2

111

(1)(ln )(1)()(1)(1ln )

22(ln )(ln )x x x x x x x x x y x x x x ------+-'==-- ∵当 (1,)x e ∈ 时 10x ->，1

1ln 02x x +->，∴0y '> 在 [1,]x e ∈时成立． 由不等式有解，可得知min 12a y ≥=-，即实数a 的取值范围是1

[,)2

-+∞