应用OriginPro7_5软件计算药_时曲线下面积(1)

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最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中,向量 OA a =uu r r ,OB b =u u u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++,则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

分形维数算法

分形维数算法. 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形,如Cantor集,Koch曲线,Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的,随机生成的分形,

如蜿蜒曲折的海岸线,变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的,这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形,其自相似性、标度不变性理论上是无限的(观测尺度可以趋于无限小)。不管我们怎样缩小(或放大)尺度(标度)去观察图形,其组成部分和原来的图形没有区别,也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形,其计算方法比较简单,可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) (2-20) 如Cantor集,分数维D=ln2/ln3=0.631;Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形,它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多,它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形,下面介绍一些常用的测定方法(1)尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量,保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ,得到一系列长度N(λ),λ越小、N越大。如果作lnN~lnλ图后得到斜率为负的直线,这表明存在如下的幂函数关系

-D(2-21) N~λ上式也就是Mandelbrot在《分形:形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的,使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为: 1-D(2-22)L=Nλ~λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52,而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3. )小岛法(2面积如果粗糙曲线都是封闭的,例如海洋中的许多小岛,就可以利用周长-关系求分维,因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比, 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系:1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些,提出,应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长,从而给出了下Mandelbrot 述关系式:21/??D??1/1/D2)(2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P)式),使1(周长光滑时D=1,上式转化成为(2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓,a是和岛的形状有关的常数,为小于是测量尺寸,一般取0/D)(1-D??减小而增大。作随测

分形维数算法

分形维数算法

分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形,如Cantor集,Koch曲线,Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的,随机生成的分形,如蜿蜒曲折的海岸线,变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的,这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形,其自相似性、标度不变性理论上是无限的(观测尺度可以趋于无限小)。不管我们怎样缩小(或放大)尺度(标度)去观察图形,其组成部分和原来的图形没有区别,也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形,其计算方法比较简单,可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) (2-20) 如Cantor集,分数维D=ln2/ln3=0.631;Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形,它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多,它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形,下面介绍一些常用的测定方法[26]。 (1)尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量,保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ,得到一系列长度N(λ),λ越小、N越大。如果作lnN~lnλ图后得到斜率为负的直线,这表明存在如下的幂函数关系 N~λ-D(2-21) 上式也就是Mandelbrot在《分形:形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的,使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为: L=Nλ~λ1-D(2-22) 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52,而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。

Koch分形雪花图的面积计算

K o c h分形雪花图的面 积计算 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

Koch分形雪花图的面积计算 一、问题叙述 分形几何图形最基本的特征是自相似性,这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。在具有自相似性的图形中,图形局部只是整体的缩影,而整体图形则是局部的放大。而本文我们要分析的是Koch分形雪花图,包含以下三个问题: 1.描述Koch分形雪花 2.证明Koch分形雪花图K n的边数为 3.求Koch分形雪花图的面积(数据),求 二、问题分析 在分析Koch分形雪花图之前,我们首先介绍Koch分形曲线。Koch分形曲线的绘制原理是:从一条直线段开始,将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替,形成四条线段的折线,如图所示: 图对一条线段进行第一次Koch分形 然后,对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替,形成十六条线段的折线。这种迭代继续进行下去可以形成Koch分形曲线。在迭代过程中,图形中的点数将越来越多,而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。 设P1和P2分别是原始的两个端点,现在需要在直线段的中间依次插入点Q1, Q2,Q3以产生第一次迭代图形。显然,Q1位于P1右端直线段的三分之一处,Q3位于P1点右端直线段的三分之二处,而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的,故可以处理Q Q13经过正交变换而得到Q Q12。算法如下: (1)Q1P1+P P Q P1+P P/3; (2-1)/3;32(2-1) ←←

三角形的面积计算

三角形的面积计算 (本教案由北堡小学顾琴老师提供)教学内容:九年义务教育课本五年级第一学期(试用本)第61~62页 教材分析: 三角形的面积是在学生已掌握三角形的底和高的概念以及长方形、正方形和平行四边形面积计算的基础上进行教学的。通过对这部分内容的教学,使学生理解并掌握三角形面积计算公式,会应用公式计算三角形的面积,同时加深三角形与平行四边形之间内在联系的认识,培养学生的实际操作能力。进一步发展学生的空间观念和思维能力,提高学生的数学素养。学情分析: 教学目标: 1、探索三角形面积计算公式的推导过程,渗透转化的数学思想。 3、在动手操作中,使学生理解三角形面积公式的推导过程,并能正确地计算三角形的面积。 4、通过自主探究,交流,培养探索意识、发现能力和主动获取知识的能力。 5、在探索三角形面积计算公式的过程中,让每个学生体验成功的快乐。 6、培养学生爱学数学,乐学数学的情感。 7、培养学生分析、推理的能力和实际操作的能力。

教学重点:推导三角形面积计算公式并会计算三角形的面积。 教学难点:推导三角形面积计算公式。 课前准备:课件、学具(完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个。)教学过程: 一、创设情景,引出新课 师:同学们今天动物们遇到了一个难题,不知同学们愿不愿意帮 助它们解决? 生: 师:请看屏幕:小兔 小熊 小羊 师:先看一看它们各是什么三角形? 生:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 师:小兔、小熊、小羊它们都认为自己做的三角形最大,于是它 们争吵不休。你们能不能帮助它们解决问题呀! 生: 师:比三角形的大小,用数学中的话说就是比什么? 生:比三角形的大小,用数学中的话说就是比三角形的面积。

曲线型组合图形的面积计算方法

曲线型组合图形的面积计算方法姓名对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决.常用的基本方法有: 一、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计 算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。例如下图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了。 30厘米 二、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图 形的面积之差。例如下图中,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。 三、

四、 重新组合法:这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如,欲求下图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。 五、 辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可.如下图,求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如,如下图,欲求阴影部分的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。 七、 平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积。例如下图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边长方形内,这样整个阴影部分恰是一个长方形。 旋转法:这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积.例如,欲求下左图中阴影部分的面积,可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°,使A 与C 重合,从而构成如下右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。 九、 对称添补法:这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。例如,欲求下图中阴影部分的面积,沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。 十、 重叠法:这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分,然后运用“容斥原理”(SA ∪B =SA +SB-SA ∩B )解决。例如欲求下图中阴影部分的面积,可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部 分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。 10厘米 6厘米 4厘米 20厘米 8厘米 10厘米 20厘米 30厘米 10厘米

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景,引导学生以自主探索或合作交流的方式,展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的,从表面上看,学生动手操作了,也探究了公式的形成过程,但实际上学生仅仅机械地拼了一拼,做了一次“操作工”,他们并没有自己的猜想和创造,没有真正参与知识的产生和形成,教材所提供的学习材料缺乏思维含量,缺少挑战性,学生体会不到思考的乐趣,思维得不到充分发展,为了培养学生的探究意识和探究水平,促动学生探究的有效性,特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1.探索并掌握三角形的面积计算公式,培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2.使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3.在探索活动中使学生获得积极地情感体验,感受数学的乐趣,体会成功的喜悦,进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1.分组:每4人为一小组。 2.每人准备3张正方形纸片。 3.每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间:一课时(不包括活动前的准备) 五、活动过程 1.检查学生课前的准备情况。 2.揭示课题 师:三角形的面积能够怎样计算呢?这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题:三角形面积的计算公式 3.探究操作 师:(先每4人一小组分好小组)每人拿出一张正方形纸片,在上面剪一刀,要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来,不剪也能够。(学生剪、画) 汇报展示。(选择如下三种图) ①②③ 师:这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算?你是怎么知道的? 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种(图③)剪法剪下的三角形面积能计算,三角形面积正好是这个正方形面积的一半,只要把剪下的两个三角形重叠在一起,就能够发现他们完全一样(形状

圆曲线超高加宽计算程序

圆曲线超高加宽计算程序 平曲线加宽类别分为:四级公路不设缓和曲线而用超高加宽缓和段代替及平曲线半径R≤250M时两种情形。 程序说明:能计算双圆复曲线ZY点与YZ点的加宽值,单圆曲线是双圆复曲线在R1=R2时的特例,”r”的输入:FUNCTION—5--2 程序名:YQXJK(圆曲线加宽) Deg:Fix 3:FreqOff←┚ “NEW(0),OLD(≠0)DATA=”?→O←┚ O≠0=》Goto 0:ClrStat←┚ “ZY K=”?Z:”YZ K=”?Y←┚ “R1=”?U:”R2=”?V←┚ “L=”?L←┚ “W=”?W:”+W=”?B←┚ 100→DimZ←┚ U-0.5W-B→Z[1]:U-0.5W→Z[2] ←┚ 厂(Z[2]2+L2-Z[1]2)→Z[3] ←┚ tan-1((Z[2]Z[3]-Z[1]L)÷(Z[1]Z[2]+Z[3]L))→Z[4] ←┚πZ[4]U÷180→Z[5] ←┚

V-0.5W-B→Z[11]:V-0.5W→Z[12] ←┚ 厂(Z[12]2+L2-Z[11]2)→Z[13] ←┚ tan-1((Z[12]Z[13]-Z[11]L)÷(Z[11]Z[12]+Z[13]L))→Z[14] ←┚ πZ[14]V÷180→Z[15] ←┚ Z-L→List X[1] ←┚ Z→List X[2]:Ltan(Z[4])→List Y[2] ←┚ Z+Z[5]→List X[3]:B→List Y[3] ←┚ Y-Z[15]→List X[4]:B→List Y[4] ←┚ Y→List X[5]:Ltan(Z[14])→List Y[5] ←┚ Y+L→List X[6] ←┚ “CAN SHU YES(1),NO(≠1)=”?C←┚ C≠1=>Goto 0←┚ “t1(DMS)=”:Z[4]▲DMS⊿ “t2(DMS)=”:Z[14]▲DMS⊿ “LJ1=”:Z[5]⊿ “LJ2=”:Z[15]⊿ “ZY+JIA KUAN=”:List Y[2]⊿ “YZ+JIA KUAN=”:List Y[5]⊿ Lbi 0:6→K←┚ Do:”+K,<0=>END=”?→F←┚ FBreak←┚

五年级数学三角形面积的计算

三角形面积的计算 五年级数学教案 教学目标 1.理解三角形面积公式的推导过程,正确运用三角形面积计算公式进行计算. 2.培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力. 3.培养学生勤于思考,积极探索的 学习 精神. 教学重点 理解三角形面积计算公式,正确计算三角形的面积. 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程. 教学过程 一、复习铺垫. (一)教师提问:我们学过了哪些平面图形的面积?计算这些图形面积的公式是什么? 教师:今天我们一起研究“三角形的面积”(板书课题) (二)共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程.

二、指导探索 (一)数方格面积. 1.用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积.(小组内分工合作) 2.演示课件:拼摆图形 3.评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积. (二)推导三角形面积计算公式. 1.拿出手里的平行四边形,想办法剪成两个三角形,并比较它们的大小. 2.启发提问:你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形,再计 算面积呢? 3.用两个完全一样的直角三角形拼. (1)教师参与学生拼摆,个别加以指导 (2)演示课件:拼摆图形 (3)讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形(第三种拼法)能帮助我们推导出 三角形面积公式吗?为什么? ②观察拼成的长方形和平行四边形,每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形 的面积有什么关系?

4.用两个完全一样的锐角三角形拼. (1)组织学生利用手里的学具试拼.(指名演示) (2)演示课件:拼摆图形(突出旋转、平移) 教师提问:每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? 5.用两个完全一样的钝角三角形来拼. (1)由学生独立完成. (2)演示课件:拼摆图形 6.讨论: (1)两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形? (2)每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? (3)三角形面积的计算公式是什么? (4)如果用S表示三角形面积,用a和h表示三角形的底和高,那么三角形面积的计算公式可以写成什么? (三)教学例1. 例1.一种零件有一面是三角形,三角形的底是5.6厘米,高是4厘米.这个三角形的面积是多少平方厘米? 1.由学生独立解答. 2.订正答案(教师板书) 5.6×4÷2=11.2(平方厘米) 答:这个三角形的面积是11.2平方厘米.

分形算法与应用

《分形算法与应用》教学大纲 1 课程的基本描述 课程名称:分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号:5301A36 课程性质:专业课适用专业:计算机专业 教材选用:孙博文编著,《分形算法与程序设计》,科学出版社,2004.11 总学时:32学时理论学时:32学时 实验学时:0学时课程设计:无 学分:2学分开课学期:第七学期 前导课程:算法分析 后续课程:毕业设计 2 教学定位 2.1 能力培养目标 通过本课程的学习,培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力,以及算法设计与分析能力,程序设计和实现能力。一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法,以便实现对不规则对象的算法设计。另一方面,学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。 2.2 课程的主要特点 本课程是一门重要的专业课,有理论性、设计性与实践性的特点。介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。不仅为后续专业课提供了必要的知识基础,也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。

2.3 教学定位 通过本课程的学习,使学生达到知识和技能两方面的目标: 1.知识方面:从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度,系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法,了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案,不同运算实现的原则和方法。 2.技能方面:系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想,从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧,使分析问题和解决问题的能力得到提高。 3 知识点与学时分配 3.1掌握分形的基本概念 分形简介 分形 分维 分形的测量 共2学时 3.2分形图生成算法之一 分形图的递归算法 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Peano曲线、分形树等的递归算法。 共2学时 3.3分形图生成算法之二 文法构图算法 LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、 随机LS文法生成。 共2学时 3.4分形图生成算法之三 迭代函数系统

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 教学目标: 1、使学生理解和掌握三角形面积计算的公式,能够应用公式计算三角形的面积2、经历探索三角形面积计算方法的过程,培养学生抽象概括的能力 3、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系 教学重点:探索并掌握三角形面积计算公式,能正确计算三角形的面积。 教学难点:理解三角形面积是同底(长)等高(宽)的平行四边形面积的一半。 教学关键:让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备:三组三角形(直角三角形,锐角三角形,钝角三角形) 学具准备:每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个 教学过程: 一、创设情境,揭示课题 复习:平行四边形的面积公式。

大家都是少先队员吗?是少先队员就要佩戴红领巾,那你有没有观察过你所戴的红领巾是什么形状的呢?(三角形)那你有办法计算出它的面积吗?今天就让我们来学习“三角形的面积”(板书课题) (屏幕出示红领巾图) 二、动手操作,自主探究 1、大家想一想,我们学过的三角形可以分成几类呢?(板书:锐角三角形,直角三角形和钝角三角形)此时在黑板上呈现出提前准备好的三角形教具,并贴在黑板上。(将三角形的高和底分别表在图上) 将任意一组三角形(大小相等)发给学生, 提问:上节课,我们把平行四边形转化成长方形来探索平行四边形面积的计算公式的。大家猜一猜:能不能把三角形也转化成已学过的图形来求面积呢? 讨论并试着回答问题: (1)三角形的面积与转化后的图形的面积有什么关系? (2)三角形的底与高和转化后的图形的()与()有关,有什么关系?(3)利用转化的图形,你能找到计算三角形面积的方法吗? 2、分组实验,合作学习。 (1)提出操作和探究要求。

利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一.复习回顾: 1.定积分的几何意义:当()0f x ≥时,积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时,由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理(微积分基本定理)如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数,并且' ()()F x f x =,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二.曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥,则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为:()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解:先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 所求的面积= 2 23220 08424333x x x dx x ??-=-=-=????? 例1 例2.计算曲线21y x =+和24y x =-,以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。 解:所求面积= 11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---??--+=-=-=?????? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,如果它们交叉会是什么结果? 考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ,阴影部分面积可以表示为: 1 23123()()()()()()()()c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-???? ?b a f (x )dx =c a f (x )dx +b c f (x )dx 。

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a,高h,则 S=ah/22.已知三角形三边a,b,c,则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= &frac12;ab sinC=2R&sup2; sinAsinBsinC= a&sup2;sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= &frac12;√(|AB|*|AC|)&sup2;-(AB*AC)

小学数学《三角形的面积计算公式》

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计 刘河小学李志强 教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析: 人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析: 学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标: 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程,理解三角形面积公式的来源;并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中,培养学生的实践动手能力,合作探索意识和能力,培养创新意识和能力。 3、通过实践操作,自主探究,使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点:三角形面积计算公式的推导。 教学难点:运用拼、剪、平移、旋转等方法,发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面 积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备:多媒体课件一套。 学具准备:工具(尺、剪刀),三组学具(①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 摘自:《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节,教材上是这样安排的:一、明确目标; 二、用数格的方式不能确定三角形的面积;三、能否转化成以前学过的图形进行计算?四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形,直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半;五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形; 六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形,两者的关系是“等底等高,面积一半”; 七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中,发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下: 第一步没什么问题,每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么:学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式,就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下,面对三角形,学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验,第一印象,第一个技巧。也是最简单,最直接(当然也是最麻烦)的方法。关于第三步:教材上只有一句话:能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式,我们常给初中学生提起这些认知策略,但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过,把挖掘其涵,为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话,只是把它当作一个过渡句,当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是,转化成什么?怎么转化?把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种(如图)。教材上的引导方式只有教师的主导性,而忽视了学生的主体位置。 前面提到,学生计算三角形面积的首选方法是数格,那么次选方法是什么?他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中,与计算面积有关的直接、简单、容易操作的容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为:一、这个技巧刚刚学过;二、切割是个动作,但这个动作能把不规则变规则,所以印象深刻;三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法,想办法切割三角形的某一角移动填补另一角,变三角形成长方形或平行四边形。

(完整)横断面设计平曲线超高、加宽

(2)超高横坡度大于路拱坡度时,可分别采用以下三种方式: 图2—12 无中间分隔带公路的超高过渡 绕内边缘线旋转 先将外侧车道绕路面未加宽前的中心线旋转,待达到与内侧车道构成单向横坡后,整个断面绕路面未加宽前的内侧边缘线旋转,直至全超高横坡度值。 绕中线旋转 先将外侧车道绕路面未加宽前的路中心线旋转,待达到与内侧构成单向横坡后,整个断面一同绕路面未加宽前的路中心线旋转,直至全超高横坡度值。 绕外边缘线旋转 先将外侧车道绕路面外侧边缘旋转,与此同时,内侧车道随中线的降低而相应降低,待达到单向横坡后,整个断面仍绕外侧车道边缘旋转,直至超高横坡值。 一般新建公路多用绕内边缘线旋转方式;旧路改建工程多用绕中心线旋转方式;绕外侧边缘线旋转是一种比较特殊的设计,仅用于某些为改善路容的地点。 2.有中间分隔带公路的超高过渡 (1)绕中央分隔带的中心线旋转 先将外侧行车道绕中央分隔带的中心线旋转,待达到与内侧行车道构成单向横坡后,整个断面一同绕中央分隔带的中心线旋转,直至全超高横坡值。 (2)绕中央分隔带两侧边缘线旋转 将两侧行车道分别绕中央分隔带两侧边缘线旋转,使之各自成为独立的单向超高断面。此时中央分隔带维持原水平状态。 (3)绕各自行车道中线旋转 将两侧行车道分别绕各自的行车道中心线旋转,使之各自成为独立的单向超高断面,此时中央分隔带两边缘分别升高与降低而成为倾斜断面。 三种超高过渡方式各有优缺点,中间带宽度较窄时可采用绕中央分隔带的中心线旋转;各种中间带宽度的都可以采用绕中央分隔带的两侧边缘旋转;对于车道数大于4条的公路可采用绕各自行车道中心线旋转; 图2—13 有中间分隔带公路的超高过渡 (三)超高缓和段长度 为了行车的舒适、路容的美观和排水的通畅,必须设置一定长度的超高缓和段,超高的过渡则是在超高缓和段全长范围内进行的。 双车道公路超高缓和段长度按下式计算:(2—23) 式中:Lc —超高缓和段长度; B —旋转轴至行车道外侧边缘的宽度(m); △i —超高旋转轴外侧的最大超高横坡度与原路拱横坡度的代数差; p —超高渐变率(由于逐渐超高而引起外侧边缘纵坡与路线原设计纵坡的差值)。(四)横断面超高值计算 (绕内边轴旋转的超高缓和段图示) 绕内边轴旋转的超高值计算公式 超高值计算公式备注 0≤x≤L1 L1≤x≤Lc 各超高值均与设计 标高比较,

几何——曲线型面积

本讲主线 1、基本面积公式&模型. 2、复合图形的分割、补图。 知识要点屋 1、圆的周长:C d π= 或 2C r π= 2、圆面积:2S r π= 3、扇形:在圆的基础上360n ? 4、三大基本曲线面积模型: =-弓形扇形三角形 =-弯角正方形扇形 2=?谷子弓形面积 【课前小练习】(★) 1、已知扇形面积为18.84平方厘米,圆心角为60?,则这个扇形的半径和周长各是多少? ( 圆周率按3.14计算) 2、如图中扇形的半径6OA OB ==厘米,45AOB ∠=?,AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? ( 3.14π≈)

例题精讲 【例1】(★★) 如图,大圆半径为小圆半径两倍,已知图中阴影部分面积为 S,空白部 1 分面积为 S,那么这两部分面积之比为。(π取3.14) 2 【巩固】(★★) 、、、分别为直径画半圆,求这四如图,ABCD是边长为4厘米的正方形,以AB BC CD DA 个半圆弧所围成的阴影部分的面积。(π取3) 【例2】(★★★) 如图中三个圆的半径都是5cm,三个圆两两相交于圆心。求阴影部分的面积和。(圆周率取3.14) 【拓展】(★★) 如图,是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的,其中圆的直径与扇形的半径都是4。图中阴影部分的面积是多少? (π取3.14)

如图,1BD DC DA ===。求阴影部分面积。 【例4】(★★★) 如图,AB 与CD 是两条垂直的直径,圆O 的半径为15,扇形ACB 是 以C 为圆心,AC 为半径的圆弧。求阴影部分面积。 【例5】(★★★)第四届走美杯决赛试题 如图,边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置,以BC 为边向内侧作等边三角形,分别以B C 、为圆心,BK CK 、为半径画 弧。求阴影部分面积。(π取3.14)

三角形面积计算

麦档网文库https://www.360docs.net/doc/f411860950.html, (3)三角形面积计算 教学内容:p.15、16的例4、例5,试一试和练一练,第17页的第1~3题 教学目标: 1、使学生经历操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动,探索并掌握三角形的面积公式,能正确地计算三角形的面积,并应用公式解决简单的实际问题。 2、使学生进一步体会转化方法的价值,培养学生应用已有知识解决新问题的能力,发展学生的空间观念和初步的推理能力。 3、培养学生良好的数学兴趣和探究意识,体验数学的价值。 教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点:理解三角形面积公式的推导过程。 教学准备:学生剪好例4的图形,和第127页上的三角形 教学过程: 一、复习: 老师先在黑板上分别画一组平行四边形,(图略,底和高分别为:3和2,2和3,1和6,6和1) 学生观察后,说说这一组平行四边形有什么联系? (形状不同、面积相同) 指出:作业中有这类题的要求,有的学生只能画一些比较雷同的平行四边形。(举例几种比较雷同的形状) 小结:做这类题应该怎么思考? 二、学习三角形的面积: 1、取其中一个三角形,示范“沿对角线”分。观察后说说得到了什么?(两个完全一样的三角形) 为什么说是完全一样? (方法一:分别用底和高是多少来考虑。同时可以得出:三角形和平行四边形是同底和同高的。 方法二:可以用剪好的平行四边形来分一分,比一比。 ……) 2、说面积:平行四边形的面积是多少?三角形的面积是多少?你是怎么想的? 指出:三角形的面积是平行四边形面积的一半,知道了平行四边形的面积,只要除以2就得到了三角形的面积。 3、利用黑板上的平行四边形,画好对角线,分别告诉学生平行四边形的面积,让学生说说三角形的面积;或是告诉三角形面积,让学生说说对应的平行四边形面积。 三、操作、练习: 1、取例4的三张平行四边形,让学生分别列式算出其中一个三角形的面积。 交流。注意要让学生用综合算式来列式。 2、取第127页上的六个三角形。用两个完全一样的三角形拼平行四边形。老师巡视、指导。提问:找其中最小的平行四边形,其中一半是多少面积?最大的呢?剩下的呢? 补充:把这些三角形打乱,选两个不完全一样的三角形,能不能拼成平行四边形呢?你有什么发现? (1、只有完全相等的三角形才能拼成平行四边形。 2、两个直角三角形可以拼成长方形。) 3、完成三角形面积计算公式:底×高÷2 字母表示:ah÷2 四、巩固练习: 1、完成试一试。学生把算式写在书上,指名交流。 2、完成练一练。指名说说自己是怎么想的。 3、学生独立完成练习三的第1~3题。指名交流。 五、全课总结: 这节课我们认识了三角形的面积,说说怎么算?要注意什么? 1

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 河北邯郸 贾敬堂 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AO B 中,向量 O A a =uur r ,O B b =uu u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y ,

则三角形面积11223 3 1 112 1 x y S x y x y = 的绝对值12233113213212 x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积122112S x y x y = -。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 A B c B C a C A b p a b c ====++,则 三角形面积S = 。 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B = = = ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2sin() 2sin() 2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C = = = +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2 sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

求出雪花曲线的面积

求出雪花曲线的面积 这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。为了生成科克雪花曲线,先从一个等边三角形开始。把每一边分成三等分。取走中间的三分之一,在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。重复这一过程得到各个尖角,以至无穷。 看来似乎矛盾的两个迷人的特性是—— ·雪花曲线的面积是原来那个生成 它的三角形的面积的8/5; ·雪花曲线的周长是无穷大。 雪花曲线的面积是生成它的三角形 的面积的8/5的非正式证明如下。 Ⅰ.假定等边△ABC的面积是k。 Ⅱ.分△ABC为九个全等等边三角形,各具有面积a,如图所示。因此k=9a。 现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。我们知道大尖角的面积是a,因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。在由它生成的下一批尖角中,每一尖角具有面积a/9,因为和原来的三角形一样,它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。事实上,每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形,同时在两边生出两个三角形。 Ⅲ.把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下:

Ⅳ.现在,把六个尖角中每一个所造成的面积相加,再加上原来的生成三角形内部的六边形,我们得到 Ⅴ.上式变成 方括弧内第二项开始的级数是几何级数,它的公比是4/9,首项是2/9,所以我们能计算它的极限:(2/9)/(1-(4/9))=2/5。 Ⅳ.代入级数的极限值2/5,我们得到 (1+2/5)6a+6a=72a/5。 现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。因为 k=9a,我们得a=k/9。把这a值代入72a/5,我们得(72/5)(k/9)=(8/5)k。

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