探求无穷级数求和的几种常用方法

摘要本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。

关键词高等数学；无穷级数；求和

无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分，它在函数的表达﹑研究函数的性质﹑求函数值以及求解微分方程等都是非常有用的，而收敛级数的求和在级数中占有很重要的位置。

设数列，称是无穷级数,作部分和数列..若极限存在，称级数收敛，和是s,;若极限不存在，称级数发散.本文考虑在级数收敛时，如何求和?常用求和方法可总结成以下几类：

1 利用级数收敛的定义求和

对于，先求出，再求极限。当极限存在且为s时，则。

例1 ：证明：级数

收敛，并求其和。

证明：级数的前项部分和

由于，所以级数收敛，其和是，即。

2 利用已知的级数的和，求其它级数的和

利用级数的四则运算和代数运算，将所求级数的和转化为已知的常用的级数的和，可以求出一部分级数的和。例如：

其中C为尤拉常数，且。

例2：已知。求和。

解：因为所以。

3 利用错位相减法求和

对于级数，写出.用一个适当的数q乘以sn，再算出或，进而求出sn，再求极限。

例3 ：证明级数收敛，并求其和。

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

无穷级数求和问题的几种方法

目录摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号2008060122 指导教师李红梅完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法. 关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1运用公式法很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式应当熟记: L 1 123n n(n 2 1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1 111 L 11 1 22232n2 还要记住一些正整数的幕和公式： 2 2 2 2 1 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6 小3 小3 3 1 2 “八2 1 2 3 n n (n 1) 4 例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n. (1) 所以 2 由S n 32n n ,可得a n 16 时,T n=S n 17时， T n T n 求S n 1 33 2n, a n 0 16，所以: 32n a1 (a1 S]6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (S n S n 32n n2 32n 2 (n 1) a n a? S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 a n) (n (n 1,2,L 17,且n N ) ,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n 2) 1 1 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 答案：S n n 2. 答案：S n n 3n . (1) 求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n . 答案：（1） 2 n 1 n n a n 3 ； (2) S n 2 . 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数列，S n 表示a n 的前n 项和. (1)求 a n 及 S n ； 2 （2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通项公式及其前n 项和T n . 答案：（1） a n 2n 1,S n n 2 ；（2） b n 22n1 ,T n 2 （4n 1）. 3 2倒序相加法事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法 ? 例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为： 1 2 4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3 3 3 3 3 3 高考题1 （2014年高考浙江卷文科第 19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n . 高考题2 （2014年高考四川卷理科第 19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n . 咼考题3 （2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22n n a a n n s na d +-=+= ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

级数求和

级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法. 关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法

Summation of series method in common use Abstract Progression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions. Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：

二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案：练习题2的前n 项和为____ 答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解）一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ；（2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ；（3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数求和的常用方法.docx

1.7 方程式法 (3) 1.8 原级数转化为子序列求和 (3) 1.9 数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10 化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11 三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12 构造函数计算级数和 (5) 1.13 级数讨论其子序列 (5) 1.14 裂项法求级数和 (6) 1.15 裂项+分拆组合法 (7) 1.16 夹逼法求解级数和 (7) 2 函数项级数求和 (8) 2.1 方程式法 (8) 2.2 积分型级数求和 (8) 2.3 逐项求导求级数和 (9) 2.4 逐项积分求级数和 (9) 2.5 将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6 利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7 三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8 利用三角公式化简级数 (12) 2.9 针对2.7 的延伸 (12) 2.10 添加项处理系数 (12) 2.11 应用留数定理计算级数和 (13) 2.12 利用Beta 函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性? 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. s=naι n(^d= n(ai,其中a1为首项，d为公差 12 2 证明：s=a∣ +a2+...+a n①，s=a n+...+a2+a1② ①+②得：2s=(a a n)+ a2+a n-1 +...+(a n+a1) 因为等差级数a1■ a n=...=a n+a1 所以S = n(a1? an)此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2. 2 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1：求C n l■ 3c1■ 5C n... (2n ? 1)c：. 解：C0■ 3C n ■ 5c2... ■ (2n 1)c∩，s = (2n? 1)c：^ ...5C n '3c∩' C n ,两式相加得： 2s=(2n 2)(C∩ ...c2C n C∩^(Π 1) 2n 1,即： c0 3c1 5c∏ ... (2Π 1)C∏=(Π 1)2n. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q=1，s ^na j当q ≠ 1，s=a(I L),其中印为首项，q为公比. 1-q 证明：当q=1 ,易得s=na1，当q ≠ 1, s=a1 +a1q1+...+a1q n4①，qs=a1q+a1q2+...+a1q n②， ①-②得(^q)^a^a I q n.可以导出一种方法“错位相减”见下 1.4

级数求和的若干种方法

本科生毕业论文 ( 2013 届 ) 题目：级数求和的若干种方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：指导教师：职称（学位）：副教授合作导师：职称（学位）：完成时间：2013 年 5 月 20 日成绩：

学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。声明人（签名）：年月日

目录中文摘要 (1) 外文摘要 (2) 1.引言 (3) 2．关于级数问题的介绍 (3) 2.1常数项级数的概念及基本性质 (3) 2.2收敛判别法 (4) 2.2.1 利用收敛定义判别 (4) 2.2.2 特殊级数收敛判别 (4) 2.2.3 利用绝对收敛定理判别 (5) 2.3幂级数的收敛域 (5) 2.3.1幂级数及其相关概念 (5) 2.3.2幂级数的收敛半径及收敛域的求法 (6) 2.4幂级数的性质 (6) 3.级数求和的方法 (6) 3.1利用级数定义求和的几种方法 (7) 3.1.1利用等差数列求和公式求级数和 (7) 3.1.2利用等比数列求和公式求级数和 (7) 3.1.3 利用错位相减法求级数和 (8) 3.1.4利用裂项相消法求级数和 (9) 3.1.5利用待定系数法求级数和 (10) 3.2 幂级数求和的几种方法 (11) 3.2.1利用幂级数的性质求级数和 (11) 3.2.2利用微分方程的转化求级数和 (13) 3.3利用幂级数求和的几种方法 (14) 3.3.1构造级数再利用一致收敛级数的性质求级数和 (14) 3.3.2利用傅里叶级数求级数和 (14) 3.4 利用概率方法求级数和 (16) 4．结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

级数求和的常用方法 (2)

1、7方程式法 (3) 1、8原级数转化为子序列求与 (3) 1、9数项级数化为函数项级数求与 (3) 1、10化数项级数为积分函数求原级数与 (4) 1、11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1、12构造函数计算级数与 (5) 1、13级数讨论其子序列 (5) 1、14裂项法求级数与 (6) 1、15裂项+分拆组合法 (7) 1、16夹逼法求解级数与 (7) 2函数项级数求与 (8) 2、1方程式法 (8) 2、2积分型级数求与 (8) 2、3逐项求导求级数与 (9) 2、4逐项积分求级数与 (9) 2、5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2、6利用傅里叶级数求级数与 (10) 2、7三角级数对应复数求级数与 (11) 2、8利用三角公式化简级数 (12) 2、9针对2、7的延伸 (12) 2、10添加项处理系数 (12) 2、11应用留数定理计算级数与 (13) 2、12利用Beta函数求级数与 (14)

参考文献 (15)

级数求与的常用方法级数要首先考虑敛散性,但本文以级数求与为中心,故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题、由于无穷级数求与就是个无穷问题,我们只能得到一个n →∞的极限与、加之级数能求与的本身就困难,故本文只做一些特殊情况的讨论,而无级数求与的一般通用方法,各种方法主要以例题形式给出,以期达到较高的事实性、 1数项级数求与 1、1等差级数求与等差级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公差,并运用公式可求与、 11((1)22 n n a a n n s na d +-=+=）,其中1a 为首项,d 为公差证明:12=++...+n s a a a ①,21s=+...++n a a a ② ①+②得:()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1、2、 1、2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同,便化为一简易级数求与、例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++、解:01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++,210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++,两式相加得:21012(22)(...)(1)2 n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?,即: 01 235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+、 1、3等比级数求与等比级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公比并运用公式可求与、当q =1,1s na =;当q ≠1,1(1)1n a q s q -=-,其中1a 为首项,q 为公比、证明:当q =1,易得1s na =, 当q ≠1,11111=++...+n s a a q a q - ①, 2111=++...+n qs a q a q a q ②, ①-②得11(1)n q s a a q -=-、可以导出一种方法“错位相减”见下1、4

数列求和方法归纳

数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n= (1) 2 n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2 2 2 2 123+++……+n =(1)(21) 6 n n n ++，3333123+++……+n = 2 (1)2n n +?? ???? 等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++ +．由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =．变式练习：已知3 log 1 log 23-= x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n 21 二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求222 2 2 2222222123101102938101++++++++的和．解：设222 2 2 222 2222123101102938101 S =++++++++ 则222 2 22222222109811012938 101 S =+++ +++++．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．三、裂项相消法常见的拆项公式有： 1 ()n n k =+111()k n n k -+ ， =1k ，

1(21)(21)n n =-+111 ()22121 n n --+，等. 例3 已知2221 12(1)(21)6 n n n n ++ +=++，求222222222 35721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．解：22221216 112(1) (1)(21)6 n n n a n n n n n n ++=== ++++++， 11 161223(1)111116122311611ln .1 n S n n n n n n ??∴=++ +????+???????? =-+-++ - ? ???+???? ??? ?=- ?+??=+ 小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即 1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习：求数列 311?，421?，5 31 ?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S. 解：∵ )2(1+n n =2 1 1(21+-n n ） S n =??????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4 21 22143+-+-n n 四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{} n b