八年级第13讲 从勾股定理谈起

初中数学竞赛

第十三讲 从勾股定理谈起

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,大约在公元前1100多年前,商高已经证明了普通意义下的勾股定理,在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”.

勾股定理是平面几何中一个重要定理,其广泛的应用体现在:勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法,运用勾股定理的逆定理,通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段. 直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余(角的关系) 、勾股定理(边的关系) ,30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系) ,这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.

例题求解

【例1】如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ,连结DC ,以DC 为边作等边△DCE ,B 、E 在CD 的同侧,若AB=2,则BE= .

(重庆市中考题)

思路点拨 因BE 不是直角三角形的边,故不能用勾股定理直接计算,需找出与BE 相等的线段转化问题.

注 千百年来,勾股定理的证明吸引着数学爱好者,目前有400多种证法,许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明,美国第20任总统加菲尔德(1831—1881) 曾给出一个简单证法.

勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征,有人建议,将来与“外星人”交往,可以把勾股定理转化为光电讯号,传向异域,他们一定懂得勾股定理.

现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案.

【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示) .如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a ,较长直角边为b ,那么(a+b)2的值为( )

A .13 B .19 C .25 D .169

(山东省中考题)

思路点拨 利用勾股定理、面积关系建立a 、b 的方程组.

【例3】 如图,P 为△ABC 边BC 上的一点,且PC =2PB , 已知∠ABC =45°,∠APC =60°,求∠ACB 的度数.

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨 不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数,解本例的关键是由条件构造出含30°角的直角三角形.

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