2018届一轮复习 专题1.6 圆锥曲线 学案

一．考场传真

1. 【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】

A

2．【2017课标II ，理9】若双曲线C :22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆

()

2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A ．2 B

C

D

【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的渐近线为：0bx ay ±=，圆

心()2,0

到渐近线距离为：d =

=，不妨考查点()2,0到直线0bx ay +=

的距

离：2b

d c =()2

2

2

43c a c -=，整理可得：2

24c

a =,双曲线的离

心率2e ===.故选A. 3．【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，

A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A

B

C

D ．

13

【答案】A

4．【2017课标1，理】已知双曲线C ：22

221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆

心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.

【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则

MN 为双曲线的渐近线b

y x a

=

上的点，且(,0)A a ，AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ，点(,0)A a 到直线b

y x a

=

的距离AP =Rt PAN ?中，

cos PA

PAN NA

=

，代入计算得223a b =

，即a =，由222c a b =+得2c b =

，所以c e a =

==

5．【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延

长线交y 轴于点N .若M 为FN 【答案】6

6．【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22

221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为

y x =,且与椭圆221123x y +

=有公共焦点，则C 的方程为 A ．22

1810

x y -=

B ．22145x y -=

C ．22154x y -=

D ．22

143

x y -=

【答案】B

【解析】双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为b

y x a

=± ，椭圆中：

2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0± ，据此可得双

曲线中的方程组：222

3b a c a b c ?=???=-??=???

，解得：224,5a b == ，则双曲线C 的方程为

2

145

x y 2-= .故选B . 7．【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程

.

8．【2017课标1，理20】已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），

P 3（–1

），P 4（1

C 上.

（1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+

知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此2

221

11314b a

b ?=????+=??，解得2

241a b ?=??=??.故C 的方程为2

214

x y +=.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知

0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t

，（t

，.

则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.

将y kx m =+代入2

214

x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知2

2

=16(41)0k m ?-+>.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841

km

k -+，x 1x 2=224441m k -+.

而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141

m km

k m k k --+?

+-?=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1

1(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）

9．【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P

满足NP =

.

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=

.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦

点F .

二．高考研究

【考纲解读】

1.考纲要求

(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

(３)圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想

(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.

2.命题规律：

1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14 .

2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．

数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；

③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）

④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；

⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；

⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；

3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 3．学法导航

1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊

情况，可用数形结合的方法分析研究．

2. 解决与圆有关的问题一般有两种方法：几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解

题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．

5．明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

一．基础知识整合 基础知识：

1. 直线的方程：点斜式：)(11x x k y y -=-； 截距式：b kx y +=；两点式：

1

21121x x x x y y y y --=

--； 截距式：1=+b y

a x ；一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.

2．两条直线的位置关系：两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

两直线平行?两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；

两直线垂直?两直线的斜率之积为1-或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零； 与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为0()Ax By m C m ++=≠； 若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论： l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝

0.

两平行直线间距离公式：

10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离

d =

3．圆的有关问题：

圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为2

2

2

r y x =+． 圆的一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x （F E D 42

2-+＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（2D -

，2E -），半径为F E D r 42

1

22-+=

. 当F E D 42

2-+=0时，方程表示一个点（2D -，2

E -）；

当F E D 42

2-+＜0时，方程不表示任何图形.

圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：2

2

2

r y x =+ ? cos sin x r y r θ

θ

=??=?

（θ为参数）

2

2

2

)()(r b y a x =-+- ? cos sin x a r y b r θ

θ=+??

=+?

（θ为参数） 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系的判断：

【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则

（1）d r ?直线与圆相离?直线与圆无公共点；

（3）d r =?直线与圆相切?直线与圆有且只有一个公共点；

【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则

（1）0?>?直线与圆相交?直线与圆有两个公共点； （2）0?

（3）0?=?直线与圆相切?直线与圆有且只有一个公共点；

若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l = 4．椭圆及其标准方程：

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）.

椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分母大于2

y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论

可以设其方程为2

2

1(0,0)Ax By A B +=>>或22

1(0,0)x y A B A B

+=>>；

椭圆的参数方程： 椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?

（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不

同：θαtan tan a b =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122

22=+b

y a x 与三角恒等式

1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

5．椭圆的简单几何性质

椭圆的几何性质：设椭圆方程为122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）.

范围： -a≤x≤a ，-b≤x≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.

对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分

别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a

c

e =

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

a

c

e =

（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2

±=.

对于椭圆12222=+b

x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2

±=.

椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，

y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于2

12

tan 2

F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；

过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2

a 6．双曲线及其标准方程：

双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.

若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）.这里2

22a c b -=，其

中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小 判断焦点在哪一条坐标轴上.

求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨

论可以设其方程为2

2

1(0)Ax By AB +=<或22

1(0)x y AB A B

+=<

7．双曲线的简单几何性质

双曲线122

22=-b

y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双

曲线的开口越大.

双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为022

22=-b

y a x .若已知双曲线的渐

近线方程是x n

m

y ±

=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常

数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122

22=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）

和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c

a x 2

=.

在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角

形为焦点三角形，则面积等于2

12tan

2

b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的

弦长即通径长为2

2b a

8．抛物线的标准方程和几何性质

抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线.

需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线. 抛物线的方程有四种类型：2

2y px =、2

2y px =-、2

2x py =、2

2x py =-.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向. 抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例 （1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的； （5）准线方程2

p

x =-

； （6）焦半径公式：抛物线上一点11(,)P x y ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：2

2112:;2:22

p p

y px PF x y px PF x ==+

=-=-+ 22112:;2:22

p p

x py PF y x py PF y ==+=-=-+

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，AB 的倾斜角为α，则有

12AB x x p =++或22sin p

AB α

=

，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的

弦，只能用“弦长公式” 求.

在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切； 9．直线与圆锥曲线的位置关系：

①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值 解决．

②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线l被圆锥曲线所截得弦为AB

，则长为

|||||

A B A B

AB x x y y

=-=-，其中k为直线l的斜率

必备方法：

1.点差法（中点弦问题）

利用“点差法”解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）

——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.

2．联立消元法：韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解

3．设而不求法

4.判别式法

5.求根公式法

椭圆与双曲线的经典结论

一．椭圆

1．

12

||||2

PF PF a

+=

2．标准方程：

22

22

1

x y

a b

+=

3．1

1

||

1

PF

e

d

=<

4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所

在的直线切于A 2（或A 1）.

9．椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭

圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

10．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

11．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切

点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y a b

+=. 12．AB 是椭圆22

221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则

2

2OM AB

b k k a

?=-.

13．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b

+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y

x y a b a b

+=+. 15．若PQ 是椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则

122222

121111

(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为

1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22

2211A B a b +=+;(2) L =.

17．给定椭圆1C ：2

2

2

2

22

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22

22

2

2

222

()a b b x a y ab a b

-+=+,则(i )对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点

M (2222002222(,)a b a b x y a b a b

---++.

(ii )对2C 上任一点'

'

'

000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'

0P 点.

18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C :22

221x y a b

+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,

且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要

条件是2

12211m b k k m a

+?=-?-.

19．过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭

圆于B ,C 两点，则直线BC 有定向且20

20

BC

b x k a y =（常数）. 20．椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为

12

2

tan 2

F PF S b γ

?=，2

tan )2b P c γ . 21．若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 22．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

23．若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当

0＜e

1-时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

24．P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

25．椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是

222

2

02

22

()a b x a b k

-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ?

?

=??

=?（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是

22

1

1sin e ?

=

+. 29．设A ,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22

221x y a b

+=相交于

,P Q ,则AP BQ =.

30．在椭圆22221x y a b

+=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为22

22222

22

1()

cos sin x y a b m a b

αα-+=+,其中2222tan b x a y

α=-,当0y =时, 90α=

.

31．设S 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，

记|AB |=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e

=-222

(c a b =-,c e a =);

当l S <Φ时，有0max ()x =

0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b +=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C +≥.

33．椭圆22

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是

2222200()A a B b Ax By C +≥++.

34．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意

一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

35．经过椭圆2

2

2

2

22

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则2

12||||PA PA b ?=.

36．已知椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.

（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP |2+|OQ |2

的最大值为222

24a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

22

a b a b +.

37．MN 是经过椭圆2

2

2

2

22

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2

||2||AB a MN =.

38．MN 是经过椭圆2

2

2

2

22b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则

222

2111

||||a MN OP a b +=+.

39．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,M (m ,o ) 或(o , m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一

点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)

的交点N 在直线l ：2a x m =(或2

b y m

=)上.

40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .

41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q , A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .

42．设椭圆方程22

221x y a b +=,则斜率为k (k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直

线'

y k x =上,而且2

'

2b kk a

=-.

43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22

221x y a b

+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直

线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα

?+=

?+. 44．已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外

（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是2

2

2

x y a +=(2

2

2

2

2

2

2

{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+?++=+).

45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.

46．过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点，弦MN

的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的

直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离，

ab =.

48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22

22x y a b

λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们

相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.

49．已知椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与

x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a

---<<

. 50．设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记

12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ

=

+.(2) 122

tan 2PF F S b γ?=. 51．设过椭圆的长轴上一点B （m ,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则

90MBN ∠=

2

22

()a m a a m b n a -?=

++. 52．L 是经过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆

两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab

PH c

=

时取等号）. 53．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是

离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或

sin arc e α≤（当且仅当||ab

PH c

=

时取等号）. 54．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，

点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2

sin e α≤或2

sin arc e α≤

（当且仅当||PH =

.