点集拓扑

点集拓扑

1、映射与集合运算

1.1、集合X 到集合Y 的一个映射f 满足如下条件：①x X ?∈，()..y Y s t f x y ?∈=； ②12x x X ?=∈，有()()12f x f x =。

1.2、集合X 到集合Y 的一个映射f 是满射则：①f 是一个映射；②y Y ?∈，

..

x X

s t ?∈()f x y =或者()f X Y =。

1.3、集合X 到集合Y 的一个映射f 是单射则：①f 是一个映射；②12,x x X ?∈，如果12x x ≠，则()()12f x f x ≠或者12,x x X ?∈如果()()12f x f x =那么12x x =。

1.4、设集合X 到集合Y 的一个映射f ，对A X ??，()y f A ∈..x A s t ??∈()y f x =。 1.5、设集合X 到集合Y 的一个映射f ，对B Y ??，()()1

x f

B f x B -∈?∈。

1.6、设集合X 到集合Y 的一个映射f ，对于任意A X ?，B Y ?，有()()1

f

f A A -?

，当映射

f

为单射时相等；()()1f f B B -?，当映射f 为满射时相等。

1.7、在集合X 到集合Y 的映射f 下，A X ??，B Y ?有：①

1

1

1

()()()

f

A B f

A f

B ---?=?；

②111()()()f A B f A f B ---?=?；③111()()()f A B f A f B ----=-。

1.8、在集合X 到集合Y 的映射f 下，A X ??，B Y ?有：①()()()f A B f A f B ?=?； ②()()()f A B f A f B ???，当映射f 为单射时相等；③()()()f A B f A f B -?-,当映射f 为单射时相等。 1.9、特殊映射：

①恒同映射X i ：(),X x X i x x ?∈=；②投射i p ：12n i X X X X X =???→ ，对()12,,,n x x x X ?∈ ，

()i i p x x =；③自然投射p ：设R 是集合X 的一个等价关系，则映射:X

p X R

→，对x X ?∈，

()[][]

()R

R

p x x x x R =表示的等价类。

2、度量空间：

2.1、度量ρ：设X 是一个集合，映射:X X ρ?→ ，满足对x ?，y ，z X ∈，有：①(),0x y ρ≥，

且有(),0x y x y ρ=?=；②()(),,x y y x ρρ=；③()()(),,,x z x y y z ρρρ≤+。 注：离散度量ρ：x X ?∈，()0..,x x s t x y δρδ?>>，对y X ?∈，有x y ≠。 2.2、球形邻域()(){},,B x y X x y ερε=∈<

2.3、开集：()A X ?为度量空间中的开集def

a A ??∈，0..s t ε?>(,)a B a A ε∈?。

注：①球形邻域都是开集；②度量空间中的开集都可以表示成若干球形邻域的并集，即()A X ?为度量空间中的开集，则(),a A

A B a ε∈= 。

2.4、邻域：()U X ?为x 的邻域..def

V X s t x V U ???∈?开0..(,)s t x B x U εε??>∈? 2.5、连续映射：

①f 在0x 处连续()00()

(),def

f x B f x ε??∈U

，()0

0,..

x

B x s t δ?∈U ()()()00,(),f B x B f x δε?；

()00f x x ?的每个领域的原象是的一个领域

②f 在集合X 到集合Y 上的一个连续映射?B Y ??开，()1

f B -为集合X 上的开集。

2.6、度量空间中的导集和闭包：

设A 是度量空间(),X ρ的一个非空子集，则①(){}(),0x d A x A x ρ∈?-=；②x A ∈?

(),0x A ρ=

3、拓扑空间：

3.1、拓扑：设X 是一个集合，T 是X 的一个拓扑，则T 满足如下条件：①X ，?∈T ；②若A ，B ∈T ，则A∩B ∈T ；③若1?T T ，则1

A A ∈∈ T T 。

开集证明：若U X ?是开集x U ??∈，有U 是x 的邻域；若U X ?是开集U U ??= 注：拓扑T 规定了集合X 上的所有开集。 3.2、构造集合X 的拓扑：

①设12n A A A X ???? ，则子集族{}1,,,,n A A X =? T 为集合X 的拓扑； ②设1T 和2T 为集合X 的两个拓扑，则12 T T 也是集合X 的拓扑；

③设{},x U X x U U =?∈∈如果则有T U ，其中x U 为点x X ∈的邻域系满足.2.3.2th ； ④设(){}*U X c U U ''=?=T ，其中映射*c ：()()X X →P P 是集合X 的一个闭包运算满足

.2.4.4th ；

3.3、拓扑空间可度量化：设(),X T 是一个拓扑空间．如果存在X 的一个度量ρ ..s t ρ=T T ，则称(),X T 是一个可度量化空间。 3.4、特殊的拓扑空间：

①平庸空间(),X T ：即{}X =?，T ；②离散空间（X ，T ）：即()X =T P ； ③有限补空间(),X T ：即{}{}U X U X '=?? 是集合的有限子集T ； ④可数补空间(),X T ：即{}{}U X U X '=?? 是集合的可数子集T ；

⑤下限拓扑空间(),R T ：以R 中的子集族[){},,a b a b R =∈B 为集合R 上某个拓扑的基； ⑥右手拓扑空间(),R T ：以R 中的子集族[){},a a R =+∞∈B 为集合R 上某个拓扑的基 3.5、连续映射：

①:f X Y →映射是连续映射1()U Y f U X -????开开有； ②映射:f X Y x →在处连续1(),()f x x U f U -??∈∈有U U ； ③:f X Y →映射是连续映射?Y 中的任何一个闭集B 的原象()1

f B -是一个闭集；

④:f X Y →映射是连续映射?A X ??，()()f A f A ?； ⑤:f X Y →映射是连续映射?B Y ??，11()()f B f B --?； ⑥:f X Y →映射是连续映射?B Y ??，()()()

1

1

f

B f B ?

-?

-?；

⑦:f X Y →映射是连续映射?拓扑空间Y 有一个基B ，s.t.对于任何一个B ∈B ，()1

f B -为X

上的开集；

⑧:f X Y →映射是连续映射?Y 有子基P ，s.t.对于任何一个P ∈P ，()1

f

P -为X 上的开集；

⑨:f X Y →映射是连续映射?X 中的序列{}i i Z x +

∈收敛于x X ∈，则Y 中的序列(){}i i Z f x +

∈收敛

于()f x ，若X 为度量空间则逆命题成立。

3.6、特殊映射与复合映射的连续性：设,,X Y Z 为拓扑空间， ①恒同映射X i ：X X →为连续映射；

②如果:f X Y →和:g Y Z →都是连续映射，则复合映射:g f X Z → 也是连续的； 3.7、邻域：设拓扑空间(),,,,..X x X U X U x V s t ∈???∈是的一个领域开集T T

x V U

∈?

3.8、导集与凝聚点：x X ∈若(),({})x x d A U U U A x ∈??∈-≠? ；

3.8.1导集与凝聚点的性质：设X 为拓扑空间，则①()d ?=?；②A B X ???，()()d A d B ?；

③()()()d A B d A d B ＝；④()()()d d A A d A ?

注：①离散空间X 中任意子集A 的导集()d A ≠?；

②平庸空间X 的任意子集A 导集：case1.若A =?则()d A =?；

case2.若{}0A x =则()d A X A =-；case3.若A 包含多于一个点，则()d A X =

3.9、闭集：设拓扑空间(),X T ，A X ?为闭集()A d A A A A '?∈???=T

3.9.1闭集的性质：设X 是一个拓扑空间．记F 为所有闭集构成的族。则：①,X ?∈F ；

②若,A B ∈F ，则A B ∈ F ；③若1

1A A ∈?≠??∈ F F F F

注：设X 是一个拓扑空间，A X ?，则A 为闭集。

3.10、闭包：设X 为拓扑空间，则x X ?∈，,x x A U U U A ∈??∈≠? 。

3.10.1闭包性质：设X 为拓扑空间，则①?=?；②A A ?；③A B A B ＝；④A A =。 3.10.2闭包计算：设X 是一个拓扑空间，F 为闭集族，则对A X ??，有,B B A

A B ∈?=

F ，即

A

的闭包为包含A 的最小闭集。

3.11、内部：(),..X A X V X s t x V A x A ????∈?∈开设为拓扑空间,,若,则T 。 3.11.1内部计算：①设X 为拓扑空间，A X ?，则A A ?-''=，A A -?''=；

②(),,=

B B A

X A X A B

?∈???

设为拓扑空间,,T T ，即A 的内部为包含A 的最大开集

3.11.2内部性质：设X 为拓扑空间，则对于,A B X ??，有：①X X ?=；②A A ??；

③()A B A B ?

?? ＝；④A A ???=。

3.12、边界：设X 是一个拓扑空间，A X ?，则①()A A A A -??''==? ；②()A A A A ?--''==-?；

③()()

()A A A A A A --??

'

'''?===?

3.13、基：()11,,..def

A X U s t U A ∈???∈??= 为拓扑空间的一个基

B B T T T B B

,..x x x x

x X x U V s t x V U ?∈?∈∈?对于每一个和的每一个邻域B

3.13.1基的性质：设X 是一个集合，B 是集合X 的一个子集族，如果B 满足条件：①A B A X ∈= ；

②如果1B ，2B ∈B ，则对12x B B ?∈ ，12..B s t x B B B ?∈∈? B

，则子集族B

为

集合X 中某个拓扑的基，由①②可确定集合X 的唯一一个以B 为基拓扑

{

}..U

B U X s t U B

∈=???= B

T

B

B

3.13.2点的邻域与基的关系：设X 为一个拓扑空间，x X ∈，则若B 为X 的一个基，则

{}x

B x B =∈∈B

B 是点x 的一个邻域基

3.14、子基：设(),X T 是一个拓扑空间，P 是T 的一个子族。如果P 的所有非空有限子族之交构成的集族，即12{|,1,2,,,}n i S S S S i n n Z +=∈=∈ B P 是拓扑T 的一个基，则称集族P 是拓扑T 的一个子基。 注：基是子基，但子基不是基。

3.15、邻域基：,,..def

x x x x x U V s t V U ???∈?∈?称为的邻域基U V U V 3.16、拓扑空间中的序列：

3.16.1收敛序列：lim ,,,def

i x i i x x U M Z i M x U +→∞

=??∈?∈>∈使得当时有U

注：平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点。这时极限的唯一性当然无法保证了。

3.16.2如果序列{}i i Z x +

∈收敛于x X ∈，则序列{}i i Z x +

∈的任何子序列都收敛于x 。

3.16.3设X 是一个拓扑空间，A X ?，x X ∈，若序列{}i i Z x +

∈满足对i Z +?∈，有{

}i x A x ∈-，且{}i i Z x +

∈收敛于x ，则x 为集合A 的一个凝聚点。

4、拓扑空间的可数性 4.1、可数性

4.1.1可数集：存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射

?

存在从正整数集Z +到集合X 的一个满射

4.1.2可数集的性质：①任何可数集的任何子集都是一个可数集；②设X ，Y 是两个集合，

映射:f X Y →。如果X 为可数集，则()f X 也是一个可数集；③如果集合X 和集合Y 都是可数集，则它们的笛卡尔积X Y ?也是一个可数集；④有理数集是可数集

4.2、2A 空间：拓扑空间X 存在一个可数的基

4.2.1拓扑空间X 是2A 空间，则它一定是1A 空间、可分空间、Lindeloff 空间

4.2.2设X 和Y 为两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射。如果X 满足第二可数性

公理，则Y 也满足第二可数性公理

4.2.3满足第二可数性公理的空间的任何一个子空间都满足第二可数性公理 4.3、1A 空间：拓扑空间X 在它的每一点处都有一个可数的邻域基 4.3.1每一个度量空间都是1A 空间

4.3.2邻域基套：设拓扑空间X 。如果在点x X ∈处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可

数的邻域基{}i i Z U +

∈使得对于任何i Z +∈有1i i U U +?

4.3.3设X 是一个1A 空间，集合A X ?。则点x X ∈是集合A 的一个凝聚点?在集合{}

A x -中有一个序列收敛于x

4.3.4设X 和Y 为两个拓扑空间，其中X 为1A 空间，则映射:f X Y →是一个连续映射?如

果X 中的序列{}i x 收敛于x X ∈，则Y 中的序列(){}i f x 收敛于()f x

4.3.5设X 和Y 为两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射。如果X 满足第一可数性

公理，则Y 也满足第一可数性公理

4.3.6满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间都满足第一可数性公理 4.4、可分空间：拓扑空间X 中存在一个可数的稠密子集

4.4.1稠密子集：设X 为一个拓扑空间，D X ?，若D X =，则称D 为X 的一个稠密子集。 ?x X ?∈，x U ?∈U ，有U D ≠? ?U ?∈T ，有U D ≠? 4.4.2每一个满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间

4.4.3每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理，由此可以推出，每一个可分的度量空

间的子空间也是可分的

4.4.4设X和Y为两个拓扑空间，:f X Y

→是一个连续映射。如果X是一个可分空间，则()

f X也是可分的

4.4.5可分空间的每一个开子空间都是可分的

4.5、Lindeloff空间：拓扑空间X中X的每一个开覆盖都有一个可数的子覆盖

4.5.1覆盖：设A是一个集族，B是一个集合，如果

A

A B

∈

?

A

，则集族A为集合B的一个

覆盖

4.5.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间

4.5.3每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理

4.5.4Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间

4.5.5设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间。如果A X

?是一个不可数集，则()

A d A≠?

。特别地，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点

4.5.6设X和Y为两个拓扑空间，:f X Y

→是一个连续映射。如果X是一个Lindeloff空间，则()

f X也是Lindeloff空间

4.6、可数性公理的有限可积性与可商性

4.6.1可商性即在连续映射下的像保持不变的性质，因此可分空间与Lindeloff空间都具有可

商性

4.6.2具有有限可积性的空间：

1

A空间、2A空间与可分空间

4.7、几类特殊空间的可数性：

①n维欧式空间的每一个子空间都是

2

A空间；②实数空间R是2A空间；④度量空间为1A空间

③包含着可数多个点的离散空间为

2

A空间⑤包含着不可数多个点的离散空间是1A空间但不是2

A空间、可分空间与Lindeloff空间⑥平庸空间为1A空间⑦含有不可数多个点的可数补空间为Lindeloff空间但不是1A空间、2A空间与可分空间

5、分离性

5.1、0T 空间：,,,,..,,..x x x y X x y U s t y U V s t x V ?∈≠?∈??∈?或者或者U V

{}{},,,x y X x y x y ??∈≠≠有

5.2、1T 空间：,,,,..x x y X x y U s t y U ?∈≠?∈?U （注：x ，y 的顺序调换也要成立）

X

?中的每一个单点集都是闭集；X ?中的每一个有限子集都是闭集

注：1T 空间一定是0T 空间，但反之不一定成立

5.2.1设X 是一个1T 空间。则点x X ∈是X 的子集A 的凝聚点?x U ?∈U ，U A 为无限集 5.2.2设X 是一个1T 空间，则X 中的一个由有限个点构成的序列{}i x （即集合{}i x i Z +∈是一

个有限集）收敛于点x ?0N ?>，使得对i N ?≥，i x x =成立

5.3、2T 空间（Hausdorff 空间）：,,,,,..x y x y X x y U V s t U V ?∈≠?∈∈=? U U 注：2T 空间一定是1T 空间，但反之不一定成立

5.3.1设X 是一个2T 空间，则X 的任何一个收敛序列只有一个极限点。

5.4、正则空间：,,,,,..x A x X A X x A U V s t U V ?∈???∈∈=? 闭集开领域U U

,,,..x x x X U V s t V U ??∈?∈?∈?开领域开领域U U

5.5、正规空间：,,,,,..A B A B X A B U V s t U V ??=??∈∈=? 闭集开领域U U

,,,..A A A X U V s t V U ????∈?∈?闭集开领域开领域U U

5.5.1每一个正则的Lindeloff 空间都是正规空间

注：正则，正规性质与0T ，1T ，2T 性质之间无必然或蕴含关系。 5.6、3T 空间：正则的1T 空间 5.7、4T 空间：正规的1T 空间

5.7.1每一个度量空间都是4T 空间。

5.8、Urysohn 引理：设X 是一个拓扑空间，[],a b 是一个闭区间，则X 是一个正规空间?

[]()(),,,:,,..,A B X A B f X a b s t x A f x a x B f x b ??=??→∈=∈= 闭集连续时时

5.9、完全正则空间：[](),,,:0,1,..0,x X A X x A f X s t f x y A ?∈???→=?∈闭集连续

()1f

y =有

5.9.1每一个完全正则空间都是正则空间

5.9.2每一个正则且正规的空间都是完全正则空间 5.10、 3.5T 空间（Tychonoff 空间）：完全正则的1T 空间

?x X

?∈和不包含点x 的闭集或单点集A ，[]:0,1f X ?→连续，()..0s t f x =，a A ?∈，

()1f a =

5.11、分离性公理遗传性、拓扑不变性、有限可积性与可商性 5.11.1所有的分离性公理都具有拓扑不变形

5.11.20123 3.5,,,,,,T T T T T 正则空间完全正则空间都具有遗传性，正规空间和4T 空间对于

闭子空间可遗传

5.11.30123 3.5,,,,,,T T T T T 正则空间完全正则空间都具有有限可积性，正规空间和4T 空间

不具有有限可积性

5.11.4所有的分离性公理都不具有可商性 5.12、设X 是一个拓扑空间，则下列条件等价：

①X 是一个满足第二可数性公理的3T 空间（或者 3.5T 空间或者4T 空间）； ②X 同胚于希尔伯特空间的某一子空间；

③X 是一个可分（或者Lindeloff 空间）的度量空间