固体物理复习纲要

固体电子学导论纲要

1.第一章

1理解自由电子气体模型的意义 （1）自由电子气体模型：

○

1自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用。 ○

2独立电子近似（单电子近似）：忽略电子和电子间的相互作用。 ○

3弛豫时间近似：讨论输运现象时引进的。 （2）模型的意义：

自由电子气体模型是有关金属的最简单的模型。金属，特别是简单金属的许多物理性质可以通过它得到相当好的理解。它可以解释金属作为电和热的良导体的原因（可以解释金属遵从欧姆定律，电导率和热导率成线性关系，)(ωσ的低频段行为，以及金属对可见光高的反射率等）。 2掌握单电子的基态性质 单电子的状态用波函数)(r ψ描述

r

k i e

V

r

?=

1)(ψ

电子能量为

22222

122)(mv m p m k k === ε

其中λ

π

2=

k

3理解自由电子气体的简并

在统计物理学中，体系与经典行为的偏离，常称为简并性。在0=T 时，金属自由电子气体是完全简并的。由于F T 很高，在室温下，电子气体也是高度简并的。 4理解费米面、费米能级

在k 空间中把占据态和未占据态分开的界面叫做费米面。 k 空间中的态密度为

381π

V k =? 费米面上单电子态的能量称为费米能量。

m

k F

F 222 =ε

其中费米波矢n k F 23

3π=。

另费米动量F F k p =，费米速度m k v F F =

，费米温度B

F F k T ε

=（B k 为波尔兹曼常量）。 5理解自由电子气体的热性质

温度0>T 时，电子在本征态上的分布由费米-狄拉克分布函数给出

1

1/)(+=

-T k i B i e f με

其中i f 是电子占据本征态i ε的几率，μ是系统的化学势。

])(121[2

2F

B F T k επεμ-=

电子比热

F

B

V T T nk T C 2

2

πγ=

= 6了解顺磁性

简而言之：电子自旋产生磁场，分子中有不成对电子时，各单电子平行自旋，磁场加强。这时物质呈顺磁性。 7理解准经典模型

在自由、独立电子近似的基础上，进一步假定： ○

1电子会受到散射，或经受碰撞。 ○

2对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间τ描述。 8掌握电场中的自由电子的电学和光学性质 （1）电学性质：

金属遵从欧姆定律，电流密度比例于电场强度变化。即电流密度

E m

ne E J τσ2==

其中电导率

m

ne τσ2=

（2）光学性质：

当p ωω<时，0

当p ωω>时，0>r ε，导致02=n ，因而吸收系数0=α，金属的行为犹如透明的电介质。

其中m

ne p

02

2εω=

9了解霍尔效应，金属的热导率

（1）霍尔效应：将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为霍尔效应。 （2）金属热导率：

温度梯度T ?的存在，在金属中产生热流。当温度梯度T ?小的时候，热流与之成比例，

T J Q ?-=κ

其中κ是材料的热导率，符号表示热流方向与温度梯度方向相反，总是从高温流向低温的。

T m

n k B

322τ

πκ=

10理解电子气体模型的局限性

（1）局限性：自由电子论不能解释为什么电子密度大的二价金属和三价金属电导率反而低于一价金属；无法解释为什么有些金属的霍尔系数会大于0；不能解释为什么电子的平均自由程 会比相邻原子间距大得多；不能解释为什么固体材料会分成导体、半导体和绝缘体；自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但在通常情况下，金属费米面的形状都不是球面。 （2）原因：模型过于简单。

2.第二章

11理解晶体的周期结构和空间平移对称性，掌握布拉维格子的概念 （1）周期结构和空间平移对称性

晶体最主要的特点是具有周期性重复的规则结构，可以看成是一个或一组p 个原子（或离子实）以某种方式在空间周期性重复平移的结果。 晶体结构包括两个方面：

○

1重复排列的具体单元，称为基元。基元是晶体结构中最小的重复单元。 ○

2基元重复排列的形式，一般抽象成空间点阵，称为晶体格子，或简称为晶格。 （2）布拉维格子 布拉维格子是矢量

332211a n a n a n R n ++=

全部端点的集合，其中1n ，2n ，3n 取整数，1a ，2a ，3a

是三个不共面的矢量，称为布拉维格子的

基矢，n R

称为布拉维格子的格矢，其端点称为格点。

12理解原胞、单胞、配位数、晶向指数、晶面指数（米勒指数）等概念

（1）原胞：晶体中体积最小的周期性重复单元，当它平移布拉维格子所有可能的格矢，将精确地填满整个空间。

（2）单胞：晶体学中，用晶系基矢a ，b ，c

构成的平行六面体作为周期性重复排列的最小单元，

称为单胞或惯用单胞。单胞的边长称为晶格常数。

单胞与原胞的区别：

○1原胞只含一个格点，是体积最小的周期性重复单元。

○2单胞可含一个或数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。

（3）（WS原胞）：以晶格中某一格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于该点的WS原胞。

（4）配位数：在布拉维格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻。由于布拉维格子中格点相互等价，每一格点有相同的最近邻数，称为该格点的配位数。

（5）晶向指数：通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。

晶向指数的确定步骤如下：

○1以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x，y，z，以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。

○2过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。

○3在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。

○4将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。

（6）晶面指数（米勒指数）：描写晶面的一组数称为晶面指数（米勒指数）。

晶面指数标定步骤如下：

○1在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；

○2求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；

○3取各截距的倒数；

○4将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(h k l)。

13掌握几种常见的布拉维格子

（1）简单立方布拉维格子

每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。

简单立方布拉维格子的配位数为6。 原胞和单胞的体积都是3

a =Ω。 （2）体心立方布拉维格子

每个原胞包含1个格点，每个单胞包含2个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为8。 原胞的体积3

3212

1)(a a a a =??=Ω

，单胞的体积为3a =Ω。 （3）面心立方布拉维格子

每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为12。 原胞的体积3

3214

1)(a a a a =??=Ω

，单胞的体积为3a =Ω。 （4）简单六角布拉维格子

14了解常见的晶体结构点群对称性的分类及操作（变换矩阵） 几种简单操作的变换矩阵：

（1）分别绕x ，y ， z 轴转动θ角度

（2）镜像反映（对称面为 oxy 平面）

（3）中心反演 R R

-→

15掌握倒格子及倒格空间的概念 （1）倒格子

对布拉维格子中所有格矢n R

，满足

m R G n h π2=?

， m 为整数

的全部h G

端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子。

（2）倒格空间

将空间点阵经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的空间称为倒易空间（倒格空间）。 16倒格子与正格子间的联系 倒格子基矢定义为：

????

?

???????=???=???=)

(2)(2)(23212133211

32321321a a a a a b a a a a a b a a a a a b

πππ 倒格子原胞体积：

Ω

=??=Ω3

321*

2][πb b b

正格子),,(321h h h 晶面系的面间距d ，可以证明倒格矢332111b h b h b h G h ++=的长度为d π2，即h

G d π

2=。

17了解X 射线测晶体结构

如右图所示

X 射线入射晶体，满足布拉格反射公式

λθn d h h h =sin 2321

其中n 为整数，取衍射级数。

3.第三章

18掌握能带论出发点，模型的建立 （1）出发点

○1固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。

○

2电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势场的作用。

（2）模型的建立（三个假设）

○

1 Born －Oppenheimer 近似(绝热近似)：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了离子实的动能和离子实间的库仑相互作用能。

○

2平均场近似：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，用平均场代替电子与电子间的相互作用。

○

3周期势场近似：不管单电子势的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。 19掌握布洛赫定理，波矢的物理意义，掌握能带、布里渊区、能隙和布

拉格反射的概念及相关计

算，掌握弱周期近似模型，紧束缚近似模型及其结论 （1）布洛赫定理

对于周期性势场，单电子薛定谔方程的本证函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即

)()(r u e r k r

k i k

?=ψ

且

)()(r u R r u k n k

=+

（2）波矢的物理意义

许可的布洛赫波矢k 可看成是在倒格子空间中，以i i N b /

为基矢的布拉维格子的格矢。

即332211b k b k b k k

++=。倒格子空间一个原胞中许可的的k 的数目等于实空间中晶体的总原胞数。

（3）能带

对确定的n 值，)(k n

ε是k 的周期函数，只能在一定范围内变化，有能量的上、下界，从而构成一能带。

能带的三种图示法

○

1扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。 ○2简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示。

○

3周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带。 （4）布里渊区

在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。

（5）能隙

由于周期场的微扰，)(k E 函数在布里渊区边界a

n k π

±

=处出现不连续，能量突变为n g V E E E 2=+=-+称为能隙，即禁带宽度。这是周期场作用的结果。

（6）布拉格反射

在两种不同介质的交界面上，具有周期性的反射点，当光入射时，将产生周期性的反射，这种反射即称为布拉格发射。布拉格反射公式λθn d h h h =sin 2321。

（7）弱周期近似模型

考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏很小。周期势场的起伏量作为微扰，采用量子力学中的非简并微扰理论进行处理。自由电子的能量及波函数分别作为弱周期势场中的能级及波函数展开式中的零级近似解。在布里渊区边界处，一级修正波函数和一级能量

修正趋于无穷大。即当2

h G k k +=，此时，采用简并微扰方法处理。布里渊边界处，能量发生突

变，形成了带隙，从而使之呈现出能带结构分布。 （8）紧束缚近似模型

紧束缚近似是把原子间的相互影响当作微扰的简并微扰法。微扰后的状态是由这N 个简并态的线性组合组成，即用原子轨道的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的轨道，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。

○

1一个原子能级i ζ对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体时，形成了一系列的能带。

○

2能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子间内层电子的波函数相互交叠较少，所以对应的能带较窄。

○

3能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子间外层电子的波函数相互交叠较多，所以对应的能带较宽。 20理解万尼尔函数 万尼尔函数：

),(1),(r k e

N

r R W k

R k i n n

ψα∑?-=

（1）此函数是以格点n R

为中心的波包，因而具有定域的特性。

（2）不同能带不同格点的万尼尔函数是正交的，即

'''')()(*ααααδδτnn n NQ

n d R r W R r W =--?

21理解费密面，布里渊区边界上费米面的改变 以二维方格子为例。

○

1假定晶格周期势非常弱，在空晶格近似下，费米面为圆形。 ○

2过渡到近自由电子近似，考虑晶格周期势的影响，布里渊区边界出现能隙，且费米面几乎总是

与布里渊区边界垂直相交。费米圆不再保持连续，但费米圆多包围的总面积（或体积）保持不变，仅依赖于电子密度。

4.第四章

22掌握电子运动的半经典理论，深入理解该模型的意义 （1）模型

半经典模型对外电场、外磁场用经典的方式处理，对晶格周期场用能带论量子力学的处理方式。具体表述如下：

每个电子具有确定的位置r

，波矢k 和能带指标n ，对于给定的)(k n ζ，在外电场),(t r E 和外磁场

),(t r B

作用下，位置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则：

○

1能带指标n 是运动常数，电子总呆在同一能带中，忽略带间跃迁的可能性。 ○2处于布洛赫态电子的速度)(1)(k k v r n

k n

ζ?==。 ○

3波矢k 随时间的变化满足)],()(),([t r B k v t r E e k n

?+-= （2）意义

对晶格周期场的量子力学处理的结果全部概况在函数)(k n

ζ中。半经典模型使能带结构和电子对外

场的响应相联系，提供了从外场结构推断输运性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带结构的理论基础。

23掌握半经典模型过渡到经典模型的条件

外电场、外磁场作用下晶体中电子的行为可从相应的含时薛定谔方程中得到，即

),(),(])()?(2

1

[2t r i t r e r V A e p

ψψφ=-++ 半经典模型相当于外场变化缓慢时，上式取波包解，从而过渡到经典情形。 24理解半经典模型的适用范围 ○

1要求外场的波长λ远大于晶格常数a 。 ○

2半经典模型禁止带间跃迁。外场频率必须满足ω 远小于g ζ。 ○

3外加电场可能导致带间的隧穿，这种现象称为电击穿。半经典模型需在场致击穿可忽略的条件下使用，即eEa 远小于

F

g k ζζ2

)]

([ 。同样对于外加磁场的情况有c ω 远小于

F

g k ζζ2

)]

([ 。

25掌握能级结构与平均速度、有效质量间的关系 （1）能及结构与有效质量的关系

j

i ij k k m ???=ξ

22

*

11 ○

1有效质量反比于能谱曲线的曲率

2

2dk d ξ

大，有效质量小； 22dk

d ξ

小，有效质量大。 ○2有效质量是k 的函数，在能带底附近总是取正值；在能带顶附近

总是取负值。 （2）

m dt

F m dt F m dt F l

+=* ])()[(1

*晶格给予电子的外力给予电子的P P m

m p ?+?=? ])()[(1

电子给予晶格的外力给予电子的P P m

??=

当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量0*

>m ；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，0*

26掌握有效质量的意义及其求解

有效质理的意义：有效质量是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶

体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量*

m 、动量为k

的准电子，使我们能够只

考虑外力作用下这样的准电子的运动。由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入有效质量，给处理问题带来很大的方便。 27理解满带不导电及近满带导电的原理

（1）满带不导电 ○

1无外电场 )()(k E k E

=-据右图可看出

对于满带，电子填充k 和k

-的几率相等。

又)()(k v k v -=-

无外电场情况下满带0=I ○

2有外电场 F dt

k d =

E e

F dt k d

11-== 在满带中，k 轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均匀填充各k 态的情况。从'A 移

出去的电子同时又从A 移进来，保持整个能带处于均匀填满的状况，并不产生电流。 （2）近满带导电

满带中的一个电子跃迁到空带，这相当于产生了一个带正电的粒子(“空穴”) 。空穴的跃迁方向与电子相反，相当于在近满带能带顶产生空穴。除带有正e 的电荷外，有正的有效质量，速度为

)(k v n

。在外电场作用下, 空穴下面能级上的电子可以跃迁到空穴上来,这相当于空穴向下跃迁。

满带上带正电的空穴向下跃迁也是形成电流,这称为空穴导电。 28理解导体、半导体和绝缘体的能带论解释

○

1导体：从能级图上来看，是因为其共有化电子很容易从低能级跃迁到高能级上去。 ○

2绝缘体：从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一个较宽的禁带，共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。

○

3半导体：满带与空带之间也是禁带，但是禁带很窄。 29理解布洛赫电子的轨道量子化

对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件量子化，即

πγ2)(?+=?v r d P

其中为v 整数，γ是一相位常数，典型值为1/2。

30理解朗道能级，朗道管上的电子占据态及简并度

边长为L ，分别平行于x ，y ，z 轴的立方体中的电子。在有沿z 方向均匀磁场B 的情形下，本征能量由量子数v 和z k 决定：

c z v z v m k k ωε )2

1

(2)(22,++=，2,1,0=v

其中m eB c =

ω，z z n L

k π

2=

，z n 为整数。 在垂直于磁场的方向上，无磁场时的动能为

m

k k y x 2)

(2

22+ ，将其以c ω 为单位量子化，简并到朗道能级

c v ω )2

1

(+上。

在k 空间里，许可态的代表点将简并到朗道管上，其截面为朗道环。

在z k 固定的平面内，态密度为2)2(1π

L

k =?。 故，每个朗道环上的简并度为2

212p BL h

e A k =????=。 5.第五章

31掌握简谐晶体的经典运动的规律性：一维振动的声学支和光学支色散关系，（物理图像及代表

的意义），长波近似，包括晶格的薛定谔方程的获得（模型的简化及处理），简谐项获取及讨论 （1）色散关系

对于一维双原子链，双原子运动方程可写为

??

?-+=-+=+-)

2()

2(2,1,1,12,1,2,12,1,n n n n n n n n u u u u m u u u u M ββ 用试探解

???==--)

(2

,)

(1,t qna i n t qna i n Be u Ae u ωω 代入解得

?

?????+-±+=±2

22

2)]21(sin )(41[1qa M m mM mM

M

m β

ω ±ω分别对应色散关系中的光学支+ω和声学支-ω，如右图所示。

每个波矢q 对应两个频率不同的振动模式，对于每支)(q ω曲线，不等价的q 的数目为原胞数N （根据边界条件求解），故对于双原子链总共有2N 个不同的振动模式。 （2）长波近似（0→q ）

○1q M

m a 2

1

)2(+≈-

βω，1≈B A

长波近似下，两波振幅近似相等且同相位。原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做集体运动，代表的是

原胞质心的运动。

长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。 ○

22

1

)2(μ

β

ω≈+，

M

m B A -≈ 长波近似下，两波相位相反。原胞质心保持不动，原胞内两原子间做相对运动。

长光学支格波的特征是：每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。

（3）晶格的薛定谔方程的获得（模型的简化及处理），简谐项获取及讨论； ○

1晶格的薛定谔方程的获得： 由电子和离子实构成的体系的总哈密顿量为

其中

按照绝热近似，系统总的波函数写为电子部分和离子实部分的乘积。、

代入薛定谔方程

将体系的总能量写成电子部分e

ξ和离子实部分n

ξ之和，即

则离子实（晶格）的薛定谔方程为

○

2求解晶格的薛定谔方程 由于离子实对平衡位置的瞬时偏离很小，将离子实之间的相互作用对这种偏离做级数展开。其中只保留第一个非零项（2次项）的做法称为简谐近似。简谐近似下的小振动，作为经典力学问题可有精确解，量子力学的处理相当于这种经典运动模式能量的量子化。 32理解简正模，格波概念

原子的振动形成了波，这种波称为格波，也称为晶格振动的一个简正模，或简正模式。格波作为在周期晶格中传播的波。各简正模间是独立的，代表晶格的集体运动。一般的振动由简正模叠加而成。

33掌握三维条件下晶体原子数与简正模、色散（光学支、声学支）数目间的关系

对于三维情况，p 个原子对应3p 个运动方程，相应的格波解有3p 个，色散关系有3p 支，每支有N 个振动模式，共有3pN 个振动模式（321N N N N =）。对应于3支声学支（横、纵），3p-3支光学支（横、纵）。横声学支（横光学支）之间经常是简并的。

34理解简正坐标的概念及其引入的意义，理解哈密顿对角化的方法

寻找一个正交变换，将3N 个原子位移坐标)(n R u

μ变换到3N 个简坐标N j Q j 3,...2,1,=。

那么，哈密顿量就可写为：

将多体问题化解成单体问题。

以一维单原子链为例，只考虑近邻相互作用，其哈密顿量为：

用简正坐标表示位于n R

处原子t 时刻的总位移为：

其中

35掌握晶格振动的量子化和声子的概念，声学声子和光学声子，声子的色散，声子的占据态 根据量子力学，简谐振子能量以ω 为单位量子化，通常把这个能量量子称为声子。与光学支对应的称为光学声子，与声学支对应的称为声学声子。 声子对能级的平均占据数为：

36声子比热在高温，低温和中间温度下的讨论（德拜模型及爱因斯坦模型） （1）声子比热

高温情形，T k q B s <<)( ω ，T k q B s /)(

ω为小量，根据)1(1<<=-x x e x

低温情形，对于复式晶格，当温度很低时，可略去光学支的影响。在长波近似下，声学支的频率

可用线性行为来近似，即q q

c q s s )?()(≈

ω，代入简化得

中温情形，对q 的求和改成积分，并采用球坐标，经对温度的微商得

（2）德拜模型

晶体视为连续介质，格波视为弹性波，有一支纵波两支横波，色散关系为cq =ω。将第一布里渊区的积分改为对半径为D q 的球的积分。

低温下，3

4

54)(x

x f D π≈

（3）爱因斯坦模型

把所有的光学支近似为常数频率，即爱因斯坦频率E ω。

高温时，1)(→x f E ，每个光学模对比热的贡献为V k B /，与经典的杜隆－珀蒂定律一致。 低温时，)(x f E 指数减小，相当于光学模难于被激发，从而对比热的贡献可忽略。 37了解晶格振动谱的实验测定

晶格振动谱或声子谱)(q s

ω一般通过中子，光子，χ射线与晶格的非弹性散射实验来测定。其中最常用的方法是中子的非弹性散射。

6.第六章

38何谓输运现象

金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。 理解Boltzman 方程的推导及其物理意义 （1）推导

非平衡状态下，假定在比原子间距大许多的小区域有局部的平衡。如果不存在碰撞，t 时刻r

，k 处的电

子必然来自dt t -时刻dt r r -，dt k k -处。有：

存在碰撞，将碰撞引起的f 的改变写成coll t f )/(??， 那么上式改为：

将上式右边第一项展开，保留到dt 的线性项，有：

对于稳态情形，0/=??t f ，得：

此即电子系统的玻尔兹曼方程。 （2）意义

按照半经典理论有：

玻尔兹曼方程将能带结构，外电磁场及碰撞的作用与分布函数联系起来，是处理固体中输运现象的出发点。 39理解什么是非平衡稳态，理解非平衡分布函数 （1）非平衡稳态

当固体中的电子被外电场加速，电子从外场中吸收的能量将以发射声子，即激发晶格振动的形式传递给晶格。当电场的加速和发射声子造成的减速相平衡时，即为非平衡稳态。 （2）非平衡稳态函数

当电场的加速和发射声子造成的减速相平衡时，即非平衡稳态建立时，相应地有非零的稳定电流。电子在相空间的分布由非平衡分布函数来描述。

非平衡分布函数),,(t k r f

描述t 时刻电子在晶体内r 处波矢为k 的概率。

非平衡分布函数),,(t k r f

随相空间位置和时间t 变化。电子的r 和k 随可因外场的作用，以及碰撞

的存在而改变。

借助于非平衡分布函数，电流密度可写为

40理解弛豫时间近似，理解金属的直流电导率，电子和声子相互作用（包括能量守恒及动量守恒定律），电阻的起因（涉及模型的缺陷） （1）弛豫时间近似

对于玻尔玆曼方程的碰撞项，引入弛豫时间近似。弛豫时间τ作为碰撞的机率，或相继两次碰撞间的平均时间。外场使电子系统进入非平衡态，外场去掉后，碰撞使系统恢复平衡。在对平衡态的偏离较小时，假设恢复的快慢比例于系统偏离平衡态的程度)(0f f -以及碰撞的频度)/1(τ，即

上式的解为

表示恢复平衡的弛豫过程随时间以指数形式变化。 （2）金属的直流电导率

E j ?=σ

其中*2m ne F τσ=为电导率，F

ne m τσρ2*

1==为电阻率。

（3）电子和声子相互作用

在结构完整的理想晶体中，电子主要受声子散射。在将电子和晶格系统分开处理的绝热近似的基础上，他们之间的相互作用应看做微扰，引起态间的跃迁。

δ函数保证过程是能量守恒的，即

???-=+=ω

εεω

εε

k k k k '' 晶体动量守恒关系h G q k k

+±='

（4）电阻的起因

电阻来源于杂质、声子等对电子的散射。电阻是由在能带理论所作的几步近似中被忽略的因素引起的。即绝热近似和周期场近似。

○

1绝热近似：认为原子实在格点上固定不动，忽略了晶格振动，也就忽略了声子的存在，当然也就忽略了声子与Bloch 电子的作用。

○

2周期场近似：认为晶格满足严格周期性，忽略了晶体中的各种杂质和缺陷（例如：空位、填隙、位错、边界等），这样在导电问题上忽略了布洛赫电子与这些杂质和缺陷的作用。 41电阻率与散射角度（碰撞）的关系

金属的电阻率σρ1

=，从*

2m

ne F τσ=式，比例于τ/1变化， 简单地假定电子系统有球形费米面，则*/m k v k

=，如取电场方向为k 方向，则

θ为k 和'

k 之间的夹角，将求和改为积分，有

这样，电子所受散身的频度τ/1，不仅与从k 到'

k 的路迁几率有关，还涉及)cos 1(θ-的权重因子。

小角度的散射，对产生电阻几乎没有贡献，因为并未明显改变波矢方向，电子沿电场方向的定向运动基本保留。起重要作用的是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。 42电阻率随温度（包括高温及低温情况）变化，能够定性推论得到电阻率及温度的关系 在低温下)(D T Θ<<，声子比热与3T 成正比，相当于声子系统能量比例于4

T ，如声子平均能量为B k T ，

则相当于总声子数比例于3

T 变化。由些得到电子-声子散射的弛豫时间

，)(D T Θ<<

低温下涉及的声子波矢较小，因而还需考虑)cos 1(θ-因子的影响。从右图可得F k q 2/)2/sin(=θ，因而22

)2/(2

1

)2/(sin cos 1F k q =

=-θθ。由于c T k q B /≈，)cos 1(θ-因子比例于2

T 变化。这样，由于温度下降，小角度散射增加，最终电阻率将比例于5

T 变化，即

通常称为布洛赫-格林艾森5

T 定律。

高温时)(D T Θ>>，晶格中总声子数比例于T 变化。且涉及的声子波矢约为D q 大小，)cos 1(θ-因子与温度无关，电阻率随温度线性变化。

。

43了解剩余电阻率

按照马西森定则（即在几种不同的散射机制存在时，电阻率为各机制单独存在时电阻率之和），金属的电阻率一般写为

)(T i r ρρρ+=，i ρ来自电子-声子散射，与温度有关。对于结构完整的理想

晶体，i ρ变存在，常称为理想电阻率。r ρ来源于电子-杂质原子的散射，与温度无关。在低温下，当)(T i ρ很小时，r ρ成为电阴率中的主要部分，一般称为剩余电阻率。

44了解近藤效应

在一定条件下，由于自旋倒向交换散射而引起的电阻率是随温度下降而变大的；而电子-声子相互