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现代控制控制理论基础,Spring 2008第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
小结
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义下稳定性概念；
2.熟练掌握李氏第二法；
3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法；
4.了解非线性系统的稳定性分析。
重点内容：
1.李雅普诺夫第二法的主要定义与定理；
2.李雅普诺夫函数的构造；
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到
原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。
Stable?
稳定性问题：
系统处于某一平衡状态，在干扰作用下离开了原来的平衡位置，在干扰消失后，系统能否回到原来的平衡状态。
科学技术的发展，尤其是航空、航天工业的发展。
控制问题：
线性、定常、单输入单输出系统
非线性、时变、多输入多输出系统
稳定性分析异常复杂
古典控制理论稳定性判别方法：
代数判据（劳斯，赫尔维茨判据）
奈奎斯特频率法
根轨迹法
非线性系统：
相平面法（只适用于一，二阶非线性系统）
描述函数法（是一种近似方法）
1892年，俄国学者李雅普诺夫发表了
《运动稳定性一般问题》，建立了运动稳定性的一般理论和方法。
提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：
求解特征方程的解,分析系统的稳定性。困难!
李氏第二法（直接法）：
利用经验和技巧来构造李氏函数，分析稳定性。思想：稳定系统外界作用能量变化
时间增长能量衰减系统稳定
k
f
x m 例：一个弹簧—质量—阻尼器系统，如图所示，
系统的微分方程为：0mx
fx kx ++=&&&性摩擦系数，为位移。
式中：为质量，为弹簧刚度，为阻尼器的粘m f k x
0x fx
kx ++=&&&令，则系统的微分方程为：
1m =12,x x x
x ==&选取状态变量：12212x
x x
kx fx ==??&&状态方程为22122111(,)22
E x x x kx =+系统的总能量包括质量的动能和弹簧的位能。
现代控制控制理论基础,Spring 2008
22122111(,)22E x x x kx =+显然()00E x x >≠(0)00
E x ==12121122122
122122
(,)()d E dx E dx E x x kx x x x dt x dt x dt
kx x x kx fx fx ??=+=+=??+??=?&&122(,)0,0,0dE x x x f dt ≠><122(,)0,0dE x x x dt
==
系统的总能量是衰减的，则系统稳定。
考察总能量的几何表示。22122111(,)22E x x x kx =+E
1x 2
x 1E 2
E 3
E 321E E E >>杯形曲面轨迹是一个椭圆
则随着时间的变化，向杯的最低点运动
2x 1x 2E 1E 3E 1020(,)x x
对于一般的控制系统而言，并无这样的直观性。通过系统总能量确定系统稳定性的方法具有普遍性。
李雅普诺夫构造了所谓广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数，记成或。
(,)V x t ()V x 通过研究或及其或的
定号性就可以给出系统稳定性的信息。(,)V x t ()V x (,)V x t &()V x &
一、平衡状态
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
连续系统的状态方程描述
[]0(),(),()t t t t t t =≥&x f x u 1.自治系统：输入为0的系统
0()(,()) (5.2)
t t t t t =≥&x f x 2.轨迹：对于给定的初始状态00()t =x x 式(5.2)有唯一解
000
()(,)
t t t t t =≥x x ,φ即()t x 是状态空间中起始于初始状态0x 的一条状态轨迹或一个运动。对于状态空间中不同的初始状态，系统有许多不同的状态轨迹或运动。
3.平衡状态：在式(5.2)描述的系统中，若对于所有
e e (,)t ==0&x
f x 0()t t t ≥总存在则称为系统e x =&x Ax n
R ∈x e e 00
=?=Ax x e e 0=?Ax x a.线性系统A 非奇异：A 奇异：有无穷多个
即状态空间的原点是系统唯一的平衡状态。
的平衡状态。
e e (,)t ==?0&x
f x e x b.非线性系统
可能有多个
3221211x x x x
x x
?+==&&01=x
&02=x &00x ??????=1e ???????=102e x ??
????=103e x ?例:
4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标
变换，把它变换到状态空间的原点。
运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。
二、稳定性的几个定义
1.欧几里德范数：e ε≤x x ?称为向量的欧几里德范数(表示空间距离)。
x 2.邻域：e x 以平衡状态为圆心，半径为的超球体
可以表示为当很小时，称εε为的邻域。
()S ε()S εe x 12
222
12n x x x ??=+++??LL x 122221122e [()()()]e e n ne x x x x x x ?+?=+?+L x x ?
0>ε00(,)
e t δε?≤x x 的任意初始状态出发的运动轨迹都有
使得由满足1. 李雅普诺夫意义下稳定
在式(5.2)描述的系统中，如果对于任意给定的实数0),(0>t εδ0x ()x t 都相应地存在一个实数0() e t t t ε?≤≤<∞
x x e x 则称平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定。不等式δ0,t ε一般：与有关
0e t δ?无关为稳x 若与一致定
则由域上的任一点出发的运动轨迹
，超球体，球域记为。
记为。以原点为球心构造半径为
的一个超球体，其球域
()S εε0(,)t δε则存在一个对应的正实数，其大小同时依赖于
()e x 和初始时刻，则构造原点为球心，半径为的另一()S δε0(,)t δε0t 00(;,)t x t φ()S δe x 对所有，都不脱离域。
0t t ≥则原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
()S ε几何含义：
李雅普诺夫意义下的稳定，是工程意义下的不稳定。