大学物理第四版8机械波习题思考题

习题8

8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后6

π

，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。

解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 26

12=?=-=?，π

???，

而m 242=??=

?λλ

π

?x ，m/s 12==

T

u λ

8-2．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为)cos(?ω+=t A y ，波速为u ，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?

解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x

y A t u

ω

?=-+（），则P 点的振动式为： 1

0cos[]P x y A t u

ω?=-

+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u

ω??=+，∴平面波的波动式为：1

cos[()]x x y A t u ω?-=-+；

（2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：0cos[]x

y A t u ω?=++（），则P 点的振动式为：

1

0cos[]P x y A t u ω?=+

+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u

ω??=-+，∴平面波的波动式为：1

cos[()]x x y A t u ω?-=++。

8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πν?=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式

为：

0cos[2]x

y A t u πν?=++（），则A 点的振动式：

0cos[2]A l

y A t u

πν?-=++（）

题设A 点的振动式cos(2)y A t πν?=+比较，有：02l

u

πν??=+， ∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[?πν+++

=）（u

x u l t A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：

]2cos[]2cos[?πν?πν++=+-++

=）（）（u

d t A u l d u l t A y

8-4．已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 3

1

=

t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2。 （1）写出O 点的振动表达式；

（2）写出该波的波动表达式； （3）写出A 点的振动表达式；

（4）写出A 点离O 点的距离。

解：由图可知：0.1A m =，0.4m λ=，而2T s =，则：/0.2/u T m s λ==，

2T πωπ=

=，25k ππλ

==，∴波动方程为：00.1cos(5)y t x ππ?=-+ O 点的振动方程可写成：00.1cos()O y t π?=+

由图形可知：s 31=t 时：0.05O y =，有：00.050.1cos()3

π

?=+

考虑到此时0O

d y d t

<，∴03π?=，

53π（舍去） 那么：（1）O 点的振动表达式：0.1cos()3

O y t π

π=+

；

（2）波动方程为：0.1cos(5)3

y t x π

ππ=-+

；

（3）设A 点的振动表达式为：0.1cos()A A y t π?=+

由图形可知：s 31=

t 时：0A y =，有：cos()03

A π

?+= 考虑到此时0A

d y d t

>，∴56A π?=-

（或76A π?=） ∴A 点的振动表达式：50.1cos()6A y t ππ=-，或70.1cos()6

A y t ππ=+； （4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：

0.1cos(5)3

A A y t x π

ππ=-+，与（3）求得的A 点的振动表达式比较，有：

5563A t t x πππππ-=-+，所以：m x A 233.030

7== 。

8-5．一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线

如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！

由图可知A =0.5cm ，设原点处的振动方程为：30510cos()O y t ω?-=?+。 （1）当0t =时，30

2.510O t y -==?，考虑到：

0O t d y d t

=>，有：03

π

?=-

，

当1t =时，10O

t y ==，考虑到：

10O t d y d t

=<，有：3

2

π

π

ω-

=

，56

πω=

， ∴原点的振动表达式：3

5510cos(

)63

O y t ππ-=?-； （2）沿x 轴负方向传播，设波动表达式：3

5510cos()63

y t k x ππ

-=?+- 而512460.825k u ωππ==?=，∴3

524510cos(

)6253

y t x πππ-=?+-； （3）位相差：25

2 3.2724

x k x rad ?ππλ??==?== 。

8-6．一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为3

9.010-?/()J s m ?，频率为

Hz 300，波速为m/s 300。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段

中含有多少能量？

解：（1）已知波的平均强度为：3

9.010

I -=?/()J s m ?，由I w u =? 有：

3539.010310/300

I w J m u --?===?

53max 2610/w w J m -==?；

（2）由W w V =?，∴221144u

W w d w d πλπν=?=

5327310/(0.14)1 4.62104

J m m m J π

--=????=? 。

8-7．一弹性波在媒质中传播的速度310/u m s =，振幅41.010A m -=?，频率3

10Hz ν=。若该媒质的密

度为3

800/kg m ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积2

4

m 100.4-?=S 的总能量。

解：（1）由：221

2

I u A ρω=

，有： 34232110800102102

I π-=????（）（）521.5810/W m =?；

（2）1分钟为60秒，通过面积2

4m 100.4-?=S 的总能量为：

W I S t =5431.581041060 3.7910J -=????=? 。

8-8．1S 与2S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5λ=d ，2S 质点的振动比1S 超前2π，设1S 的振动方程为t T

A y π

2cos

10=，且媒质无吸收，（1）写出1S 与2S 之间的合成波动方程；（2）分别写出1S 与2S 左、右侧的合成波动方程。 解：（1）如图，以1S 为原点，有振动方程：

t T

A y π2cos 10=，

则波源1S 在右侧产生的行波方程为：122cos(

)y A t x T ππλ

=-， 由于2S 质点的振动比1S 超前2π，∴2S 的振动方程为202cos(

)2

y A t T ππ

=+， 设以1S 为原点，波源2S 在其左侧产生的行波方程为：

222cos(

)y A t x T ππ

?λ=++，由于波源2S 的坐标为5/4λ，代入可得振动方程： 20225cos()4y A t T ππλ?λ=+?+，与202cos()2y A t T ππ

=+比较，有：2?π=-。

∴22222cos(2)cos()y A t x A t x T T πππππλλ

=+-=+。 可见，在1S 与2S 之间的任一点x 处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：

t T

x A y y y π

λπ2cos 2cos 221=+=，为驻波；

（2）∵波源1S 在左侧产生的行波方程为：122'cos()y A t x T ππλ=+， ??

1

S x

2

S

与222cos(

)y A t x T ππλ=+叠加，有：1222'2cos y y y A t x T ππλ

=+=+左（）； （3）设波源2S 在其右侧产生的行波方程为：222'cos(')y A t x T ππ?λ=-+， 代入波源2S 的坐标为5/4λ，可得振动方程：20225'cos(')4

y A t T ππλ?λ=-?+， 与20202'cos()2y y A t T ππ

==+比较，有：'3?π=。 ∴22222'cos(3)cos()y A t x A t x T T ππππππλλ=-+=-+。 与122cos()y A t x T ππλ

=-叠加，有：12'0y y y =+=右。 表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

8-9．设1S 与2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2

π

。若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何？又在2S 外侧各点的

强度如何？ 解：（1）如图，1S 、2S 连线上在1S 外侧，

∵212122()24

r r π

π

πλ

???πλλ?=--

-=--?=-，

∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图，1S 、2S 连线上在2S 外侧， ∵212122('')()02

4

r r π

π

π

λ

???λ

λ?=--

-=-

-

-=， ∴两波同相，合成波的振幅为2A ，

合成波的强度为：220(2)44I A A I === 。

8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt ）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D 伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P ，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率ν，量度相邻波节间的平均距离d ，可求得管内气体中的声速u 。试证：d u ν2=。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2

x λ

?=，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d ，

所以：2

d λ

=

，那么：2d λ=，

所以波速为：2u d λνν== 。

D 为声音探测器，

8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S 为声源，如耳或话筒。路径SBD 的长度可以变化，但路径SAD 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B 的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B 距第一位置

为cm 65.1的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

S S ?

?1

S 2

S 'r

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2

x λ

?=，

相邻波节与波腹的间距：4

x λ

?=

，可得：4 6.6x cm λ=?=。

（1）声音的速度在空气中约为340m/s ，所以：2

340

51516.610u

Hz νλ

-=

=

=?（）。

（2）∵2

I A =，2

min 12()I A A =-，2max 12()I A A =+，依题意有：

212212()100()900

A A A A -=+= ?

122010

A A == ，那么

1221

A A = 。

8-12．绳索上的波以波速m/s 25=v 传播，若绳的两端固定，相距m 2，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为m 1.0，0=t 时绳上各点均经过平衡位置。试写出：

（1）驻波的表示式；

（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2

x λ

?=

，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根

据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，422

x λ

?=?

=，则：

422

d λ

λ=?

=，波长：1m λ=，又∵波速25/u m s =，∴250u

Hz ωπ

πλ==（）。又已知驻波振幅为

m 1.0， 0=t 时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为

2

π

，关于时间部分的余弦函数应为

cos 502

t π

π+（），所以驻波方程为：0.1cos2cos 502y x t π

ππ=+（） ； （2）由合成波的形式为：1222cos

cos 2x

y y y A t ππνλ

=+=， 可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：

10.05cos 502y t x ππ=-（）

20.05cos 502y t x πππ=+-（） 。

8-13．弦线上的驻波波动方程为：2cos(

)cos 2

y A x t π

π

ωλ=+，设弦线的质量线密度为ρ。

（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；

（2）分别计算2

0λ

→半个波段内的振动势能、动能和总能量。 解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是02

2cos(=+）πλπx 的地方。 即：21222ππλπ）（±=+k x ，可得：2

λ

k x = （k=0， 321±±±，，

） （2）振动势能写成：

22222112()cos cos 222

P dE k d y A x t d V ππρωωλ=

=+（） ∴02

λ

→

半个波段内的振动势能：

222222200112()cos cos 222p E k d y A x t d x λ

λ

ππρωωλ==+??（） 222cos 8

A t λ

ρωω= 而：22222112sin sin 222K dE d mv A x t dV ππρωωλ==+（） ∴02λ

→半个波段内的振动动能：

222222

200112sin sin 222K E d mv A x td x λλππρωωλ==+??（）

222sin 8

A t λ

ρωω= 所以动能和势能之和为：228

K P E E E A λ

ρω=+=

。

8-14．试计算：一波源振动的频率为2040Hz ，以速度s v 向墙壁接近（如图所示），速度s v ，设声速为

观察者在A 点听得拍音的频率为3Hz ν?=，求波源移动的

340/m s 。

解：根据观察者不动，波源运动，即：0S u ≠，0R u =，

观察者认为接受到的波数变了：0S

u

u u νν=

-， 其中340u =，2043ν=，02040ν=，分别代入，可得：0.5/S u m s = 。

8-15．光在水中的速率为8

2.2510/m s ? (约等于真空中光速的4/3)，在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成顶角

116的马赫锥，求电子的速率．

解：由s

v u α=2sin ，有 ：88

2.2510 2.6510116sin sin

22

s u v m s α??===? 。 思考题8

8-1.下图（a ）表示沿x 轴正向传播的平面简谐波在0=t 时刻的波形图，则图（b ）表示的是： （A ）质点m 的振动曲线； （B ）质点n 的振动曲线； （C ）质点p 的振动曲线； （D ）质点q 的振动曲线。

答：图（b ）在t=0时刻的相位为

2

π

，所以对应的是质点n 的振动曲线，选择B 。

8-2．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。

（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。

8-3．设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？

答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，P 为常量，那么，通过距离为r 的柱面的平均能流为：2P I r π=?，∴1

2P

I r r π=

∝，A ∝

。

8-4．入射波波形如图所示，若固定点O 处将被全部反射。

（1）试画出该时刻反射波的波形；

（2）试画该时刻驻波的波形；

（3）画出经很短时间间隔t ?（<

提示：有半波损失。具体图略.