D7_6曲面方程

D7_6曲面方程

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离,而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ,则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动,即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a (4.5.1) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,(4.5.1)成为

第三章 常见曲面球面和旋转面

第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ,半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=, 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=, (3.1) 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= (3.2) 其中, 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程,它是一个三元二次方程,没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之,任一形如(3.2)的方程经过配方后可写成: ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时,它表示一个球心在()321,,b b b ---,半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面;当c b b b =++2 32221时,它表示一个点() 32,1,b b b ---;当c b b b <++2 32221时,它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面)。 1.2球面的参数方程,点的球面坐标 如果球心在原点,半径为R ,在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线,垂

足为N N ,连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?,ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时,θ为正,反之为负),则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? (3.3) (3.3)称为球心在原点,半径为R 的球面的参数方程,有两个参数θ?,,其中?称为经度,θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,,因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心,以R OM =为半径的球面上,而球面上点(除去它与z 轴的交点外)又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定,因此,除去z 轴外,空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标(或空间极坐标),其中0R ≥,,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? (3.4) 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程(3.2)和球面的参数方程(3.3)看到,一般来说,曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0,曲面的参数方程是含有两个参数的方程: (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? (3.5) 其中,对于()v u ,的每一对值,由(3.5)确定的点()z y x ,,在此曲面上;而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值(3.5)表示。于是通过曲面的参数方程(3.5),曲面上的

(整理)常用空间曲面

第六节 常用空间曲面 一、曲面方程的概念 在第四节中,我们已经知道了,在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示;反过来,一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下,如果曲面S 与三元方程 (,,)0F x y z = (1) 有下述关系: (1) 曲面S 上任一点 的坐标都满足方程(1); (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1) (1)就叫做曲面S 的方程,而那么方程 曲面S 就 叫做方程(1)的图形(图6-21)。 象在 平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样,在空间解析几何中,我们常把曲面看作一个动点按照某个规 律运动而成的轨迹。 运用这个观点,我们来建立球面方程。 例1 若球心在点0000(,,)M x y z ,半径为R ,求该球面方程。 解:设(,,)M x y z 是球面上任一点,那么 0M M R = 又 0M M =故 2 2 2 2 000()()()x x y y z z R -+-+-= (2) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程,而不在球面上的点的坐标都不满足该方程,所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心,R 为半径的球面方程。 如果球心在原点,那么0000x y z ===,从而球面方程为 2222x y z R ++= 将(2)式展开得 222222 0000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-= 所以,球面方程具有下列两个特点: (1) 它是,,x y z 之间的二次方程,且方程中缺,,xy yz zx 项; (2) 2 2 2 ,,x y z 的系数相同且不为零。 现在我们要问,满足上述两个特点的方程,它的图形是否为球面呢? 例2 方程2 2 2 40x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解:配方,得 222117 (2)()2 4x y z -+++= 所以所给方程为球面,球心为1 (2,,0) 2-,半径为2。 例3 方程2 2 2 2230 x y z x y z ++-+-+=是否表示球面? x ,)0y z =

常见的空间曲面与方程

常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数,且,,a b c 不全为零。 例如,1x y z ++=(图8-6(a )),0x =(图8-6(b ))均表示空间中的平面, z yoz 平面(x =0) y y x 图8-6(a ) 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面,称为柱面, l 为母线,C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8

例如,222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴,准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程,简称圆柱面图(8-8)。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面,其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数,且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式,它们分别为: 球面: 图8-9 椭球面:222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面:222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面:222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z

5常见曲面的参数方程

§ 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离,而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ,则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动,即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a (4.5.1) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离,而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ,则 )())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动,即得这旋转曲面的参数方程 ???????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a (4.5.1) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,(4.5.1)成为

常见曲面的参数方程

§4、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。5、1)成为 (4.5.2) 例1、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。2)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。1中得球面参数方程得形式就是相同得。 (4、5、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点P对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(4.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。4) 反之,有 (4。5.5) 当时,=0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,

第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点,记向量),,(z y x r = ,则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示, 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地,设3),(R v u r r ∈= ,其中参 数?∈),(v u ,这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= , ?∈),(v u ,所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面,(即曲面∑,可以表示为参数方程表示的点集。) 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ,(1) 把(1)用分量表示出来,就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ,?∈),(v u (2) 通常,我们称(1)是曲面∑的向量方程,而(2)是曲面∑的参数方程。 显然方程(1)和(2)之间的转换是直截了当的,所以我们可以认为(1)与(2)是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程, 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点, ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时,由a 与b 张成的平面可以用向量方程, 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示; 写成分量表示为 v b u a x x 110++=, v b u a y y 220++=, v b u a z z 330++=,

§1 曲面论基本方程

第五章曲面论基本定理 中心问题:寻求E3中曲面的完全不变量系统. 将要证明:曲面的第一和第二基本形式能够构成曲面的完全的几何不变量系统并且在合同意义下确定曲面本身. 为此,应该首先考虑曲面的第一和第二基本形式之间的自然联系;并进一步考察何时可以由所给定的第一和第二基本形式反过来确定曲面. §1曲面论基本方程 对正则曲面S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U?R2,已知第一基本形式和第二基本形式分别为 Ⅰ= d s2= d r?d r= (r i d u i)?(r j d u j) =g ij d u i d u j , g ij=r i?r j, Ⅱ=-d r?d n=-(r i d u i)?(n j d u j) =Ωij d u i d u j , Ωij=- r i?n j=r ij?n. 有理由预期,这两个基本形式之间的一般约束关系一定是存在的.比如可以如此预测独立约束方程的个数: [2 + (6 - 2)] - (2 + 1) = 3 ——两个基本形式的系数组一般由两个自变量的六个函数组成,当两个基本形式同时对角化时由两个自变量的四个函数组成;当动点轨迹形成E3中曲面时,动点在曲面上的两个“自由度”反映在曲面的两个正则参数之上,而另外一个“自由度”需要四个系数函数在三个独立的约束方程之下确定.为确定约束方程,以下将从自然标架微分方程存在解时的相容性条件出发而逐步进行考察.已知自然标架的运动公式确定为Gauss公式和Weingarten公式 r ik=Γi j k r j+Ωik n ; n i=-ωi j r j=-Ωik g kj r j . 一.Gauss-Codazzi方程 首先考虑相容性条件(r i)jk=(r i)kj,或写为r ijk=r ikj.为此,计算如下: r ijk= (r ij)k= (Γi l j r l+Ωij n)k = (Γi l j)k r l+Γi l j r lk+ (Ωij)k n+Ωij n k = (Γi l j)k r l+Γi l j (Γl m k r m+Ωlk n) + (Ωij)k n+Ωij (-ωk l r l) = (Γi l j)k r l+Γi m j (Γm l k r l+Ωmk n) + (Ωij)k n+Ωij (-Ωkm g ml r l) = [(Γi l j)k+Γi m jΓm l k-ΩijΩkm g ml)] r l+ [Γi m jΩmk+ (Ωij)k ] n,

常见曲面的参数方程

.常见曲面的参数方程

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§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=12 12121 21sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中 2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离,而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对 应的参数是1t ,则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动,即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2 222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a (4.5.1) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,(4.5.1)成为

4.5常见曲面的参数方程

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ???????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θ θ )20(πθ<≤

),(?θ叫做地理坐标。显然,除两极外,球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(?θ一一对应。这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。 利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P 为空间任意一点,它到原点的距离为r ,过P 作以原点为中心,以r 为半径的球面,则P 在这球面上具有地理坐标?θ,,可令点P 对应有序数组),,(?θr ;反之,由非负实数r 可确定P 所在的球面,再由),(?θ在这球面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做球坐标。显然,Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。 把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ,就成为球坐标与直角坐标的变换式,即 ?????===?θ ?θ?sin sin cos cos cos r Z r Y r X ?????? ??<<-<≤≥22200πππθt r (4.5.4) 反之,有 ?????????++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ?θθ (4.5.5)

第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示

第二章曲面的表示与曲面论 第一节曲面的显式方程和 隐式方程 一、由显式方程表示的曲面 设2R D?是有界闭区域,函数 :连续。我们称函数f的图 f→ D R 像 z y R z f x f ∈ = G∈= x : ,( } y ),, ),(), y x (3D {( ) 为一张曲面,它展布在D上,称这 个曲面是由显式方程 , =) z∈ (), , ( y f D y x x 所确定的。 ∑表示一个曲面。 通常用 二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中,中心 a、在xy平面 在坐标原点、半径为 上方的那个半球面(称为上半球面),它的显式方程为

222y x a z --=,D y x ∈),(, 其中 }:),{(222a y x y x D ≤+=,即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。 显然,下半球面的方程为 222y x a z ---=,D y x ∈),(; 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。 例2 点集 }1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达 y x z --=1,D y x ∈),(, 其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。 例 3 由方程axy z =,2),(R y x ∈, (常数0>a ),所确定的曲面称为双曲抛物面。 由于这曲面在在xy 平面的上的,第一、第三象限中,在xy 平面的上

方,而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方,因此在原点)0,0,0(的近旁,曲面呈鞍的形状,俗称马鞍面。 例4 旋转曲面的方程 1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。 如果固定z 轴不动,让xz 平面绕着z 轴旋转 360,那么这一条曲线就扫出一张曲面,称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ,它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上,以),0,0(z 为中心,半径为r 的圆周上()(r f z =), 222r y x =+, 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。

45常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点:旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离,而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ,则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动,即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a (4.5.1) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,(4.5.1)成为

曲面与空间曲面的总结材料

曲面与空间曲线的总结

椭圆柱面; 12222 =+b y a x 122 22=-b y a x 曲面与空间曲线一.曲面及其方程: 1.曲面方程的一般概念: 定义:若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0, 而满足此方程的点都在曲面上,则称此方程为 该曲面的方程,而曲面称为此方程的‘图形’。 例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解: 设M(x,y,z)为动点的坐标,动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 此即所求点的规迹方程,为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程: ①坐标平面xOy 的方程:z=0 ②过点(a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程:z=c ③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程: ①球面的标准方程:以M0(x0,y0,z0)为球心,R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点:平方项系数相同;没有交叉项。 例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解:整理得: (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程: 一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线,定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论: 若柱面的母线平行于z 轴,准线c 是xOy 面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0,则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。 分析:母线平行于坐标轴的柱面的特点为:平行于某轴,则在其方程中无此坐标项。其几何意义为:无论z 取何值,只要满足F(x,y)=0,则总在柱面上。 几种常见柱面:x+y=a 平面; 2 22222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0 631044=-++z y x 222a y x =+

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