2015届高三数学一轮总复习单元检测(人教A)：第十章 排列、组合和二项式定理
2014届高三数学一轮总复习单元检测（人教A）：
第十章排列、组合和二项式定理
时间：120分钟分值：150分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()
A．324B．328
C．360 D．648
解析：若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A92种排法；若个位数不是0，先从2、4、6、8中取一个放在个位，在其余的3个数和1、3、5、7、9中取出1个数排在首位，再从其余8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256(种)排法．所以满足条件的三位偶数共有A92＋4×8×8＝328(个)，故选B.
答案：B
2．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有() A．72种B．54种
C．36种D．18种
解析：依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31·C42·A22＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31·C42＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)，选B.
答案：B
3．数列{a n}共有6项，其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有()
A．24种B．60种
C．72种D．120种
解析：∵数列{a n}共有6项，可以找6个位置，先放3个1，相当于从6个位置中选出3个位置放1，由于3个1相同，所以没有顺序，共有C63种方法；类似地，剩下的3个位置2个放2,1个放3，因此一共有C63C32C11＝60(种)，故选B.
答案：B
4．为预防和控制甲型流感，某学校医务室欲将22支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方式共有() A．45种B．55种
C．90种D．100种
解析：依题意，先把这22支相同的温度计给每班分配2支，则满足题意的分发方式的种数就取决于余下的2支温度计的分配方法种数，余下的2支温度计的分配方法有两类：第一类，将余下的2支温度计全部分给某一个班，有C101＝10(种)方法；第二类，将余下的2支温度计全部分给某两个班，有C102＝45(种)方法．因此，满足题意的分发方式共有10＋45＝55(种)，选B.
答案：B
5．计划在4个候选场馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，在同一个场馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()
A．24种B．36种
C．42种D．60种
解析：依题意知，满足题意的方案可分为两类：第一类，这3个项目分别安排在某3个场馆，相应的方案数为A43＝24；第二类，这3个项目分别安排在某2个场馆，相应的方案数为C42·C21·C32＝36.因此，满足题意的方案共有24＋36＝60(种)，选D.
答案：D
6．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x＝1,2,3,4,5)的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为() A．C82A63B．C71A74
C．C61A74D．无法确定
解析：依题意，分步确定当x取1、2、3、4、5时相应的函数值，第一步，从除A、B 外的六个数中任选一个作为x＝5时相应的函数值，有C61种方法；第二步，再从其余的7个数中任选4个作为x取1、2、3、4时相应的函数值，有A74种方法．因此满足题意的不同的选法种数有C61A74，选C.
答案：C
7．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人，现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是() A．C802C208B．A808C202
C．A808C202D．C808C202
解析：依题意得这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是C808C202，选D.
答案：D
8．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连
数”．例如：32是“可连数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为( )
A ．27
B ．36
C ．39
D ．48
解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数”，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．
当“可连数”为一位数时：有C 31＝3(个)；
当“可连数”为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C 31C 31＝9(个)；
当“可连数”为三位数时：有C 31C 41C 31＝36(个)；
故共有：3＋9＋36＝48(个)，故选D.
答案：D
9．(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能确定
解析：在已知等式中分别取x ＝1与x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝62010，a 0－a 1＋a 2
－…＋a 2010＝22010，两式相加得2(a 0＋a 2＋…＋a 2010)＝62010＋22010，即a 0＋a 2＋…＋a 2010＝12
×(62010＋22010)＝12
×62010＋22009. 注意到12
×62010能被3整除； 22009＝2×(22)1004＝2×(3＋1)1004＝2×(31004＋C 10041·31003＋…＋C 10041003·3＋1)，被3除的余数是2，因此选C.
答案：C
10．如果f (m )＝1＋m C n 1＋m 2C n 2＋…＋m n －1C n n －1＋m n C n n ，那么log 2f (3)log 2f (1)
等于( ) A ．2
B.12 C ．1
D ．3 解析：∵f (m )＝(1＋m )n ，∴log 2f (3)log 2f (1)＝log 24n log 22n ＝2n n ＝2，故选A. 答案：A
11．(C 41x ＋C 42x 2＋C 43x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )
A ．64
B ．224
C ．225
D ．256
解析：在已知代数式中取x＝1得其展开式的所有项的系数和等于(C41＋C42＋C43＋C44)2＝152＝225，选C.
答案：C
12．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x3的系数为()
A．－150 B．150
C．－500 D．500
解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0,2n ＝16＝24，n＝4，二项式(5x－x)n即(5x－x)4的展开式的通项T r＋1＝
，令4－r
2＝3，得r＝2，因此(5x－x)n的展开式中x3的系数等于C42·54－2·(－1)2＝150，选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)
13．北京大学今年实施校长实名推荐制，某中学获得推荐4名学生的资格，校长要从7名优秀学生中推荐4名，7名学生中有2人有体育特长，另有2人有艺术特长，其余3人有其他特长，那么至少含有1名有体育特长和1名有艺术特长的学生的推荐方案有________种(用数字作答)．
解析：依题意，推荐方案分四类：①1名体育特长生，1名艺术特长生，有C21C21C32＝12(种)方案；②2名体育特长生，1名艺术特长生，有C22C21C31＝6(种)方案；③1名体育特长生，2名艺术特长生，有C21C22C31＝6(种)方案；④2名体育特长生，2名艺术特长生，有C22C22＝1(种)方案．于是，满足题意的推荐方案共有12＋6＋6＋1＝25(种)方案．答案：25
14．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析：依题意，本题中的“好数”一定是由三个1与其他一个数或一个1与其他三个相同的数构成，故共有C31C31＋C31＝12(个)．
答案：12
15．在(x＋4
3y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
解析：注意到二项式(x＋4
3y)20的展开式的通项是T r＋1＝C20r·x20－r·(
4
3y)r＝C20r·3
r
4·x
20－
r·y r.当r＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x＋43y)20的展开式中，系数是
有理数的项共有6项．
答案：6
16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1＋1，则a 1C n 0＋a 2C n 1＋…＋a n ＋1C n n ＝________. 解析：∵a n ＝2n －
1＋1，∴a 1C n 0＋a 2C n 1＋…＋a n ＋1C n n ＝C n 0(20＋1)＋C n 1(21＋1)＋…＋C n n (2n ＋1)＝(C n 020＋C n 121＋…＋C n n 2n )＋(C n 0＋C n 1＋…＋C n n )＝(2＋1)n ＋2n ＝3n ＋2n .
答案：2n ＋3n
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，共有多少种旅游方案？
解析：此题可用排除法，7个人分别去7个地方共有A 77种可能．
(1)若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有A 33＝6(种)．
(2)若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有C 43种，而4人中剩下1人旅游的地方是C 31种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是A 33种，所以共有C 43C 31A 33＝72(种)．
(3)若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有C 42种，余下的5个人分别去5个不同地方的方案有A 55种，但是其中又包括了有条件的四人中的两人(不妨设甲、乙两人)同时去各自不能去的地方共A 33种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方共2A 31A 33种，所以共有C 42(A 55－A 33－2A 31A 33)＝468(种)．
(4)若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有C 41种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与(3)想法一致，共有
C 41[A 66－A 33－C 32(A 44－A 33)－C 31(A 55－A 32－2A 31·A 33)]＝1704(种)．
所以满足以上情况的不同旅游方案，共有
A 77－(6＋72＋468＋1704)＝2790(种)．
18．(本小题满分12分)设(5x 12－x 13
)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝992.
(1)判断该展开式中有无x 2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；
(2)求此展开式中有理项的项数．
解析：令x ＝1得M ＝4n ，而N ＝2n ，由M －N ＝992，得4n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋
31)＝0.故2n ＝32，n ＝5.
(1) 由题意，
5－r 2＋r 3＝2，r ＝3.故含x 2项存在，它的系数为－250.
(2)由通项可知，必须5－r 2＋r 3＝15－r 6
为整数．分别把r ＝0,1,2,3,4,5代入，只有r ＝3成立，故只有一项有理项．
19．(本小题满分12分)把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列．
(1)43251是这个数列的第几项？
(2)求这个数列的第96项是多少？
(3)求这个数列的各项和．
解析：(1)先考虑大于43251的数有三类：以5开头的有A 44个，以45开头的有A 33个，以435开头的有A 22个，则不大于43251的五位数有：
A 55－(A 44＋A 33＋A 22)＝88(个)，
即43251是此数列的第88项．
(2)此数列共有120项，即96项以后还有120－96＝24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5开头的五位数恰好有A 44＝24个，所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.
(3)因为1,2,3,4,5各在万位时都有A 44个五位数，所以万位上数字的和为(1＋2＋3＋4＋
5)×A 44×10000；同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有A 44个五位数，所以其和为(1＋2＋3＋4＋5)×A 44×(1＋10＋100＋1000)，
综上，这个数列的和为：
(1＋2＋3＋4＋5)×A 44×(1＋10＋100＋1000＋10000)＝3999960.
20．(本小题满分12分)(1)求证：k C n k ＝n C n －1k －
1； (2)等比数列{a n }中，a n ＞0，化简：
A ＝lg a 1－C n 1lg a 2＋C n 2lg a 3－…＋(－1)n C n n lg a n ＋1.
解析：(1)证明：∵左式＝k ·n ！k ！(n －k )！
＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！
＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！
＝n C n －1k －
1＝右式， ∴k C n k ＝n C n －1k －
1. (2)由已知：a n ＝a 1q n －
1， ∴A ＝lg a 1－C n 1(lg a 1＋lg q )＋C n 2(lg a 1＋2lg q )－C n 3(lg a 1＋3lg q )＋…＋(－1)n C n n (lg a 1＋n lg q )
＝lg a 1[1－C n 1＋C n 2－…＋(－1)n C n n ]－lg q [C n 1－2C n 2＋3C n 3－…＋(－1)n －
1C n n ·n ]
＝lg a 1·(1－1)n －lg q [n C n －10－n C n －11＋n C n －12－…＋(－1)n －1·n C n －1n －1] ＝0－n lg q [C n －10－C n －11＋C n －12－…＋(－1)n －1·C n －1n －
1] ＝－n lg q (1－1)n －
1＝0. 21．(本小题满分12分)已知?
???x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项系数的比是10∶1.
(1)求展开式各项系数的和； (2)求展开式中含x 32
的项； (3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项．
解析：(1)∵?
???x －2x 2n 展开式中的通项为
，
由题意得24C n 422C n 2＝101
，∴n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍)．
令x ＝1，则?
???x －2x 28的各项系数和为1. (2)展开式通项为
，
令8－5r 2＝32
，得r ＝1， ∴展开式中含x 32
的项为
(3)展开式的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C 8r －1·2r －1，C 8r 2r ，C 8r ＋1·2r ＋
1. 若第r ＋1项的系数绝对值最大，则有
?????
C 8r －1·2r －1≤C 8r ·2r C 8r ·2r ≥C 8r ＋1·2r ＋1 解得5≤r ≤6.
即系数绝对值最大的项为第六项或第七项．
∴T 6＝－1792x x 9，T 7＝1792·1
x
11. 故展开式中系数最大的项为1792·1x 11，系数最小的项为－1792x x
9. 22．(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的函数，且g (x )＝C n 0·f ???
?0n ·x 0(1－x )n ＋C n 1·f ????1n x ·(1－x )n －1＋C n 2·f ????2n ·x 2·(1－x )n －2＋…＋C n n ·f ???
?n n ·x n (1－x )0. (1)若f (x )＝1，求g (x )；
(2)若f (x )＝x ，求g (x )．
解析：(1)f (x )＝1，则
g (x )＝C n 0(1－x )n ＋C n 1·x ·(1－x )n －
1＋…＋C n n x n ·(1－x )0＝(1－x ＋x )n ＝1， ∵式子有意义，则x ≠0且x ≠1，
∴g (x )＝1(x ≠0且x ≠1)．
(2)f (x )＝x ，则f ????k n ＝k n ，
∴g (x )＝C n 0·0＋C n 1·1n x ·(1－x )n －1＋C n 2·2n ·x 2·(1－x )n －2＋…＋C n k ·k n
·x k ·(1－x )n －k ＋…＋C n n ·1·x n (1－x )0，
又 ∵C n k ·k n ＝k n ·n ！(n －k )！·k ！
＝(n －1)！(n －k )！·(k －1)！
＝C n －1k －1， ∴g (x )＝C n －10·x ·(1－x )n －1＋C n －11x 2·(1－x )n －2＋C n －12x 3·(1－x )n －3＋…＋C n －1k －1·x k ·(1－x )n
－k ＋…＋C n －1n －2·x n －
1·(1－x )＋x n ＝x ·[C n －10·(1－x )n －1＋C n －11·x ·(1－x )n －2＋…＋C n －1n －2x n －2·(1－x )＋C n －1n －1·x n －1] ＝x (1－x ＋x )n －
1＝x ， 故g (x )＝x ，且x ≠0，x ≠1
(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档
m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
高三复习：排列组合问题的解题方法
排列组合问题的解题方法 一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：① 含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4 4 A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排 个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2 4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？ 解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55 种，甲、乙二人的排列有A 22 种，共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可. 例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”， 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？ 解：6个人的全排列有A 66 种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法. 解：6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种，剩下3人排在后排有A 3 3种，故共有
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
高中数学搞定排列组合方法,各种问题大全
高考数学定排列组合方法 问题大全 排队问题大全 三男四女排队30问小结 [ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法： 1．全体排一排：50407 7=A 2、选5人排一排：==5 75557A A C 2520 ３．甲站在正中间：6!=720 ____________ ４．甲只能站在正中间或两头： ５．甲既不在排头也不在排尾： ６．甲、乙必须在两头： ______________ ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ ８．甲不在排头、乙不在排尾： ９．甲在乙的右边： ________________ １０．甲、乙必须相邻： _____________ １１．甲、乙不能相邻： １２．甲、乙、丙三人都相邻： １３．甲、乙、丙三人都不相邻： １４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻： １５．男女生各站在一起： １６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ ) １７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)： １８．男生不排在一起： １９．任何两男生彼此不相邻： ２０．甲、乙两人之间须相隔１人： ２１．甲、乙两人中间恰有3人： ２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)： ２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)： ２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： ２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： ２６．排成前后两排，前3人后4人： ２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排： ２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： ２９．若两端都不能排女生： 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13
排列组合常用方法总结
/////////解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。
(完整)高中数学排列组合专题复习
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：高中数学复习教案64-排列组合的综合应用
题目第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用 高考要求 1进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 2使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法 解题思路归纳 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（答案：30个） 科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种（答案：350） 分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分； 插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600) 捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240） 排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30） 剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有1 1--m n C 种方法 错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列
高考数学专题之排列组合综合练习
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
排列组合常用方法总结
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
37.沪教版高三一轮复习基础题练习——排列组合(第一版)
排列组合 姓名： 1. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答） 2. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示） 3. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，若其中至少有一名女生入选，则组队方案数为___________. 4.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的情况是种. 5. 电视台在电视剧开播前连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种. 6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 7. 奥运火炬接力传递路线公分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲乙丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲乙中产生，则不同的传递方案有 _种.
【知识点轮动】 1. 不等式3593100x x +?-+>的解集为 2. 已知01a <<，若不等式log (3)log (2)a a x x +<-成立，则x 的取值范围是_________。 3. 函数log a y x =在(2,)x ∈+∞上恒有||1y >，则a 的范围是____________。 4. 若31log 2log 273 x +=，则=x ______。 5 . 已知()(1) a x f x x a -=-+，且1(1)f x --的图像的对称中心是(0,3)，则a =________。 6. 函数2211log (4),[,]166 y x x x =-∈的值域是________。 7. 已知函数21()21 x x a f x ?-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；
高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)教学内容
高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)
排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为11m n C --
高中数学排列组合专题
排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的
插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
高三数学一轮复习-排列组合题型汇总(附详解)
高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1 一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类” 例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案． 解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种． (2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）D A、26 B、24 C、20 D、19 3 5 12 B 4 6 A 6 76 12 8 解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法： 第一类：12 5 3 第二类 ： 12 6 4 第三类 ：12 6 7 第四类；：12 8 6 可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4； 第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D (3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）C D A A、8种 B、12种 C、16种 D、20种 B C
解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法； 第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这 样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法； 根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法 二、排队问题： 例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ (1)甲在排头 (2)甲不在排头，也不在排尾 (3)甲、乙不相邻 (4)甲乙之间有且只有两人 (5)甲乙丙三人必须在一起 (6)甲乙丙三人两两不相邻 (7)甲在乙的左边（不一定相邻） (8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 (9)甲不在排头，乙不在排尾 (10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人 三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑 用“除法” 例3、(1)10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ (2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )C A． B． C． D． (3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个 新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __ 解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个 节目是一个组合，有 种方法，再排新插入的两个节目有 种方法，故
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
理科数学2010-2019高考真题分类训练排列与组合
专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取 1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中
高三数学排列组合20种解题方法汇总(含例题及解析,)
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3 C 然后排首位共有1 4 C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得113 434 288 C C A= 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522 480 A A A=种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 5 A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间 包含首尾两个空位共有种4 6 A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56 A A种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
高中数学排列组合难题十一种方法
~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2 步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法， 再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. ： 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 （ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。