2013年全国各地高考文科数学试题精选----数列

2016届文科人教版数学

数列

姓名：

院、系：数学学院

专业: 数学与应用数学

2015年10月25日

2013年全国各地高考文科数学试题精选----数列

一、选择题

1 ．（2013年高考大纲卷（文7））已知数列

{}n a 满足12

4

30,,3

n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（ ）

A ．()

-10

-61-3

B ．

()-101

1-39

C ．()

-10

31-3

D ．()

-10

31+3

2 ．（2013年高考安徽（文））设

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =

（

） A ．6- B ．4-

C ．2-

D ．2

3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文6））设首项为1,公比为

2

3

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 （ ） A ．21n n S a =-

B ．32n n S a =-

C ．43n n S a =-

D ．32n n S a =-

4 ．（2013年高考辽宁卷（文4））下面是关于公差0d >的等差数列

()n a 的四个命题:

{}1:n p a 数列是递增数列；

{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??

????

数列是递增数列；

{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为 （ ） A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p

二、填空题

5 ．（2013年高考重庆卷（文12））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.

6 ．（2013年高考北京卷（文11））若等比数列

{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比

q =__________;前n 项n S =_____.

7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则

1234||||a a a a +++=________

8 ．（2013年高考江西卷（文12））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植

树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n∈N*)等于_____________.

9 ．（2013年高考辽宁卷（文14.））已知等比数列

{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是

方程2

540x x -+=的两个根,则6S =____________.

10．（2013年高考陕西卷（文13））观察下列等式:

23(11)21

(21)(22)213(31)(32)(33)2135

+=?++=??+++=???

照此规律, 第n 个等式可为________.

11．（2013年上海高考数学试题（文科2））在等差数列

{}n a 中,若123430a a a a +++=,则

23a a +=_________.

三、解答题

12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{}n a 的公差1d

=,前n 项和为n S .

(1)若131,,a a 成等比数列,求1a ; (2)若519S a a >,求1a 的取值范围.

13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列

{}n a 中,71994,2,a a a ==

(I)求{}n a 的通项公式; (II)设{}1

,.n n n n

b b n S na =

求数列的前项和

14．（2013年高考湖北卷（文））已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且

23418a a a ++=-.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数n ,使得2013n S ≥?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.

15．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01

≠a ,2n n S S a a ?=-11,∈n N *

(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.

16．（2013年高考重庆卷（文））设数列

{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;

(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .

17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为

3

2

的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13

*)6

1(n n S n S +

≤∈N .

18．（2013年高考山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24

4S S =,122+=n n a a

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足

*12121

1,2

n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T

19．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3

成等比数列.

(Ⅰ)求d,a n ; (Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n | .

20．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,2

12a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数

列{}n a 的首项、公比及前n 项和.

21．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列

{}n a 的前n 项和为n S ,满足

2

144

1,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明

:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112

n n a a a a a a ++++< .

22．（2013年高考安徽（文））设数列

{}n a 满足12a =,248a a +=,且对任意*n N ∈,函数

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++?? ，满足'()02

f π

=

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若1

22n

n n a b a =+

（）,求数列{}n b 的前n 项和n S .

23．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列{}n a 的公差不为零，1

25a =，且11113,,a a a 成等比

数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++???+；

24．（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2

(21)20n

n a n a n ---=.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1

(1)n n

b n a =

+,求数列{b n }的前n 项和T n .

25．（2013年上海高考数学试题（文科））已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足

1(),*n n a f a n N +=∈. (1)若10a =,求2a ,3a ,4a ;

(2)若10a >,且1a ,2a ,3a 成等比数列,求1a 的值;

(3)是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,,n a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ;若不存在,说明理由.

26．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3

0S =,55S =-.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121

1

{

}n n a a -+的前n 项和.

2013年全国各地高考文科数学试题精选----数列

一、选择题

1．（2013年高考大纲卷（文7））已知数列

{}n a 满足12

4

30,,3

n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（ ）

A ．()

-10

-61-3

B ．

()-101

1-39

C ．()

-10

31-3

D ．()

-10

31+3

【答案】C

由031=++n n a a ，所以

3

1

1-=+n n a a ，所以q a a 12=，所以4)3(34121=-?-=?=q a a ，所以

)31(33

11]

)31

(1[4101010-=+--=S ，故选C. 2．（2013年高考安徽（文））设

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =

（

） A ．6-

B ．4-

C ．2-

D ．2

【答案】A

188333638()

442a a S a a a a a +=?

=?+=6

0a ∴=

972,26

d a a d =-=+=-，选A.

3．（2013年高考课标Ⅰ卷（文6））设首项为1,公比为

2

3

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 （ ） A ．21n n S a =-

B ．32n n S a =-

C ．43n n S a =-

D ．32n n S a =-

【答案】D

在等比数列中，1112()3n n n a a q --==，1213322113

n

n n n

a a qa S a q --===---，选D. 4 ．（2013年高考辽宁卷（文4））下面是关于公差0d >的等差数列

()n a 的四个命题:

{}1:n p a 数列是递增数列；

{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??

????

数列是递增数列；

{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为 （ ）

A ．12,p p

B ．34,p p

C ．23,p p

D ．14,p p

【答案】D

设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但

2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但

1

1n a n n

=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确

二、填空题

5 ．（2013年高考重庆卷（文12））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.

【答案】

7

2

本题考查等差数列的基本运算与性质。因为2,,,,9a b c 成等差数列，所以924d =+，即公差74

d =，所以77

2242

c a

d -==?

=。 6 ．（2013年高考北京卷（文11））若等比数列

{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比

q =__________;前n 项n S =_____.

【答案】2,1

2

2n +-

2)

(4

2424253==++=++q a a a a q a a a a ，代回得21=a ，根据等比数列求和公式

222

1)21(21)1(11-=--=--=+n n n n q q a S .

7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列

{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则

1234||||a a a a +++=________

【答案】15

因为111(2)n n n a a q --==-，所以1234||||124815a a a a +++=+++=。

8．（2013年高考江西卷（文12））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树

的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________. 【答案】6

本题考查等比数列的求和以及在实际生活中的应用。由题意可知，植树棵树，构成一个等比数

列，其中12,2a q ==，所以1

2(12)2212

n n n S +-==--，由122100n n S +=-≤得，

12102n n S +=≤，因为67264,2124==，所以17n +≥，即6n ≥，所以最少6天。

9．（2013年高考辽宁卷（文14.））已知等比数列

{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是

方程2

540x x -+=的两个根,则6S =____________.

【答案】63

13135,4a a a a +==由递增，131,4a a ==，所以23

1

4a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S =.

10．（2013年高考陕西卷（文13））观察下列等式:

23(11)21

(21)(22)213(31)(32)(33)2135

+=?++=??+++=???

照此规律, 第n 个等式可为________.

【答案】)12(5312

)()3)(2)(1(-????=++++n n n n n n n

考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。 第n 个等式可为:

)12(5312)()3)(2)(1(-????=++++n n n n n n n

11．（2013年上海高考数学试题（文科2））在等差数列

{}n a 中,若123430a a a a +++=,则

23a a +=_________.

【答案】15

1530)(232324321=+?=+=+++a a a a a a a a

三、解答题

12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{}n a 的公差1d

=,前n 项和为n S .

(1)若131,,a a 成等比数列,求1a ; (2)若519S a a >,求1a 的取值范围.

【答案】解:(1)因为数列{}n a 的公差1d

=,且131,,a a 成等比数列,

所以2111(2)a a =?+,

即21120a a --=,解得11a =-或12a =. (2)因为数列{}n a 的公差1d =,且519S a a >, 所以21115108a a a +>+;

即2113100a a +-<,解得152a -<<

13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列

{}n a 中,71994,2,a a a ==

(I)求{}n a 的通项公式; (II)设{}1

,.n n n n

b b n S na =

求数列的前项和 【答案】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-

因为719942a a a =??=?,所以111

64182(8)a d a d a d +=?

?+=+?.

解得,11

1,2

a d ==

. 所以{}n a 的通项公式为1

2

n n a +=. (Ⅱ)1222

(1)1n n b na n n n n =

==-

++, 所以2222222()()()1

2

2

3

11

n n S n

n n =-+-++-

=++ . 14．（2013年高考湖北卷（文））已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且

23418a a a ++=-.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数n ,使得2013n S ≥?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.

【答案】(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ,则10a ≠,0q ≠. 由题意得

2432234,18,S S S S a a a -=-??++=-? 即 232

1112

1

,(1)18,a q a q a q a q q q ?--=??++=-??

解得13,2.a q =??=-?

故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-. (Ⅱ)由(Ⅰ)有 3[1(2)]

1(2)1(2)

n n n S ?--=

=----. 若存在n ,使得2013n S ≥,则1(2)2013n --≥,即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时,(2)0n ->, 上式不成立;

当n 为奇数时,(2)22012n n -=-≤-,即22012n ≥,则11n ≥.

综上,存在符合条件的正整数n ,且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .

15．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01

≠a ,2n n S S a a ?=-11,∈n N *

(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.

【答案】解: (Ⅰ) 111111

21.S S a a n a S ?=-=∴=时，当 .1,011=≠?a a

111

1

1111222221----=?-=---=

-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===?-的等比数列，公比为时首项为

(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ?++?+?+?=??++?+?+?= 321321321321设

1432321+?++?+?+?=?n n a n a a a qT

上式左右错位相减

n n n n

n n n n na q

q a na a a a a T q 21211)1(111

321?--=---=-++++=-++

*,12)1(N n n T n n ∈+?-=?.

16．（2013年高考重庆卷（文））设数列

{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;

(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .

【答案】

17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为

3

2

的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13

*)6

1(n n S n S +

≤∈N . 【答案】

18．（2013年高考山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24

4S S =,122+=n n a a

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足

*12121

1,2

n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T

【答案】

19．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3

成等比数列.

(Ⅰ)求d,a n ; (Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)

a a a a d a d d d +=?++=+?+=+

2

2

41

12122125253404611n n d d d d d d d a n a n

==-???++=+?--=???

=+=-??或;

(Ⅱ)由(1)知,当0d

<时,11n a n =-,

①当111n ≤≤时,

123123(1011)(21)

0||||||||22

n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++=

=

②当12n ≤

时,

1231231112132123111230||||||||()

11(2111)(21)21220

2()()2222

n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=?-=

所以,综上所述:1232

(21)

,(111)2||||||||21220,(12)2

n n n n a a a a n n n -?≤≤??

++++=?-+?≥?? ; 20．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,2

12a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数

列{}n a 的首项、公比及前n 项和.

【答案】解:设

{}n a 的公比为q .由已知可得

211=-a q a ,211134q a a q a +=,

所以2)1(1=-q a ,0342=+-q q ,解得 3=q 或 1=q , 由于2)1(1=-q a .因此1=q 不合题意,应舍去, 故公比3=q ,首项11=a .

所以,数列的前n 项和2

1

3-=n n S

21．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列

{}n a 的前n 项和为n S ,满足

2

144

1,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明

:2a =

(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有122311111

2

n n a a a a a a ++++< .

【答案】(1)当1n =时,221

22145,45a a a a =-=+

,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()2

14411n n S a n -=---,22

114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2

221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+

∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.

2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=?,()()2

222824a a a +=?+,解得23a =,

由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=

21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.

∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.

(3)

()()

122311111111

1335572121n n a a a a a a n n ++++=++++

???-+ 11111111123355721211111.2212

n n n ??????????=?-+-+-+- ? ? ? ???-+????????????=?-

{}n a 满足12a =,248a a +=,且对任意*n N ∈,函数

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++?? ，满足'()02

f π

=

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若1

22

n

n n a b a =+

（）,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】解:由1

2a = 248a a +=

1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++?? 1212--sin -cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=+??（）

121'()--02

n n n n f a a a a π

+++=+= 所以,122n n n a a a ++=+

{}n a ∴是等差数列.

而12a = 34a = 1d =

2-111n a n n ∴=+?=+（）

(2)1111

22121222n n n a n n

b a n n +=+

=++=++

（）（）（） 111-22122121-2

n n n n S ++=+

（）

（） 21

=31-21

31-2n n

n n n n ++=++（） 23．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列{}n a 的公差不为零，1

25a =，且11113,,a a a 成

等比数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++???+；

【答案】

24．（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2

(21)20n

n a n a n ---=.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1

(1)n n

b n a =

+,求数列{b n }的前n 项和T n .

【答案】解:(21)20n n ---=2

n n n n （1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0

由于{a n }是正项数列,则2n =n a . (2)由(1)知2n =n a ,故11111

()(1)(1)(2)2(1)

n n b n a n n n n =

==-+++

11111111(1...)(1)222312122

n T n n n n ∴=

-+-++-=-=+++n 25．（2013年上海高考数学试题（文科））已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足

1(),*n n a f a n N +=∈. (1)若10a =,求2a ,3a ,4a ;

(2)若10a >,且1a ,2a ,3a 成等比数列,求1a 的值;

(3)是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,,n a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ;若不存在,说明理由.

【答案】

26．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3

0S =,55S =-.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121

1

{

}n n a a -+的前n 项和.

【答案】(1)设{a n }的公差为d,则S n =1(1)

2

n n na d -+

. 由已知可得111330,

1, 1.5105,a d a d a d +=?==-?+=-?解得

{}n =2-.n a a n 故的通项公式为

(2)由(I)知

212111111(),(32)(12)22321

n n a a n n n n -+==-----

从而数列21211

n n n a a -+??????

的前项和为1111111-+-++

)2-1113232112n n n n -=--- （.