工程数学2012-CH10-勒让德多项式和球谐函数

勒让德多项式

勒让德多项式[编辑] 维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）: 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏] 1 正交性 2 部分实例 3 在物理学中的应用 4 其他性质 4.1 奇偶性 4.2 递推关系 5 移位勒让德多项式 6 分数阶勒让德多项式 7 参见 8 外部链接 9 参考文献正交性[编辑] 勒让德多项式的一个重要性质是其在区间?1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。部分实例[编辑] 下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式： n 1

第六章. 勒让德函数

第6章勒让德函数6.1 勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。 1. 级数解法的基本思想：把方程的解表示为以为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待定系数即可得该方程的解。 0z

说明： (1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 (2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选定某个点作展开中心，得到的解是以为中心的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有意义。 0z 0z

2. 方程的常点和奇点方程的标准形式： (1) 其中：w (z )—未知的复变函数，p (z )、q (z )—已知的复变函数 (方程的系数) 要求解的问题：在一定条件下( 如初始条件 )满足(1)的w (z )。 ''()()'()()()0w z p z w z q z w z ++=1000)(',)(c z w c z w ==

方程(1)的解的性质 (解的存在性、唯一性、稳定性、单值性等) 由方程的系数p (z )和q (z )的解析性确定。设p (z )和q (z )在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类： (i)方程的常点：如果p (z )和q (z )都在点的邻域解析，则称为方程的常点。 0z 0z

(ii) 方程的奇点：只要两系数p (z )和q (z )之一在点不解析，就称为方程的奇点。如果最多是p (z )的一阶极点、q (z )的二阶极点，则称为方程的正则奇点。否则，则称为方程的非正则奇点。 0z 0z 0z 0z 0z

数值分析第6章习题

数值分析第六章整合版（黑组）一、填空题 1、已知 ()01 P x =，()1P x x =， () () 2 2312 x P x -= ，根据勒让德多项式的递推关系，则求()3P x =（3532x x - ）解：勒让德多项式的递推关系为()()()()()11121n n n n P x n xP x nP x +-+=+-，n=1，2……. 将()1P x x =，()() 2 2312 x P x -= 代入上式即可求出()3P x =3532 x x - 2、若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳3次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上存在5 个交替为正、负偏差点。（考点：切比雪夫定理） 3、切比雪夫正交多项式可表示为(x)cos(narcosx)n T =，(x)n T 是最高次幂系数为12n - 的n 次多项式。（考点：切比雪夫多项式性质） 4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点（考点：最佳一致逼近定理3）二、选择题 1、求函数3)1()(+=x x f 在区间[0,1]，],[,21b a x x ∈上的一次最佳一致逼近多项式（D ） A x +4358.0 B x 34358.0+ C x 54358.0+ D x 74358.0+ 2、设的2-其中为定义在[a,b]上的（A ） A 权函数 B 反函数 C 幂函数 D 函数 3、x e =）（x f ，-1≤x ≤1，且设= p(x)x a a 1 +，求a a 1 , 0使得)(x p 为)(x f 于[] 1,0上的最佳平方逼近多项式（A ） A:() 1021--=e e a ,311e a -= B:() e a e a e 111 03 1,2---== ) (x ρ],[)(b a C x f ∈()f x

第十九章：勒让德多项式球函数

第19 勒让德多项式球函数习题及解答 ———————————————————————————— 19.1 试证明 1 1 P ()d 0 n x x -=? ，其中1,2,3,n = . 19.2 计算 1221 P ()d I x x x -=?. 【答案 0,2/3; 2,4/15; n I n I n I ====≠=】 19.3求积分 1 P ()d l I x x =?. 【答案 0,1; 1,1/2; 2,1,0;(21)!! 21,1, (1)(22)!! k l I l I l k k I k l k k I k =====≥=-=+≥=-+】 19.4 求积分 1 P ()d l I x x x =?. 【答案 1 20,1/2; 1,1/3; 21,1, 0;(22)!!2,1, (1)2(1)!(1)! k k l I l I l k k I k l k k I k k +=====+≥=-=≥=--+】 19.5 证明： 31 332()()55x P x P x =+ 19.6 证明：1 1 110 (1)()d ()d m m n n m n x P x x m x P x x --++=?? 19.7 证明：1 221 2(21) (1)[()]d ,0,1,2,. 21n n n x P x x n n -+'-= =+? 19.8 计算 111 1 (1) =P ()d ; (2) =(23)P ()d n n I x x x I x x x --+?? 【答案 (1)1,2/3;1,0;(2)0,4;1,2,0,1,0n I n I n I n I n I ==≠=====≠=】 19.9 求球内的调和函数u ，使得它满足边界条件 2 1|cos r u θ==. 【答案 2 212 (,)(cos )33u r P r θθ=+】 19.10 求下列定解问题 222 2111()(sin )0, (01)sin |cos 2cos r u u r r r r r r u θθθθθ=?????+=<

勒让德legendre多项式及其性质

勒让德(legendre)多项式及其性质

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对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解

对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解球坐标系下的拉普拉斯算符(),,u r θ??，当(),,u u r θ?=不具有旋转对称性时，经分离变量后()θΘ所满足的方程为连带勒让德方程 ()2 2 0,1sin 0sin sin d d m d d θπθμθθθθθ=?? Θ??+-Θ= ? ????? Θ<∞ ① 令x=cos θ sin d d dx d d dx d dx θθθΘΘΘ ==- ()()2211sin sin sin sin 1sin sin sin 1d d d d dx d d dx d d d d dx dx d d x dx dx θθθθθθθθθθθΘΘ????= ? ? ????Θ??=-- ???Θ??= -???? 令y Θ= 上式变为： ()( )2221101x d dy m x y dx dx x y x μ=±????-+-= ???-????<∞ ② 将上述方程进行整理 ()()2222112d dy d y dy x x x dx dx dx dx ??-=--???? 故，上式转化为： ()22 2 221201d y dy m x x y dx dx x μ??--+-= ?-?? 即

()222222220111d y x dy m y dx x dx x x μ?? ?? -+-=?? ---?? 即 ()2 222220111x m y y y x x x μ????'''-+-=??---?? ③ （这就是标准的二阶常微分方程()()0y P x y Q x y '''-+=的形式） 1x <内解析定理保证连带勒让德方程在1x <内一定有解析解。 ()0 l l l y x C x ∞ ==∑ 1x < ③式的解为： ()1l l l μ=+ 0,1,2,3l = ()()() () ()22 1m m m lm l l y x P x x P x ==- 0,1,2m l = 式中()m l P x 表示m 阶l 次连带勒让德函数 ()() ()() ()()2 2 22 2 1112!m m m l l m lm l l lm P x x P x x d x l dx =--= -? ()()m l P x 表示l 次勒让德函数的m 阶导数。 ()l P x 是m=0时的连带勒让德函数即勒让德函数。注：①m l > 时，()()m l P x =0 ②cos x θ=时，式③的解可以写为： ()1l l l μ=+ 0,1,2,3l = ()()()()c o s s i n c o s m m m lm l l P P θθθθΘ==? 0,1,2m l =

勒让德函数

精心整理在特殊函数中的应用 1作出0-4阶勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y0=legendre(0,x); y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); >> 2 >> >> 3 >> >> 4 >> text(3,0.5,'J_2(x)') text(4.2,0.4,'J_3(x)') text(5.1,0.4,'J_4(x)') >>text(6.5,0.4,'J_5(x)') Legendre函数 2007年12月13日星期四01:00 Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。 1.氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：

l=0,m=0，即s轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y0n=legendre(0,cos(t),'sch'); polar(t,y0n(1,:).^2); l=1,m=0,+1,-1即p轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y1n=legendre(1,cos(t),'sch'); （（而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。展开项系数称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（7.11）。称为阶。将式（7.13）左边利用二项式定理展开，有在上式中，含有的项只出现在含的项和以前各项中。在这些项中，将含的各项展成幂级数，并找出所有含的项，其系数合为

（7.13）时，求和中最低幂项是时，最低幂项是。（显示在区间〔－值得一提的式，Legendre方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为。其形式为等一般的形式是由于的对数形式，第二类Legendre函数在边界是无界的（并非全部）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。 Legnedre多项式的零点

北邮数理方程课件-第六章-Legendre多项式

第六章Legendre多项式 6.2 基础训练 6.2.1例题分析例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是 ?? 2 2 ?2u? Ze2 u=Eu 其中?,μ,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。解：先令A= 2 8π2μ ,B=Ze2，则Schrodinger方程可以简单写为 A?2u+B u+Eu=0 由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为 A[1 2 e e (r2 eu e )+ 1 2 e e (sinθ eu e )+ 1 22 e2u e2 ]+B u +Eu=0 令u(r,θ,?)=R(r)Y(θ,?)，代入上式得 AY 2d (r2 dR )+ AR 2 e e (sinθ eY e )+ AR 22 e2Y e2 +( B +E)RY=0 两边分别乘以r 2 ARY ，得 1 R d dr (r2 dR dr )+ r2 A ( B r +E)=? 1 Y sinθ e eθ (sinθ eY eθ )? 1 Y sin2θ e2Y e?2 要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l+1)，从而 d dr (r2 dR dr )+[ B A r+Er2?l(l+1)]R=0 即 1 r2d dr (r2dR dr )+[8π2μ ? 2 (Ze2 r +E)?l(l+1) r2 ]R=0（1）至于Y则满足球函数方程 1 sinθ e eθ (sinθeY eθ )+1 sinθ e2Y e? +l(l+1)Y=0（2）球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(θ,?)=Θ(θ)Φ(?)代入（2），并有周期条件，则得Φ满足 Φ′′+m2Φ=0（3）它的解是 Φm=A m cos m?+B m cos m?m=0,1,2,? Θ满足缔合勒让德方程 (1?x2)d2Θ dθ2?2x dΘ dθ +[l(l+1)?m2 1?x2 ]Θ=0（4）其中x=cosθ. 例2.证明：P n(1)=1,P n(?1)=(?1)n,P2n?1(0)=0,P2n(0)=(?1)n2n! 2n! .

作业四证明勒让德函数的正交性

作业四证明勒让德函数的正交性证明：（1）由勒让德方程0)1('2")1(2=++--y n n xy y x 即[(1?x 2)y ′]′+n n +1 y =0可得： 1?x 2 P m ′(x) ′+m m +1 P m x =0 [1] 1?x 2 P n ′(x) ′+n n +1 P n x =0 [2] 方程 1 ×P n ? 2 ×P m 在求其在-1到1上的积分可得： 1 ×P n ? 2 ×P m 1 ?1 dx = m m +1 ?n n +1 P n x P m (x)dx 1?1+ 1?x 2 P m ′ x ′P n 1?1 x dx ? 1?x 2 P n ′ x ′P m 1?1 x dx =0 1?x 2 P m ′ x ′P n 1?1 x dx = 1? x 2 P m ′ x P n x 1?1? 1?x 2 1?1P m ′ x P n ′(x )dx =? 1?x 2 1?1 P m ′ x P n ′(x )dx 同理可得： 1? x 2 P n ′ x ′P m 1?1 x dx =? 1?x 2 1?1P m ′ x P n ′(x)dx 故有： m m +1 ?n n +1 P n x P m (x)dx 1?1=0 当n m ≠时 P n x P m (x)dx 1 ?1=0 （2）的证明不妨先证明勒让德函数的递推公式之一： n +1 P n+1(x)? 2n +1 xP n (x)+nP n ?1(x)=0 由母函数：)(211 ),(02x P t t tx t x w n n n ∑∞==+-= ln w(x,t)=?12 ln(1?2xt +t 2) 对t 求导得： w ′(x,t)=?1?2x +2t 2=x ?t 2 即w x,t x ?t =w ′ x,t (1?2xt +t 2) 又母函数直接对t 求导得： w ′(x,t)= P n (x)t n ?1∞ n=1 n 带入上式可得：

14.2勒让德多项式的性质

Methods in Mathematical Physics 第十四章勒让德多项式
Legendre polynomial 武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University

第十四章勒让德多项式
Legendre polynomial
§14.2 勒让德多项式的性质
Properties of Legendre polynomial
在数学物理中，一个方法的成功，不是由于巧妙的谋略或幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理的某个方面。 ——O.G.沙顿。
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一、母函数关系式
1 1? 2x t + t
2
= ∑ Pl ( x )t l , t < 1 (1)
l =0
∞
§14.2 勒让德多项式的性质 + 4πε0
1
d
注：若w ( x, t ) = ∑ Fn ( x )t n
则称w ( x, t )为Fn ( x )的母函数
n
θ
M (r,θ ,? )
r
物理背景: 设在单位球北极置有电量为 4πε 0 的正电荷，则在 r < 1 内，任一点的电位 u 为： Δu = 0 , r < 1 令 u (r , θ ) = R(r )Θ(θ )
→
r 2 R′′ + 2rR′ ? l (l + 1)R = 0
2
(1 ? x )y′′ ? 2 xy′ + l (l + 1)y = 0, [x = cosθ , y(x ) = Θ(θ )]
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第六章习题解答与问题

第六章习题解答与问题一、习题解答 1．用最小二乘法求解超定方程组 3614 24135326 421x y x y x y x y +=?=+=+=???????解：超定方程组的矩阵形式为 ????????????=??????????? ????????14631124215342y x 将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组 ??????=??????????? ?6993493330y x 解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。 2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：时间t 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离S 0 10 30 50 80 110 在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。解：设物体运动的初速度和加速度分别为v 0和a ，初始时刻距离为0，则距离函数为 202 1)(at t v t S += 用后5个点的数据作曲线拟合 t 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 S 10 30 50 80 110 可得，v 0 = 10.6576，a = 4.6269 3．用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合 y A e B x =x 1 2 3 4 y 60 30 20 15 解：令 z = ln y ，则 z = ln A + Bx 。数据变换如下 x 1 2 3 4 z = ln y 4.0943 3.4012 2.9957 2.7081 由最小二乘法作线性拟合得，ln A = 4.4409，B = -0.4564。所以 A =84.8528。故，所求经难公式为 = 84.25 e – 0.4564 x 。 4 已知实验观测数据(x i ，y i ) ( i = 1，2，…，m )。令

勒让德函数

19.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i ）P ()n x 的n 个零点都是实的，且在)1,1(-内；（ii ）P ()n x 的零点与1P ()n x -的零点互相分离． 2奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换(),x x →-容易得到 P ()(1)P ()l l l x x -=- （19.2.1）即当l 为偶数时，勒让德多项式P ()l x 为偶函数，l 为奇数时P ()l x 为奇函数． 3勒让德多项式的正交性及其模作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同阶的勒让德多项式在区间[1,1]-上满足 1 2,1 P ()P ()d n l l n l x x x N δ-=? (19.2.2) 其中 , 1 ()0 ()n l n l n l δ=?=? ≠? 当n l ≠时满足 1 1 P ()P ()0 n l x x dx -=? ， (19.2.3) 称为正交性．相等时可求出其模 0,1,2,)l N l = (19.2.4) 下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明． 4 广义傅里叶级数勒让德方程属于施图姆－刘维尔型方程，故其本征函数：勒让德多项式 P ()(0,1,2,)l x l = 是完备的，可作为广义傅里叶级数展开的基．关于函数展开有下述定理定理19.2.1 在区间 [-1,1]上的任一连续函数()f x ,可展开为勒让德多项式的级数 ()P ()n n n f x C x +∞ ==∑ （19.2.5）其中系数 1121()P ()d 2n n n C f x x x -+=? (19.2.6) 在实际应用中,经常要作代换θcos =x ,此时勒让德方程的解为P (cos )n θ，这时有 (cos )P (cos ) n n n f C θθ+∞ ==∑ (19.2.7) 其中系数为 π 021(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+= ? （19.2.8） 19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例19.2.1 将函数 3 ()f x x =按勒让德多项式形式展开. 【解】根据（19.2.5）设3 00112233P ()P ()P ()P ()x C x C x C x C x =+++ 考虑到 P ()(1)P ()n n n x x -=-，由(19.2.6)显然有 020C C ==

勒让德函数

在特殊函数中的应用 1 作出0-4阶勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y0=legendre(0,x); y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x); plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1 ,:),'r:') >> legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre') >>（仿真结果） 2 作出二阶连带勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y=legendre(2,x); plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro') >> legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')

3 作出三阶连带勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:') >>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3') 4 作出整数阶贝塞尔函数的图形 >>clear y=besselj(0:5,(0:0.2:10)'); plot((0:0.2:10)',y) ylabel('j_v(x)')

xlabel('x') legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5') text(1,0.8,'J_0(x)') text(2,0.6,'J_1(x)') text(3,0.5,'J_2(x)') text(4.2,0.4,'J_3(x)') text(5.1,0.4,'J_4(x)') >>text(6.5,0.4,'J_5(x)') Legendre函数 2007年12月13日星期四 01:00 Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。 1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画： l=0,m=0，即s轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y0n=legendre(0,cos(t),'sch');

勒让德(legendre)多项式及其性质.doc

勒让德（legendre）多项式及其性质一．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的,所以我们首先引入勒让德方程,以及勒让德方程的幂级数解,勒让德方程的表达式如下：其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由达朗贝尔判别法可知,当不为整数时,这两个级数的收敛半径为1,在（1.3）式和（1.4）式中,与可以任意取值,它们起着任意常数的作用,显然,在区间（－1,1）内和都是方程（1.1）的解,所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛,此外级数是发散的。并且,我们发现,当取非负整数时,和中有一个便退化为次多项式,它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时,适当的选定这个多项式的最高次幂系数,所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数,记作,下面我们来推导勒让德多项式的表达式。 ①当为正偶数时退化为次多项式。为求得的表达式,在中我们通过来表示其它各项的系数。为此,将系数递推关系式改写成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取,得：（1.6）习惯上取为（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取,并利用之值得：（1.9）一般地,我们有（）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中,并把此时的记作,可得： 1 / 1

（1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。 ②当为正奇数时退化为次多项式,我们把记作,同理可得：（1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式,得（1.13）其中表示的整数部分由上述讨论可知,当为非负整数时,和中有一个是阶勒让德多项式,而另一个是无穷级数,记作,称为第二类勒让德函数,此时方程（1.1）通解为：（1.14）特别当时,由（1.11）和（1.12 ）式得：它们的图形如下：二．勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数（1.15）展开成的幂级数 1 / 1

勒让德多项式

课程设计报告

n阶勒让德(Legendre)多项式一、设计任务与目标 n阶勒让德(Legendre)多项式可以递归定义如下： (1) 输入n和x的数值，输出此时勒让德多项式的数值。例如输入2，1，应输出1/2。 (2)输入n的数值, 输出此时的勒让德多项式。例如输入2，应输出3/2 x2 - 1/2。本次上机实践所使用的平台和相关软件。平台：Windows xp 相关软件：VC6.0 二、方案设计与论证对于这个题目，我分析了一下，第一问是要求我要用递归方法去求最终的值，所以我在程序中编写了子函数treat，并在主函数main中调用，在子函数中不断调用自己本身。第二问，由于不能按照常规来做，只能够想一些特别的方法，例如：利用字符串输出，但这种方法不行。经老师提醒，先做好这个表达式的每一项的情况，然后再将他们整合输出，于是我选择了这个方法并向着这个方向去做，后来在网上找了相关的资料，我发现了这么一条公式：，这一条公式可以求出表达式的每一项，我利用四个数组，第一个数组是记录的结果；第二个数组是记录约简后的结果；第三个数组是记录约简后的结果；第四个数组是记录的结果。最后输出每一项并整合最终的结果。在计算之前，我采用了没有约简的方法去做，结果数值超出了我设定的int型数据的范围，导致我只能够输出n=6的情

况，n=7输出错误。后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8的情况。接着我采用了double型，结果能输出n=10的情况，但是在运行的过程中发现，输出很慢。三、程序框图或流程图，程序清单与调用关系第一问如图一所示：图1 — 递归调用流程图 Y Y N N 开始输入n x n=0 ? n=1? 返回 1 返回 1 递归调用treat() 输出结果结束第二问如图二所示： Y N 开始输入 n m = 0 m﹤n/2 ? 输出整合的结果

勒让德(legendre)多项式及其性质教案资料

勒让德( l e g e nd r e ) 多项式及其性质

勒让德（legendre ）多项式及其性质勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下： 2 '' （1 x 2）y 2xy 它的幕级数解如下： y y 1 y 2 ( 1.2) 其中: 由达朗贝尔判别法可知，当n 0不为整数时，这两个级数的收敛半径为 1,在（1.3）式和（1.4）式中，a o 与a 1可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（一 1， 1）内y 1 和y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1 ）的通解。上面（1.3）和（1.4）幕级数当|X| 1时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当n 取非负整数时，y 1和y 2中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1 ）在闭区间［-1,1］上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数 a n ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作 P n x ，下面我们来推导勒让德多项式 R X 的表达式。 ①当n 为正偶数时 %退化为n 次多项式。为求得P n X 的表达式，在％中我们通过a n 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： a （k 2）（k 1） a k （k n ）（k n 1） k 2 （1.5 ）在（1.5）式中取k n 2，得：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 n （n 1）y 0其中n 为非负实数（i.i ） y 2 2k y i a 2k X k 0 a 2k 2k 1 1 X a o [1 a[x n(n 1) x 2 X 2! n(n 2)(n 1)(n 3)x X 4! (1.3) (n 1)(n 2)X 3 ?v 3! (n 1)n 3)(n 2)(n 4), ?v 5! ］（1.4）

工程数学2012-CH10-勒让德多项式和球谐函数

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