同济大学 大学物理 上学期 (4)
刚体转动的问题
Ξ
朱 青(广东教育学院物理系,广东广州510310)
摘 要:在大学物理“刚体转动问题”一章的讲授过程中,由于中学物理未涉及此内容,学生学习难度较大,因此在讲解和应用角动量、角动量守恒定律时,应注意的问题。关键词:刚体定轴转动;角动量;角动量守恒
中图分类号:G 64210 文献标识码:A 文章编号:100721792(2004)0320013202在大学物理学教材中质点、刚体若对于某固定点或转轴的合力矩为0,则质点、刚体对同一点、同一转轴的角动量不随时间变化,质点、刚体对同一点、同一转轴的角动量守恒[1,2]。在具体分析时应注意以下问题:
(1)角动量守恒时,动量未必守恒。即外力矩的矢量和为0,并不要求外力的作用相互抵消,此时∑F 可以不等于0,即动量未必守恒。
如:一长为l 的均匀棒,质量m ,可绕支点O 在竖直平面内无摩擦自由转动,开始时棒静止在竖直位置,在同一悬挂点O ,有长为l 的轻绳悬一小球,质量m ,现将小球在竖直平面内偏离竖直位置方向某一角度时,然后使其自由摆下与棒发生弹性碰撞,结果使棒的最大偏角为π/3,求小球最初被拉开的角度θ。
解题目的是正确分析与区别动量守恒和角动量守恒条件,明确分段解题基本方法。
第一阶段:研究对象为小球和地球,因为此过程仅有重力做功,机械能守恒,设v 为小球碰撞前速度
mgl (1-cos θ
)=mv 2/2(1) 第二阶段:研究对象为小球和棒,在碰撞过程中因为过程极为短暂,可认为棒的位置来不及变化,所以小球和棒受的重力对O 无力矩,轴的支持力无力矩,对定轴O 的角动量守恒,小球与棒系统在碰撞过程中动量并不守恒,因为小球与棒碰撞过程中还受轴的作用力,这力是冲击力,它与小球和棒相互作用的内力相比是不能忽略的。由于这力对此系统来说是外力,所以此系统动量不守恒。设小球碰撞后速度v ′,棒碰撞后角速度ω。
因为对定轴O 的角动量守恒。
mvl =mv ′l +ml 2ω/3(2)
又因为是弹性碰撞,所以机械能守恒mv 2/2=mv ′2/2+1/2×(ml 2/3)ω
2(3) 第三阶段:碰撞后棒上升过程,研究对象为棒和地球,机械能守恒
Ξ收稿日期:2004-03-04
作者简介:朱 青(1959年生),女,副教授.
中山大学学报论丛,2004年第24卷第3期
SUN Y ATS EN UNIVERSITY FORUM ,V ol 124 N o 13 2004
1/2×(ml 2/3)ω2=mgl (1-cos π/3)/2(4)
解上述方程得:cos θ=2/3
(2)角动量守恒时,机械能未必守恒,此时可以允许有机械能与非机械能的转换。例如常见的茹可夫基演示凳实验,将人体视为刚体组,各部分的角速度都相同,而整体对于转轴的转动惯量是可变的。当合外力矩等于0时,如果整体相对于转轴的转动惯量发生变化,则角速度也必定改变,而转动惯量与角速度的乘积保持恒定。当人在转台上,手握重物,两臂张开时,其转动惯量为J 1,角速度ω1,若将两臂曲至胸前,其转动惯量减小为J 2,角速度将增大到ω2。外力矩的矢量和为0,角动量守恒,所以J 1ω1=J 2ω2但因ω2>
ω1,所以J 1ω21/2 这时由于将重物拉向胸前时,人消耗了内能,而由向心力作了功,出现了非机械能与机械能之间的转换,所以系统的总机械能增大了,因此机械能并不守恒。 (3)在刚体绕定轴转动时,应用角动量守恒定律时,角动量、角速度、转动惯量必须相对于同一个转轴。 (4)在刚体绕定轴转动时,将角动量守恒定律应用于刚体组,刚体组中的各个刚体之间可以发生相对运动,但是它们必须是相对同一转轴在转动,并且任意瞬间它们都具有相同的角速度。 (5)学生往往对刚体绕定轴转动时角动量、角动量守恒定律写成标量形式不理解,老师上课时要强调一般情况下是对应于某点的外力矩矢量和不等于0,但绕某轴的外力矩投影的代数和为0时,则绕这轴的角动量投影守恒,所以刚体绕定轴转动时角动量守恒是角动量投影守恒,而总角动量未必守恒。而角动量是矢量,但在刚体绕固定轴转动的情况下,角动量矢量的方向是沿着转轴的,即只可能是两种指向之一,所以不宜写成矢量。 (6)力矩和角动量都是对惯性系内某一固定参考点而言的,所选取的参考点不同,力矩和角动量的大小、方向也不同。因此,对某一参考点角动量守恒时,对另一参考点角动量未必守恒。例如一圆锥摆悬挂于A 点,摆球绕以O 点为园心,半径为r 的水平圆周运动,摆的悬线长为l 。以O 点为参考点,摆球所受两个力重力、绳子的拉力,这两力矩大小相等方向相反,合力矩等于0。因此对O 点,圆锥摆角动量守恒。以A 点为参考点,拉力的力矩为0,而重力的力矩不等于0,合外力矩不为0,系统的角动量不守恒。 (7)在实际问题中,有时∑r ×F 外=0不能严格成立,但若外力的冲量矩远小于内力的冲量矩时,角动量守恒定律可以近似地适用。在打击、碰撞过程中常出现这种情况。 (8)角动量守恒定律在质心参考系中同样适用,因为在质心参考系,质点组角动量定理与在惯性系中有相同的形式。例如在原子核物理学中,就常用质心系来研究粒子间的碰撞或散射问题。在研究跳水运动时,可应用角动量守恒定律来分析运动员绕质心的转动。参考文献: [1] 刘克哲.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,2002. [2] 中国物理学会教育学院分委员会.基础物理专题分析[M].福州:福建科学技术出版社,1992. (责任编辑:张楚民) ?41? 第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 一 质 点 运 动 学 知识点： 1． 参考系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。 2． 位置矢量与运动方程 位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。位矢用于确定质点在空间的位置。位矢与时间t 的函数关系： k ?)t (z j ?)t (y i ?)t (x )t (r r ++== 称为运动方程。 位移矢量：是质点在时间△t 内的位置改变，即位移： )t (r )t t (r r -+=?? 轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。 3． 速度与加速度 平均速度定义为单位时间内的位移，即： t r v ?? = 速度，是质点位矢对时间的变化率： dt r d v = 平均速率定义为单位时间内的路程：t s v ??= 速率，是质点路程对时间的变化率：ds dt υ= 加速度，是质点速度对时间的变化率：dt v d a = 4． 法向加速度与切向加速度 加速度 τ?a n ?a dt v d a t n +== 法向加速度ρ=2 n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。 切向加速度dt dv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。 在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dt d θ = ω 角加速度 dt d ω= β 而R v ω=，22 n R R v a ω== ，β==R dt dv a t 5． 相对运动 对于两个相互作平动的参考系，有 ''kk pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a += 重点： 1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的 物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。 2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。 3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。 难点： 1．法向和切向加速度 2．相对运动问题 三、功和能 知识点： 1. 功的定义 质点在力F 的作用下有微小的位移d r （或写为ds ），则力作的功定义为力和位移的标积即 θθcos cos Fds r d F r d F dA ==?= 对质点在力作用下的有限运动，力作的功为 ? ?=b a r d F A 在直角坐标系中，此功可写为 ???++=b a z b a y b a x dz F dy F dx F A 第5章 静电场 一、选择题 1. 关于电场线, 以下说法中正确的是 [ ] (A) 电场线一定是电荷在电场力作用下运动的轨迹 (B) 电场线上各点的电势相等 (C) 电场线上各点的电场强度相等 (D) 电场线上各点的切线方向一定是处于各点的点电荷在电场力作用下运动的加速度方向 2. 高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò, 说明静电场的性质是 [ ] (A) 电场线是闭合曲线 (B) 库仑力是保守力 (C) 静电场是有源场 (D) 静电场是保守场 3. 根据高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò，下列说法中正确的是 [ ] (A) 通过闭合曲面的电通量仅由面内电荷的代数和决定 (B) 通过闭合曲面的电通量为正时面内必无负电荷 (C) 闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定 (D) 闭合曲面上各点的场强为零时, 面内一定没有电荷 4. 高斯定理成立的条件是 [ ] (A) 均匀带电球面或均匀带电球体所产生的电场 (B) 无限大均匀带电平面产生的电场 (C) 高斯面的选取必须具有某些简单的对称性 (D) 任何静电场 5. 将点电荷Q 从无限远处移到相距为2l 的点电荷＋和－q 的中点处, 则电势能的增加量为 [ ] (A) 0 (B) l q 0π4ε (C) l Qq 0π4ε (D) l Qq 0π2ε 6. 下面关于某点电势正负的陈述中, 正确的是 [ ] (A) 电势的正负决定于试探电荷的正负 (B) 电势的正负决定于移动试探电荷时外力对试探电荷做功的正负 (C) 空间某点电势的正负是不确定的, 可正可负, 决定于电势零点的选取 (D) 电势的正负决定于带电体的正负 7. 由定义式?∞ ?=R R l E U ρρd 可知 8. 静电场中某点电势的数值等于 [ ] (A) 试验电荷q 0置于该点时具有的电势能 (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能 (C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能 (D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所做的功 9. 在电场中有a 、b 两点, 在下述情况中b 点电势较高的是 同济大学大学物理下册答案（缺11章） 第九章 热力学基础解答 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热； 做功； 其温度的改变量； 过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74 ? 6．等压； 绝热； 等压； 绝热 7．卡诺； %25 8．320K ； 3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：01=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：02=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴ J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：03=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴ J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2． 解：γ γ C C B B V p V p = ， 3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p = ； 从状态方程 RT M m pV = 可知 C A T T = 因此在全过程 C B A →→中， 0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有 大学物理要点提示 第一章 （1）不同参照系中速度的关系完全等同于矢量的合成关系，矢量下标的 封闭等同于矢量相加的三角形法则。 D B CD A C A B r r r r ++= 如图 将上式两边微分 D B CD AC AB r d r d r d r d ++= 则dt r d dt r d dt r d dt r DB CD AC AB ++=d 即D B CD AC AB V V V V ++= A B C D 第二章 由于有运动的绝对性和相对性，所以牛顿第二定律的出现就伴随着非惯性系的出现。 并且牛顿第一定律就是针对惯性系成立的，当物体的运动轨迹是空间的固定曲线时，就用自然坐标系描述，此时它的加速度有切向分量和法向分量。在求解牛顿方程时，一定要使方程两边各有一个变量： 如kx dt dv m -=一定要将dt dv 变成v dx dv ? 又KQ dt dw m =要将dt dw 变成W dQ dW dt dQ dQ dW =? 1.必须记住w 与转向的关系，这样就能记住F r M ?=的定义理由 由t d v d m F =两边叉乘r 则dt r d dt v d m r F r )(ρ ?=?=? 即dt W d J dt L d M == 2.要充分利用转动惯性量的平行轴定理和垂直轴定理。 3.计算转动惯量就是要找出dJ 与dm r i 2的关系，尤其是i i r dm 与的关系。 依次类推 面计算dq dE dq du 与，与的关系时，也是找出i r dq 与的关系。 1.伽利略变换是洛仑兹变换的极限情况，因此用伽利略变换可帮助辨析洛仑兹变换的正确性。 2.在相对论中的“长度缩短”和“时钟延缓”都只具有相对意义，即B看到或感到A的“长度缩短”或“时钟延缓”A也会看到或感到B 的“长度缩短”和“始终延缓”。 《大学物理上》重要知识点归纳 第一部分 （2012.6） 一、简谐运动的运动方程： x Acos( t ) 振幅 A:A x 02 (v 0 )2 角频率 ：反映振动快慢，系统属性。 初相位 : 取决于初始条件 2 2 k T m 二、简谐运动物体的合外力： F kx （k 为比例系数 ） 简谐运动物体的位移： 简谐运动物体的速度： 简谐运动物体的加速度： x Acos( t ) v Asin( t ) a 2 A cos( t ) 三、旋转矢量法（ 旋转矢量端点在 x 轴上投影作简谐振动） 矢量转至一、二象限，速度为负 A x o 矢量转至三、四象限，速度为正 x 四、振动动能： E k 1 mv 2 1 kA 2 sin 2 ( t ) 2 2 振动势能： E p 1 kx 2 1 k A 2 cos 2 ( t ) 2 2 振动总能量守恒： E E k E p 1 k A 2 2 五、平面简谐波波函数的几种标准形式： y Acos [ (t x ) o ] A cos [ t 2 x o ] u 0 ：坐标原点处质点的初相位 x 前正负号反应波的传播方向 六、波的能量 不守恒！ 任意时刻媒质中某质元的 动能 ＝ 势能 ！ a,c,e,g点:能量最大！ b,d,f 点:能量最小！ 七、波的相干条件： 1. 频率相同； 2. 振动方向相同； 3.相位差恒定。 八、驻波：是两列波干涉的结果 波腹点：振幅最大的点波节点：振幅最小的点 相邻波腹 (或波节 )点的距离： 2 九、电场的高斯定理 真空中：介质中：电位移： 1 q E dS S ( S内) D dS q0q0：自由电荷 S(S内) D0r E 电极化强度： P ( r 1) 0 E 十、点电荷的电场：球对称性！方向沿球面径向。 q 点电荷 q 的电场 : E( r ) 2 4 0 r 点电荷 dq 的电场：dE(r )dq 2 4 0r 十一、无限大均匀带电平面（两侧为匀强电场） E E E E 2 0 2 0 2 0 2 0 同济大学大学物理下册答案（缺11 12章） 第九章 热力学基础解答 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热； 做功； 其温度的改变量； 过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74? 6．等压；绝热；等压；绝热 7．卡诺； %25 8．320K ；3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：0 1=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：0 2=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：0 3=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2．解：γγ C C B B V p V p =，3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p =；从状态方程RT M m pV =可知C A T T = 因此在全过程C B A →→中，0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有 高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o 习题答案 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 【计算机/网络/信息】 o o o o 【经济/金融/营销/管理/电子商务】 o o o o o o o o o o o o 【 o o o o o 【篇二：各门课程课后答案】 式]《会计学原理》同步练习题答案 [word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [word格式]《实用成本会计》习题答案 [word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案 [word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎） [pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） 普通物理（下）学习总结 第九章——热力学基础 章节概述：热力学整章的重点在于理想气体动态方程、热力学两大定律在各种状态下的应用以及卡诺定理用来计算各种热机的效率。 1、 开尔文温度和摄氏温度的换算。t=T-273.15 2、 平衡状态、准静态过程和非静态过程的区别。对于一个孤立系统而言，如果其宏观性质 经过充分长的时间后保持不变，即系统的状态参量不再随时间改变，此时系统属于平衡态。而如果系统在变化过程中，每一个中间状态都无线接近于平衡态，则称之为准静态过程。 3、 理想气体的状态方程：注意玻尔兹曼常量和斯密特常量的定义。 4、 焦耳的实验，定义了热功当量。如用做功和传热的方式使系统温度升高相同时，所传递 的热量和所做的功总有一定的比例关系，即1卡热量=4.18焦耳的功可见，功与热量具有等效性。做功与传热虽然有等效的一面，但本质上有着区别。做功：通过物体作宏观位移完成。作用是机械运动与系统内分子无规则运动之间的转换。从而改变内能。传热：通过分子间相互作用完成。作用是外界分子无规则热运动与系统内分子无规则热运动之间的转换。从而改变了内能。 5、 对微小过程，即准静态过程，dW dE dQ += 6、 等温等压过程、绝热过程、多方过程中热力学第一定律的应用。 7、 热循环、制冷机与热机的关系、卡诺循环及其效率的计算。 8、热力学第二定律的两种表述（克劳斯修表述和开尔文表述）。开尔文表述（开氏表述）： 不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其它变化。克劳修斯表述（克氏表述）：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。 第十章——气体动理论 章节概述：本章主要讲述了气体动理论的两个基本公式——压强公式和能量公式，理解分子热运动的原理，能够理解热力学第二定律和熵的意义。在本章中还大量地运用了统计规律来对分子的热运动进行分析，即通过对微观物理量求统计平均值的方法得到宏观物理量。 1、自然界的一切宏观物体，无论是气体、液体亦或是固体，都是由大量分子或原子构成。分子间存在相互作用力。构成物质的分子处于永恒的、杂乱无章的运动之中。 2、理想气体的压强公式和气体温度的微观实质。气体的温度其实标志着气体内部分子无规则热运动的剧烈程度，代表了气体分子的平均平动动能。 3、刚性分子的自由度。 多原子分子 3 3 6 内能公式为。 y 第一章 质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r 第一章 质点运动学 班号 学号 姓名 日期 一、 选择题 1． 一个质点在Oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r 2252 （SI ），则该质点 作 （A ）匀速直线运动； （B ）变速直线运动； （C ）抛物线运动； （D ）一般曲线运动。 （ B ） 2．一个质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程， 表示曲线的切线方向。下列几个表达式中，正确的表达式为C （A ）a t d d v ； （B ）v t r d d ； （C ） v t s d d ； （D ） a t d d v 。 （ C ） 3．沿直线运动的物体，其速度的大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是 （A ）与速度大小成正比； （B ）与速度大小的平方成正比； （C ）与速度大小成反比； （D ）与速度大小的平方成反比。 （ B ） 4．下列哪一种说法是正确的 (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C) 物体作曲线运动时，速度的方向一定在运动轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零；因此其法向加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。 （ D ） 5． 如图所示，路灯距离地面高度为H ，行人身高为h 以匀速v 背向路灯行走，则人头的影子移动的速度为 (A) v H h H ； （B ）v h H H ； (C ） v H h ； （D ） v h H 。 （ B ） 6．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时 的速度为 t v ，那么它运动的时间是 (A) g t 0v v ； (B) g t 20v v ； (C) g 2120 2 t v v ； (D) g 2120 2 t v v 。 选择题5图 o x B r ? A r B r y A r ? s ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 22r r x y ==+ 运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，22r x y =?+?△ 路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 第一章 质点运动学 班号 学号 姓名 日期 一、 选择题 1． 一个质点在Oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r 2 252-=（SI ），则该质点 作 （A ）匀速直线运动； （B ）变速直线运动； （C ）抛物线运动； （D ）一般曲线运动。 （ B ） 2．一个质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，τ表示曲线的切线方向。下列几个表达式中，正确的表达式为C （A ） a t =d d v ； （B ）v =t r d d ； （C ） v =t s d d ； （D ）τa =t d d v 。 （ C ） 3．沿直线运动的物体，其速度的大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是 （A ）与速度大小成正比； （B ）与速度大小的平方成正比； （C ）与速度大小成反比； （D ）与速度大小的平方成反比。 （ B ） 4．下列哪一种说法是正确的 (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C) 物体作曲线运动时，速度的方向一定在运动轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零；因此其法向加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。 （ D ） 5． 如图所示，路灯距离地面高度为H ，行人身高为h 匀速v 背向路灯行走，则人头的影子移动的速度为 (A) v H h H -； （B ）v h H H -； (C ） v H h ； （D ） v h H 。 （ B ） 6．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为 t v ，那么它运动的时间是 (A) g t 0v v -； (B) g t 20 v v -； 选择题5图 第一章 质点运动学习题 1-4一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4.（SI ） (式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．) (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移； (3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，并计算t ＝4 s 时质点的速度； (5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 解：（1）质点位置矢量 21 (35)(34)2 r xi yj t i t t j =+=+++-m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 211 [(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==?++?+?-=- 221 [(325)(2324)](114)2 t s r i j m i j ==?++?+?-=+m 21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==?=-=+--=+ (3) ∵ 202 41 [(305)(0304)](54)2 1[(345)(4344)](1716)2 t s t s r i j m i j m r i j m i j m ===?++?+?-=-=?++?+?-=+ ∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404 t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-?+--===?=+??- (4) 21d d 1 [(35)(34)][3(3)]m s d d 2 r t i t t j i t j t t -= =+++-=++?v 则 14[3(43)](37)t s v i j m s i j -==++?=+ 1s m -? (5)∵ 1104(33), (37)t s t s v i j m s v i j m s --===+?=+? ∴ 2241(37)(33) m s 1m s 44 t s t s v v v i j i j a j t --==-?+-+===?=?? (6) 2d d [3(3)]1m s d d v a i t j j t t -= =++=? 第1章 质点运动学 一、选择题 1. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的t d d v 和t d d v 的变化情 况为 [ ] (A) t d d v 的大小和t d d v 的大小都不变 (B) t d d v 的大小改变, t d d v 的大小不变 (C) t d d v 的大小和t d d v 的大小均改变 (D) t d d v 的大小不变, t d d v 的大小改变 2. 一质点在平面上作一般曲线运动, 其瞬时速度为v , 瞬时速率为v , 平均速度为v , 平均速率为v , 它们之间的关系必定为 [ ] (A) v v = v v = (B) v v ≠ v v = (C) v v ≠ v v ≠ (D) v v = v v ≠ 3. 下面各种判断中, 错误的是 [ ] (A) 质点作直线运动时, 加速度的方向和运动方向总是一致的 (B) 质点作匀速率圆周运动时, 加速度的方向总是指向圆心 (C) 质点作斜抛运动时, 加速度的方向恒定 (D) 质点作曲线运动时, 加速度的方向总是指向曲线凹的一边 4. 一抛射物体的初速度为0v , 抛射角为θ, 如图所示．则该抛物线最高点处的曲率半径为 [ ] (A) ∞ (B) 0 (C) g 20v (D) θ22 0cos g v 5. 质点作曲线运动, r 表示位置矢量的大小, s 表示路程, a 表示加速度大小, 则下列各 式中正确的是 [ ] (A) a t =d d v (B) v =t r d d (C) v =t s d d (D) a t =d d v 6. 质点作变速直线运动时, 速度及加速度的关系为 [ ] (A) 速度为0, 加速度一定也为0 (B) 速度不为0, 加速度也一定不为0 (C) 加速度很大, 速度也一定很大 (D) 加速度减小, 速度的变化率也一定减小 7. 一质点在平面上运动, 已知质点位置矢量的表示式为j t b i t a r 2 2+=(其中a 、b 为 常量) , 则该质点作 [ ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物曲线运动 (D) 一般曲线运动 8. 一质点在xOy 平面内运动, 其运动方程为Rt t R x ωω+=sin , 大学物理上知识点整理 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状 大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 ?固体间的静摩擦力：（最大值） ?固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或?。 4、万有引力： ?特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 ?式中R为地球半径，M为地球质量。 ?在地球上方（较大），。 ?在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律?牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第3章机械能和功 一、功 《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωωR ωt ωR ωv +-=2 cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ， t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单 位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== 2221 n t a a a t =-= + 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 2d t g a = + 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力：（最大值） 固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或。 4、万有引力： 特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大），。 在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。 变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第3章机械能和功 一、功 1、功能的定义式： 恒力的功： 变力的功： 2、保守力 若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关 大学物理上下期末复习大纲（知识点汇总） 第一章质点运动学 1 第二章质点动力学 2 第三章刚体动力学 3 第四、五章机械振动和机械波 4 1机械振动 4 2机械波5 第七章热学现象的宏观解释 6 第八章静电场（是保守力场） 第九章电磁感应 第十一章波动光学 第一章质点运动学 教学要求： 1．质点平面运动的描述，位矢、速度、加速度、平均速度、平均加速度、轨迹方程。2．圆周运动，理解角量和线量的关系，角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度。主要公式： 1．质点运动方程（位矢方程）： 参数方程： 2．速度： 3．加速度： 4．平均速度： 5．平均加速度： 6．角速度： 7．角加速度： 8．线速度与角速度关系： 9．切向加速度： 10．法向加速度： 11．总加速度： 第二章质点动力学 教学要求： 1．牛顿运动三定律及牛顿定律的应用。 2．常见的几种力。 3．质点的动量定理、质点系的动量定理和动量守恒定律。4．质点的动能定理，质点系的动能定理、机械能守恒定律。5．变力做功。 6．保守力做功的特点。 7. 机械能守恒定律，功能原理 8. 角动量、角动量守恒定律 主要公式： 1．牛顿第一定律：当时，。 2．牛顿第二定律： 3．牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）： 4．动量定理： 5．动量守恒定律： 6. 动能定理： 变力作功： 7．机械能守恒定律：当只有保守内力做功时， 8．角动量： 角动量守恒定律：当合外力矩 第三章刚体动力学 教学要求： 1．刚体的定轴转动，会计算转动惯量。 2．刚体定轴转动定律和角动量守恒定律。 主要公式： 转动惯量：是转动惯性大小的量度. 与三个因素有关:(刚体质量,质量分布,转轴位置.) 平行轴定理： 转轴过中心转轴过边缘直线 圆盘 3．转动定律： 4．角动量： 5．角动量守恒定律：当合外力矩 质点平动刚体转动 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 1 - 2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即 (1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变 *1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v 0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( ) (A) 匀加速运动,θ cos 0 v v = (B) 匀减速运动,θcos 0v v = (C) 变加速运动,θ cos 0 v v = (D) 变减速运动,θcos 0v v = (E) 匀速直线运动,0v v = 第七章 电流与磁场解答 一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C 二、填空题 1．不变； 增大 2．T 1014.33-? 3．0 4．沿Ox 轴； 沿Oy 轴正向； 在oxy 平面内与Ox 轴正向成?30角 5．1 6．R F m e e 1 7．IaB 8．π 4 三、计算题 1．解：电流强度为π ω λπ22? =R I ，按圆电流轴线上磁场的公式，轴线上距圆心为x 处的磁感应强度为 2 3 22 30) (2x R R B B x +==λω μ， 方向沿Ox 轴正向。 圆心处0=x ，2 00λω μ==x B B 2．解：电流密度) (2 2r R I -= πδ （1）O '处磁感应强度为 a δB ?=012 1 μ ， 2=B a δB B ?==∴'012 1 μo （2）空腔内任一点的磁感应强度为 1r δB ?=0121 μ 2022 1 r δB ?-=μ δr r δB B B 21?=-?=+=00212 1 )(21μμ 由此结果可知空腔内任意点P 处磁感应强度与空腔轴线上O '处磁感应强度相同，因此空腔 内为均匀磁场。 3．解：在圆环上取电流元I 1d l ，受力为B l F ?=d d 1I 其方向如图所示，其大小为θθ πμθπθμd cos 2cos 2d d d 2102101I I R R I I B l I F == = θcos d d F F x =，θsin d d F F y = 21020210cos d cos 2d I I I I F F x x μθ θ θπμπ== =?? ()[]0cos ln 2cos d sin 2d 2021020210=-===??π πθπ μθθθπμI I I I F F y y 所以安培力的大小为210I I F F x μ== 方向沿Ox 轴正向 4．解： 按运动电荷的磁场公式3 04r q r B ?= v πμ，A 处质子以a v 运动时，在B 处激发的磁场为2 045sin 4r q B ? = a v πμ，方向垂直纸面向外。 位于B 处的质子所受洛仑兹力的大小为 N 1062.345sin 445sin 490sin 19 2 2020-?=?=?==?=r q r q q B q B q F b a a b b b m v v v v v v πμπμ方向垂直于b v 与B 构成的平面，故在纸面上，其指向与r 的延长线构成?45角。 因为质子带有正电荷，它要激发电场，在电场中的质子同时要受到电场力的作用，所以在B 处质子还同时受到A 处质子所激发电场的电场力作用。 第八章 电磁感应与电磁场解答 一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 二、填空题 1．B ?v 2． b a b a I -+?ln 20πμv 3． t a r I ωπμcos 220； t Ra r I ωωπμsin 22 0 4．()d d a I +ln 200πμv ； 2 22020ln 4??? ??+d d a R I πμv ； 指向左方 5．J 6.9 6．4 105-?Wb 7．RC t RC E r --e 002επ； 相反 8．2 ； 3 ； 1 x I 1大学物理课后习题答案详解
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