a ，且1≠a )的图像必经过点 9.（1）函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f +=?，且()643=f ，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值. （2）函数)(x f 满足：对任意的实数b a ,，都有,2)1(),()()(=?=+f b f a f b a f 且则)3()0(f f += 10.作出函数 x y 3=的图像并求值域 若函数 ()11x m f x a =+ -是奇函数，则m =__________ 12.若函数 )10(1)(≠>-+=a a b a x f x 且的图像经过第二、三、四象限，则一定有 （ ） A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且 13.函数b x a x f -=)(的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><幂级数概念
§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).
10函数项级数和幂级数 习题课
111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在
幂级数运算
§11-3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321 +++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数 如: +++++=-∞ =-∑121 11n n n x x x x +++++=+∑∞ =nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 2101 2. 收敛性 I x ∈?0，(1)成为)2() (1 0∑∞ =n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞ =1 0)(n n x u 收 敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞ =1 0)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛 点的全体；发散域：发散点的全体. 3.和函数 123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++ ，∈?x 收敛域 ()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞ = ()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有 .0)(lim =∞ →x r n n 210 1n n n x x x x ∞ -==+++ ++ ∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x = - 二、幂级数及其收敛性 1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞ =0n n x ，∑ ∞ =0 !1n n x n 等等。 2 010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-+ +-+ 取 00n n n x x t a t ∞ =-=?∑
高等数学(二)-模拟题
《高等数学》模拟题 一.单选题 1.设五次方程有五个不同的实根,则方程 最多有()个实根. A.5 B.4 C.3 D.2 [答案]:B 2.函数在点处连续是在该点处可导的() A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 C.充要条件 D.无关条件 [答案]:A 3.设函数,则在点处(). A.连续但不可导 B.连续且 C.连续且 D.不连续 [答案]:B 4.设,则=(). A.3 B.-3 C.6 D.-6 [答案]:D 5.已知函数,则在处
A.导数 B.间断 C.导数 D.连续但不可导 [答案]:D 6.设函数可导且下列极限均存在,则不成立的是(). A. B. C. D. [答案]:C 7.点是函数的(). A.连续点 B.第一类非可去间断点 C.可去间断点 D.第二类间断点 [答案]:C 8.设,要使在处连续,则a=(). A.0 B.1 C.1/3 D.3 [答案]:C
9.(). A. B. C.0 D.1/2 [答案]:A 10.(). A.1/3 B.-1/3 C.0 D.2/3 [答案]:C 11.(). A. B.不存在 C.1 D.0 [答案]:C 12.如果与存在,则(). A.存在且 B.存在但不一定有 C.不一定存在 D.一定不存在
13.若函数在某点极限存在,则(). A.在的函数值必存在且等于极限值 B.在的函数值必存在,但不一定等于极限值 C.在的函数值可以不存在 D.如果存在则必等于极限值 [答案]:A 14.当时,()是与sin x等价的无穷小量. A. B. C. D. [答案]:C 15.,若存在,则必有(). A., B., C., D.为任意常数, [答案]:D 16.函数在点处有定义,是在该点处连续的(). A.充要条件 B.充分条件
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 §1 复数项级数 §2 幂级数 23521 24221 1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1() 2!4!2!1() 2!! n n n n n n z z z z z z z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数 一、选择题： 1．下列级数中绝对收敛的是 [ ] （Ａ）1 1(1)n i n n ∞ =+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞ =-∑ 2．若幂级数 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ] （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 () 122i Abel += >，由定理易得 3．幂级数1 0(1)1 n n n z n ∞ +=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln 1z + （D ） 1ln 1z - ' 100 ' 110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++?????????? --==+ ???+++???? ∑∑∑∑?? 二、填空题：
浅谈幂级数展开式的应用
摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一．基本知识 (2) 1.1．幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二．幂级数的和函数 (3) 三．幂级数的展开 (4) 四．幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)
幂级数展开式的应用 摘要 在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。 关键词 幂级数；展开式；应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati
高阶方程的降阶法幂级数解法
1 / 3 4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质. 3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向， 质点运动加速度为22dt d m l ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 22l g dt d -=. 下面考察如下柯西问题：??sin 22l g dt d -=，0)0(',)0(0==???. （2）令dt d v ?=，下面导出? d dv ，由??d dt dt dv d dv ?=知，dt d d dv dt dv dt d ???? ==22. 于是原方程化为 ??sin l g v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得 C l g v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-± =l g v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到 )cos (cos 20???-±=l g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形： )cos (cos 20???--=l g dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000 -=-=-??? ? ???，特别地令?---=000 0cos cos 2????? d g l T ，
3幂级数展开 (1)
第三章幂级数展开 函数有精确表示和近似表示： 精确表示（解析表示） 表示为初等函数通过四则运算； 近似表示： 逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。
函数级数表示的意义： 利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程； 以级数作为函数的定义； 奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数 （一）复数项级数的概念 ++++=∑∞ =k k k w w w w 210 k k k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞=+=+=0 k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞ =0 k k w ∑∞ =0k k u ∑∞ =0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。
（二）收敛性问题 1、收敛定义： 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时， , 1 ε<∑++=p n n k k w ,0∑==n k k n w S 前n+1项和 当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在， 则称级数发散。 n n S S ∞ →=lim
3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛. ∑ ∑ ∞ =∞ =+=1 220 ||k k k k k v u w ∑∞ =0 k k w , ,0 B q A p k k k k ==∑∑∞ =∞ =AB c q p q p n n k l l k k k k k ===?∑∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞=∞=0 00 ∑-=n k n k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之 积.
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
微分方程的幂级数解法
微分方程的幂级数解法 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。
求一阶微分方程（1）满 足初始条件的特解，其中函数 f (x , y)是、的多项式： . 这时我们可以设所特解可展开为 的幂级数 (2） 其中是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式 两端的同次幂的系数，就可定出常数 , 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件 的特解。 例1求方程满足的特
解。 解这时，故设 ， 把及的幂级数展开式代入原方程，得 由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 。 关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理： 定理如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在－R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么
在－R＜x＜R内方程（3）必有形如 的解。 例 2 求微分方程的满足初始条件 , 的特解。 解这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级 数（4） 由条件得。对级数（4）逐项求导，有 , 由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为 （5） （6） 对级数（6）逐项求导，得
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?+ +-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36 347 01[1][] 232356 2356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++ ++++++ ?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个
任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?+ +-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0, ,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 5678911 11,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 5 213 2! !k x x y x x k +=+++ ++ 2 4 22 (1),2! ! k x x x x x xe k =+++ ++= 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方
傅里叶级数课程及习题讲解
第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 线性表出而得．不妨称 2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 1 1 (),cos ()cos d k a f x kx f x kx x π π π π -= = ? 0,1,2,k =L ；
幂级数在近似计算中的应
论文4 幂级数在近似计算中的应用 谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰) 数学与统计学院1001班 摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+???+-+???∑的函数 项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算. 关键词：幂级数、近似计算 1.理论依据 以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计. 我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 23012 12135121 1 211 ! 2!3!! r (1)!(2)! (1)(1)213!5!21(1) r 2n n x n n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞ =++----∞ =+==++++???++???=++??? ++--==-+???++??? ---=+∑∑①②arctanx 123 21 =1 2123 12311 1(1) 123 (2n 1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!! r (22)!!23(24)!!25 (1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n n n n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞ ++--∞ =+-++???+-? +++=?+?+???++++--=-++???++??? -=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12 (1)12 n n x n ++-+ +
幂级数的运算0
幂级数的运算： （I）逐项求导与逐项积分 设幂级数在收敛区间上的和函数为，若为内任意一点，则 （1）在可导，且； （2）在可积，且 （II）设幂级数与为两个幂级数，于是 （1）若此两幂级数在某邻域内相等，则它们同次幂系数想，既 （2）若此两幂级数的收敛半径为和，则有 ， ）= 其中为常数，=min{ ，}， （III）幂级数的展开 1）泰勒级数与麦克劳林级数概念（略） 2）展开的方法 将初等函数在处展开为形如的幂级数，通常有两条途径。 （1）直接法通过直接计算在点处的各阶导数，写出它的泰勒公式，并讨论余项的极限以确定其收敛域，但计算往往比较麻烦，要证明余项极限为0，实际上也很困难。因此，对于一般函数而言不适合用这种方法求其幂级数展开试。 （IV）间接法利用某些已知的函数展开式(特别是五个初等函数与的幂级数展开式），通过它们的变换，四则运算，复合运算，逐项求导或逐项积分等方法导出所求函数的幂级数展开式，这种间接方法是最常用的。 3）常用函数的幂级数展开式： （1） （2） （3） （4）（-1解= 因 收敛区间为-1< <1与-1< <1的公共部分-2高阶方程的降阶和幂级数解法
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，即利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般地，低阶方程的求解会比求解高阶方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐线性方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解；对于非齐线性方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。这一节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法。 4.3.1 可降阶的一些方程类型 阶微分方程一般地可写为。 下面讨论三类特殊方程的降阶问题。 1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状： (4.3.1.1) 若令，则方程即降为关于的阶方程 (4.3.1.2) 如果能够求得方程(4.3.1.2)的通解 即。再经过次积分得到 其中为任意常数。可以验证，这就是方程(4.3.1.1)的通解。 特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换，即可化为一阶方程。 例1求方程的解。 解令，则方程化为，这是一阶方程， 积分后得。于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。
2）不显含自变量的方程 (4.3.1.3) 我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。 事实上，在所作的假定下，，， 采用数学归纳法不难证明，可用表出。将这些表达式代入 (4.3.1.3)就得到，这是关于的阶方程，比原方程(4.3.1.3)低一阶。 例2求解方程。 解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有 或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。 例3 求方程的通解，已知特解。 解作变换，则
重庆科创职业学院教案(114幂级数
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（下）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 2008-8
课题： 幂级数 教学目的及要求： 了解幂级数的收敛域的构造及求法，理解幂级数运算的性质。 教学重点： 幂级数收敛域的求法，幂级数的运算。 教学难点： 幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数。 教学步骤及内容 ： 一、函数项级数的概念 1.函数项级数的概念 （1）如果级数 +++++)()()()(321x u x u x u x u n 的各项都是定义在某区间I 中的函数，就叫做函数项级数． 当自变量x 取特定值，如I x x ∈=0时，级数变成一个数项级数 ∑∞ =1 0)(n n x u ．如果这个数项级数收敛，称为0x 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的收敛 点，如发散，称0x 为发散点，一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域． （2）和函数 函数项级数对收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个常数项级数，故有一个和s .于是，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数.其定义域是级数的收敛域.写为123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++. 在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞ =.()()()n n r x s x s x =-是函数项级数的 余项（收敛时才有意义）.lim ()0n n r x →∞ = 例1 判断 1 1 n n x ∞ -=∑的收敛性，并求其收敛域与和函数. 解 此级数为几何级数(即等比级数),由第一节例1知|x |<1时,级数收敛，|x |≥1时级数发散.故其收敛域为(1,1)-,和函数为： 1 1 ()lim ()lim 11 lim (11) 11n k n n n k n n s x s x x x x x x -→∞ →∞ =→∞==-== -<<--∑ 旁批栏：
幂级数展开的多种方法
幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；
复变函数复习思考题
《复变函数》复习思考题 一 计算题 1． 设2 31i z -=，求rgz A z 及。 2. 函数z 1=ω将z 平面上的曲线1)1(22=+-y x 变成ω平面上的什么曲线),(iv u iy x z +=+=ω？ 3.下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ (1) );(, 2121z z z z z z ≠-=- (2) ;4-≤z z (3) ;11 1<+-z z (4) ;3e 24)1arg(0≤≤<-->z z 且 (6) ;21Im <>z z 且 4. 将复数3 2 )3sin 3(cos )5sin 5(cos ????i i -+化为指数形式化为三角形式。 5．判断函数()2 2iy x z f +=的可微性和解析性。 6．设3z =ω确定在从原点0=z 起沿正实轴割破了的z 平面上，并且()i i -=ω，试求()i -ω之值 7．试求下面各式之值： （1）i e +3；（2）()i -1cos 。 8．设3z =ω确定在从原点0=z 起沿负实轴割破了的z 平面上，并且()322-=-ω，（这
是边界上岸点对应的函数值），试求()i ω之值。 9．计算: (1) ()dz z i 2222?+--+； (2) ?+i dz z 202 cos π 10．求积分() ?++πσ 202182dz z z 之值,其中积分路径是连接0到πα2的摆线: ()()θαθθαcos 1,sin -=-=y x . 11．计算积分:dz z z c ?-14sin 2π (1) C:211=+z (2) C:2 11=-z (3) C:2=z 12．设C 表圆周322=+y x ,()ζζζζd z z f c ?-++=1732,求()i f +'1. 13．确定下列幂函数的收敛半径： （1）∑∞ 0＝n n n z ； （2）∑∞=02n n n nz ； （3）n n n z n ∑∞=1。 14．将下列函数展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围： （1） b az +1（a,b 为复数，且0≠b ）； （2）dz e z z ?02； （3）?z dz z z 0sin ； （4）z 2sin ； （5）2) 1(1z -。 15．指出下列函数在零点0=z 的级。 （1）1)(22-z e z ； (2))6(sin 6633-+z z z . 16．在原点解析，而在),2,1(1???==n n z 处取下列各组值的函数是否存在： （1）0，1，0，1，0，1，… （2）,61,0,41,0,21, 0… （3）, 61,61,41,41,21,21…
