2016年北京市朝阳区高三二模文科数学试卷含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷（文史类） 2016．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．已知集合{0,1,2}A =，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =

A ．

B ．

C ．

D ．{1} 2．复数1+i

i

z =

（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．设x ∈R ,且0x ≠,“1()12x

>” 是“

1

1x

<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是

A ．若m⊥l ，n⊥l ， 则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C ．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 5．同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π??π????

上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π?

?=-

??? B ．sin 26y x π??=- ??? C ．sin 26y x 5π??=+

??

? D ．sin 26x y π??

=+ ???

6．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是

{}0,1,2{}1,2{}0,1

A

B

C．2 D

7．设函数

1,2,

()

2log,2

a

x x

f x

x x

-≤

?

=?

+>

?

(0

a>且1)

a≠的最大值为1,则实数a的取值范围是

A．[1

1)

2

, B．0,1

（） C．

1

0]

2

(, D．1,

（）

+∞

8．在边长为1的正方形ABCD中，已知M为线段AD的中点，P为线段AD上的一点，若线段=+

BP CD PD，则

A．

3

4

MBA PBC

∠=∠ B．

2

3

MBA PBC

∠=∠

C．

1

2

MBA PBC

∠=∠ D．

1

3

MBA PBC

∠=∠

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．执行如图所示的程序框图，输出的S= ．

10．已知向量(1,2)=a ，向量(2,)m =b ，若+a b 与a 垂直，则实数m 的值为 ． 11．已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂

直，则实数a = ；直线l 的方程为 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线l 的方程是 ；若双曲线

()22

22

10,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于,M N 两点，且MON ?的面积为8，则此双曲线的离心率为 ．

13．已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k

≥??≥?

?+≤??-≥?所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值

范围是 ．

14．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生

产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元．每年销售蔬菜的收入为26万元．设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额），则()f n = （用n 表示）；从第 年开始盈利．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c

(Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ) 若角A 为锐角，求b 的值及ABC ?的面积．

16．（本小题满分13分）

某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设．这个城市的甲区、乙区分别 对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．

（Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业．

若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中

各随机选取1个，求这两个

企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．

17．（本小题满分13分）

已知等差数列}{n a 的首项1a 和公差d (0)d ≠均为整数，其前n 项和为n S ． (Ⅰ)若11=a ，且2a ，4a ，9a 成等比数列，求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)若对任意n *

∈N ，且6n ≠时，都有6n S S <，求1a 的最小值．

18．（本小题满分14分）

在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点． （Ⅰ）求证：AO CD ⊥；

（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；

（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?

若存在，求出

AP PC

的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分13分） 已知函数1

()(1)ln ,f x ax a x a x

=-

-+∈R ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1

[,e]e

上恒成立，求a 的取值范围．

20．（本小题满分14分）

F

O

B

D

A

E

在平面直角坐标系xOy 中，000(,)(0)P x y y ≠是椭圆:C 22

2212x y λλ

+=(0)λ>上

的点，过点P 的直线l 的方程为0022

12x x y y

λλ+=． (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）当1λ=时，设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，求OAB ?面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证： 点 2,,Q P F 三点共线．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学答案（文史类） 2016．5

一、选择题：（满分40分）

二、填空题：（满分30分）

三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 在ABC ?中，因为

sin sin a c

A C

=

，解得a = …………………6分

cos A =

． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=． 解得5b =或3b =-（舍）．

…………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95

=

=886

x 甲，

78+83+84+86+95+96

==87

6

x 乙． …………………4分

（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个．从

两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个．

其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），

（95,96）共6个． 则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61

122

p ==．………13分

17．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以922

4a a a ?=．

将11=a 代入得 )81()1()31(2

d d d +?+=+,

解得0=d 或 3=d ．

因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d ．

数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-?=-．……………………………6分

（Ⅱ）因为对任意n *

∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，

所以6S 最大，则0

.

S S S S >??

>?

所以760,0.a a

>?则1160,

50.

a d a d +?

因此156d a d -<<-． 又1a ，d ∈Z ，0

故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意．

当2-=d 时，11012a <<， 则111a =， 当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =, 易知3-≤d 时,116a ≥，

则1a 的最小值为11． ………………………………………………………13分

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为ABE ?为等边三角形，

O 为BE 的中点，

所以AO BE ⊥．

又因为平面ABE ⊥平面BCDE ， 平面ABE 平面BCDE BE =，

AO ?平面ABE ，

所以AO ⊥平面BCDE ． 又因为CD ?平面BCDE ，

所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形， 所以CE BD ⊥．

因为,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以//OF BD ，所以CE OF ⊥． 由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ． 因为CE ?平面BCDE ，所以AO CE ⊥． 因为AO OF O = ，所以CE ⊥平面AOF ． 又因为CE ?平面ACE ，

所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．

证明如下：

设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ． 因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点，

所以

1

2

NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则

1

2

AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ?平面AOF ，PM ?平面AOF ，所以//PM 平面AOF ． 由于//BD OF ，OF ?平面AOF ，BD ?平面AOF ， 所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ． 因为BM PM M = ， 所以平面//BMP 平面AOF ．

因为BP ?平面BMP ，所以//BP 平面AOF ． 可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且

1

2

AP PC =． …………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222

(1)1(1)(1)

()=ax a x ax x f x x x -++--'=．

（1） 当0a ≤时，1ax -<0,

令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，

令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）． 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为

1+∞（，）． （2） 当01a <<时，

1

1a

>, 令()0f x '>，解得01x <<或1

x a

>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；

F

O

B

D

A

E P M

N

令()0f x '<，解得11x a <<

，函数()f x 单调递减区间为

1

1)a

（，． 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a

（，． （3） 当1a =时，2

2

(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，． （4） 当1a >时，1

01a

<

<, 令()0f x '>，解得1

0x a

<<

或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a

（，，1+)∞（，；

令()0f x '<，解得

11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a

，． 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，

单调递减区间为1(1)a

，． …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1

[,e]e

上min ()1f x >．

222

(1)1(1)(1)

()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥．

令()0f x '=得，1x =或1

x a

=

． 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增．

由()0f x '<得，

11e x ≤<,函数()f x 在(1

,1e

)上单调递减． 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，

11

e x a

<<或1e x <<； 由()0f x '<得，

1

1x a

<<．

函数()f x 在(1,e ),11(,)e a 上单调递增,在1(,1)a

上单调递减． min 1()min{(),(1)}e

f x f f =，

依题意1

()1e (1)1f f ?>???>? ，即2e e 12a a ?>

?+??>?

，所以2e a <<；

若1a =，则()0f x '≥．

所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1

()()1e f x f =>，不满足条件；

综上，2a >． ……………………………………………13分

20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)依题2a λ=

，222c λλλ-=，

所以椭圆C 离心率为2

2

2e λ

=

=

．……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由

0012x x y y +=，得02x x =，则0

2

(,0)A x ． 令0x =，由

0012x x y y +=，得01y y =，则0

1

(0,)B y ． 则OAB ?的面积0000

1121

22OAB S OA OB x y x y ?=

==

． 因为00(,)P x y 在椭圆:C 22

12x y +=上，所以220012

x y +=．

所以220012x y =+≥

，即002x y ≤

，则00

1x y ≥

所以00

11

2OAB S OA OB x y ?=

=≥． 当且仅当22002x y =，

即001,x y =±=时，O A B ?面积的最小值

为 ……………………………………………………………8分

（Ⅲ）由220

22

102y x λλ=->

，解得0x <．

①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-． 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 当(0,)P λ-时，也满足．

②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1FQ 的中点为M ，则(,)22

m n

M λ-,代入直线l 的方程，得：

2000240x m y n x λλ+--=．

设直线1FQ 的斜率为k ，则00

2y n

k m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=．

由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ?+--=?-+=?，解得2

2002200244x x m y x λλλ+=-+，200022

00

484x y y n y x λλ+=+． 所以222

000002222

0000

2448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++． 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，2

2

2

y λ=

代入

22

0022

00

244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线． 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为20

0F P y k x λ

=

-．

由0x ≤≤，02x λ≠-．

所以直线2F Q 的斜率为22

000222

00000222222

00000022

00

4844824248224F Q

x y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλ

λ+++==++---+

200000000222

22

000000482(2)

4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000

000(2)()(2)y x y x x x λλλλ

+=

=

-+-． 因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线．

综上所述2,,Q P F 三点共线．……………………………………………………………14分